2021 届单元训练卷▪高三▪数学卷（A）
第 13 单元 算法初步、推理与证明、复数
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．适合 的实数 ， 的值为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．将 化为二进制数是（ ）
A． B．
C． D．
3．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
4．当 时，复数 在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 第二象限 第三象限 D．第四象
5．该边程序运行结果为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 依它的前 项的规律，这个数列的
第 项 满足（ ）
A． B． C． D．
7．已知 为虚数单位，则复数 的实部与虚部分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
8．“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“一”和“一一”，其中“一”
在二进制中记作“ ”，“—一”在二进制中记作“ ”，例如二进制数 化为十进制的计算如下：
，若从两类符号中任取 个符号进行排列，则得到的
二进制数所对应的十进制数大于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起
终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ， ，
， ，则按照以上规律，若 具有“穿墙术”，则 （ ）
A． B． C． D．
10．已知复数 ， 为虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．秦九韶算法 是将求 次多项式
的值转化为求 个一次多项式的值．已知 ，求 ，
那么 （ ）
2i ( )ix x y− = − x y
0=x 2=y 0=x 2−=y
2=x 2=y 2=x 0=y
2019
211111100011（ ） 21111100001（ ）
2111111000011（ ） 21111100111（ ）
2 53 m− < < (3 2) (5 )iz m m= + + −
3 4 5 6
1
1
2
1
1
2
3
1
2
2
1
3
4
1
3
2
2
3
1
4 10
2019 2019a
20191 10a≤ ≤ 2019 10a > 2019
10 10a< < 2019
1 110 a≤ <
i 3 7i
iz
+=
7 3− 7 3i− 7− 3 7− 3i
1 0 (2)1011
3 2 1 0
(2) (10)1011 1 2 0 2 1 2 1 2 11= × + × + × + × = 2
2
0 1
2
1
3
1
4
2 22 23 3
= 3 33 38 8
=
4 44 415 15
= 5 55 524 24
= 8 88 8n n
= n =
35 48 63 80
2
i(3 i)z = − i z
0
1
( 1,2, )n
k k n k
V a k nV V x a− −
= = ⋅⋅⋅ = +
n 1
1( ) n n
n nf x a x a x −
−= + +
2
2 1 0a x a x a+ + + n 7 6 3 2( ) 2 3 4 1f x x x x x= − + − + (2)f
4V =A． B． C． D．
12．一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说：乙是第一名．丁说：我不是
第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．已知复数 在复平面内的对应 点 在第三象限，则实数 的取 值范围是
____________．
14．执行如图所示的程序框图，则输出 的值是_________．
15．甲、乙、丙三个同学同时做标号为 、 、 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，
丙做对了两个题，则下面说法正确的是________．
①三个题都有人做对；②至少有一个题三个人都做对；③至少有两个题有两个人都做对．
16．对奇数列 ， ， ， ， ，…，进行如下分组：第一组含一个数 ，第二组含两个数
，第三组含三个数 ，第四组含四个数 ，…，试观察猜想每组内各数之
和 与组的编号数 的关系式为 ．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．（10 分）已知复数 ，分别求满足下列条件的 的值：
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．
18．（12 分）设计一个算法求 的值，并画出程序框图．
19．（12 分）设数列 的前 项和为 ，且满足 ．
（1）求 的值，并写出数列 的通项公式；
（2）写出用三段论证明数列 是等比数列的大提前、小前提、结论．
0 5 4 3
2 6 5 ( 2)ix x x− + + − x
S
A B C
1 3 5 7 9 {1}
{3,5} {7,9,11} {13,15,17,19}
( )( )f n n∈ *N n
2
26 ( 2 )im mz m mm
+ −= + − m
2 2 2 21 2 99 100+ +…+ +
{ }na n nS ( )2n nS a n ++ = ∈N
1 2 3, ,a a a { }na
{ }na20．（12 分） 是复平面内的平行四边形， ， ， ， 四点对应的复数分别为 ，
， ， ．
（1）求复数 ；
（2） 是关于 的方程 的一个根，求实数 ， 的值．
21．（12 分）（1）用秦九韶算法求 ，当
时的值；
（2）如图，给岀了一个程序框图，其作用是输入 的值，输岀相应 的值．写出函数 的
解析式．并求当输出的结果在区间 时，输入的 的取值范围．
ABCD A B C D 1 3i+
2i 2 i+ z
z
z x 02 2 =+− qpxx p q
6 5 4 3 2( ) 12 60 160 240 192 64f x x x x x x x= − + − + − + 2x =
x y ( )y f x=
[ 1,0]− x22．（12 分）（1）已知 ， 且 ，求证： 与 中至少有一个小于 3．
（2）当 时，求证： ．
x y +∈R 2x y+ > 1 2y
x
+ 1 2x
y
+
0a b+ > ( )2 2 2
2a b a b+ ≥ +高三▪数学卷（A）
第 13 单元 算法初步、推理与证明、复数 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】依题意得 ，解得 ，故选 A．
2．【答案】A
【解析】利用竖式除法计算如下：
据此可得将 化为二进制数是 ．
3．【答案】A
【解析】根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果．
4．【答案】A
【解析】由 ，得 ，
所以复数 z 在复平面 内对应的点 位于第一象限，故选 A．
5．【答案】B
【解析】 ， ，进入循环得到 ， ，不满足 ，
再进入循环得到 ， ，仍然不满足 ；
再进入循环得到 ， ，仍然不满足 ；
再进入循环得到 ， ，仍然不满足 ；
再进入循环得到 ， ，仍然不满足 ；
再进入循环得到 ， ，满足 ，终止循环得到 ．
6．【答案】B
【解析】将此数列分组为 ， ， ， ， ，第 组有 个数．
设数列的第 项 在第 组中，
由等差数列前 项和公式可得 ，解得 ，
则前 组共 ，即 在第 组的第 项，即 ．
7．【答案】A
【解析】因为 ，所以 的实部与虚部分别为 ， ，
故选 A．
8．【答案】D
【解析】根据题意，不同符号可分为三类：
第一类：由两个“一”组成，其二进制为 ；
第二类：由两个“一一”组成，其二进制为 ；
第三类：由一个“一”和一个“一一”组成，其二进制为 ， ，
所以从两类符号中任取 个符号排列，则组成不同的十进制数为 ，则得到的二进制数所对应
的十进制数大于 的概率 ，故选 D．
9．【答案】C
【解析】因为 ， ， ， ，所以 ，故选 C．
10．【答案】D
【解析】 ，
易得复数 在复平面内对应的点位于第四象限，故选 D．
11．【答案】D
【 解 析 】 由 题 意 可 知 当 时 ， ， ， ， ，
．
12．【答案】C
【解析】假设甲说的是真话，则第一名是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只
0
2
x
x y
=
− = −
0
2
x
y
=
=
2019 211111100011（ ）
2 53 m− < < 3 2 0
5 0
m
m
+ >
− >
10n = 0s = 10s = 9n = 45s ≥
19s = 8n = 45s ≥
27s = 7n = 45s ≥
34s = 6n = 45s ≥
40s = 5n = 45s ≥
45s = 4n = 45s ≥ 4n =
1( )1
2 1( , )1 2
3 2 1( , , )1 2 3
4 3 2 1( , , , )1 2 3 4 n n
2019 2019a n
n ( 1) ( 1)2019 ( )2 2
n n n n n ∗− +< ≤ ∈N 64n =
63 63 64 20162
× = 2019a 64 3 2019
62 103a = >
3 7i i(3 7i) 7 3ii 1z
+ += = = −− z 7 3−
(2) (10)11 3=
(2) (10)00 0=
(2) (10)10 2= (2) (10)01 1=
2 0,1,2,3
2 1
4P =
3 1 3= × 8 2 4= × 15 3 5= × 24 4 6= × 7 9 63n = × =
2 2 2(1 3i) 2 6i 1 3ii(3 i) 1 3i (1 3i)(1 3i) 10 5 5z
− −= = = = = −− + + −
z
2x = 0 1V = 1 2 2 0V = − = 2 0 0 0V = + = 3 0 0 0V = + =
4 0 3 3V = + =有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，第一名不是甲；
假设乙说的是真话，则第一名是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的
是真话，故乙说谎，第一名也不是乙；
假设丙说的是真话，则第一名是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说
的是真话，故丙在说谎，第一名也不是乙；
假设丁说的是真话，则第一名不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不
是第一名，同时乙也说谎，说明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假
设成立，第一名是丙．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】
【解析】由已知，得 ，解得 ．
14．【答案】
【解析】执行程序框图中的程序，可得：
① ， ，满足条件 ，继续运行；
② ， ，满足条件 ，继续运行；
③ ， ，不满足条件 ，停止运行，输出 ．
15．【答案】③
【解析】若甲做对 、 ，乙做对 、 ，丙做对 、 ，则 题无人做对，所以①错误；
若甲做对 、 ，乙做对 、 ，丙做对 、 ，则没有一个题被三个人都做对，
所以②错误；
做对的情况可分为这三种：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做
对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足③的说法．
16．【答案】
【解析】观察前四组数个数之和可得 ， ，
， ，…，
∴猜想第 组各数之和等于 ，故 ．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．【答案】（1） ；（2） 且 ；（3） ．
【解析】（1）当 ，即 时，复数 是实数．
（2）当 ，且 ，即 且 时，复数 是虚数．
（3）当 ，即 时，复数 是纯虚数．
18．【答案】见解析．
【解析】（1）算法步骤：
第一步，令 ．
第二步，若 成立，则执行第三步；否则，输出 ．
第三步，计算 ．
第四步，计算 ，返回第二步．
（2）程序框图：两种循环结构写出其中任意一种即可．
19．【答案】（1） ， ， ， ， ；（2）见解析．
【解析】（1）由 ，
当 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： ，
)2,1(
2 6 5 0
2 0
x x
x
− + <
−
微信/支付宝扫码支付