2021 届单元训练卷▪高三▪数学卷（B）
第 13 单元 算法初步、推理与证明、复数
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约 千米．跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极
大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的
身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了 小时，则他平均每分钟的步数可能为（ ）
A． B． C． D．
2． 年 月 日上午，庆祝中华人民共和国成立 周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行．这次
阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异．今年的阅兵方阵有一
个很抢眼，他们就是院校科研方阵．他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若
已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位．现知道：①甲不是军
事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防
科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么（ ）
A．国防大学，研究生 B．国防大学，博士
C．军事科学院，学士 D．国防科技大学，研究生
3．将正奇数数列 ， ， ， ， ，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下： ， ，
， ，…，称 为第 组， 为第 组，依次类推，则原数列中的 位
于分组序列中（ ）
A．第 组 B．第 组 C．第 组 D．第 组
4．如图的程序框图是为了求出满足 的最小正整数 ，那么在 和
两个空白框中，可以分别填入（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
5．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
6．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，
下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五
进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）
A． B． C． D．
7．复平面内，复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
42
2.5
60 120 180 240
2019 10 1 70
1 3 5 7 9 (1,3) (5,7,9)
(11,13) (15,17,19) (1,3) 1 (5,7,9) 2 2021
404 405 808 809
1 1 1 1 20201 2 3 n
+ + + + > n
2020S > 1= +n n 2020S > 2= +n n
2020S ≤ 1= +n n 2020S ≤ 2= +n n
8
9
9
10
10
11
11
12
27 42 55 210
1 2i
2 i
−
+
i i− 1 1−8．在复平面内与复数 所对应的点关于虚轴对称的点为 ，则 对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
9．若复数 满足： ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．若复数 （ 为虚数单位），则复数 在复平面上对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．若 且 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12．已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．若复数 是纯虚数，则 ．
14．用支付宝在淘宝网购物有以下几步：①买家选好商品，点击购买按钮，并付款到支付宝；②淘
宝网站收到买家的收货确认信息，将支付宝里的货款付给卖家；③买家收到货物，检验无问题，在
网上确认收货；④买家登录淘宝网挑选商品；⑤卖家收到购买信息，通过物流公司发货给买家．他
们正确的顺序依次为 ．
15．如图的算法可表示分段函数，则其输出的结果所表示的分段函数为 ．
16．观察下列等式
照此规律，第 个等式为 ．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．（10 分）已知 是虚数单位，复数 ， ．
（1）当复数 为实数时，求 的值；
（2）当复数 为虚数时，求 的值；
（3）当复数 为纯虚数时，求 的值．
18．（12 分）已知复数 （ ）的实部与虚部的差为 ．
（1）若 ，且 ，求复数 在复平面内对应的点的坐标；
（2）当 取得最小值时，求复数 的实部．
2i
1 iz = + A A
1 i− − 1 i− 1 i+ 1 i− +
z ( 2 i) 1 iz − + = + z =
4
5
10
2
10
5
3 2
5
3
2i
1 iz = + i z
z C∈ 2 2i 1z + − = 1 2iz − −
2 3 4 5
i z (i 1) iz+ = z
1
2
1 i2
− 1 i2
1
2
−
3 i ( )1 2i
a a
− ∈− R 2 ia + =
1 1=
2 3 4 9+ + =
3 4 5 6 7 25+ + + + =
4 5 6 7 8 9 10 49+ + + + + + =
n
i 2 2( 5 6) 3( )iz m m m m= − + + − m∈R
z m
z m
z m
23 ( )iz x x x= − − x∈R ( )f x
( ) 8f x = 0x > iz
( )f x
1 2i
z
+19．（12 分）已知复数 （其中 是虚数单位， ）．
（1）若复数 是纯虚数，求 的值；
（2）求 的取值范围．
20．（12 分）已知函数 对应的程序框图如图所示：
（1）若输入 的值为 ，求输出的结果；
（2）若 ，求函数 的取值范围．
21．（12 分）（1）已知 ， 是实数，求证： ．
（2）用分析法证明： ．
2i(2 i) i 1z m= + + − i m∈R
z m
1z −
( )y f x=
x 1−
1
2x ≥ ( )y f x=
x y 2 2 2 2 2x y x y+ ≥ + −
6 7 2 2 5+ > +22．（12 分）设 、 都是正数，求证： ．x y 21 1( ) ( )2 4x y x y x y y x+ + + ≥ +高三▪数学卷（B）
第 13 单元 算法初步、推理与证明、复数 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】 千米 米， 小时 分钟，
故运动员每分钟跑 米；
若运动员每分钟跑 步， ，则运动员的身高超过 米不太可能；
若运动员每分钟跑 步， ，则运动员的身高稍超过 米不太可能；
若运动员每分钟跑 步， ，则运动员的身高超过 米，基本符合实际，
故选 C．
2．【答案】C
【解析】由题意①甲不是军事科学院的，③乙不是军事科学院的，则丙来自军事科学院；由②来自
军事科学院的不是博士，则丙不是博士；由⑤国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生，故丙
为学士．
综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士，故选 C．
3．【答案】B
【解析】正奇数数列 ， ， ， ， ，…的通项公式为 ，
则 为第 个奇数，
因为按两项、三项分组，故按 个一组分组是有 组，
共 个数，共 组．
故原数列中的 位于分组序列中第 组，故选 B．
4．【答案】C
【解析】因为要求 时输出，且框图在“否”时输出，
所以，“ ”不能填入 ，所以排除 A，B．
又因为 的初始值为 ，
所以“ ”中 依次加 可保证 是 个连续正整数的倒数和．
所以选项 D 错误，选项 C 正确，故选 C．
5．【答案】B
【解析】由程序框图， ，故选 B．
6．【答案】B
【解析】由题意可知，孩子已经出生的天数的五进制数为 ，
化为十进制数为 ，故选 B．
7．【答案】D
【解析】由复数的除法运算法则，可得 ，
所以复数的虚部为 ，故选 D．
8．【答案】D
【解析】由题 ，在复平面对应的点为 ，
关于虚轴对称点为 ，所以其对应的复数为 ，故选 D．
9．【答案】C
【解析】由题可知， ，
则 ，
所以 ，故选 C．
10．【答案】B
【解析】 ，复数 在复平面上对应的点为 ，该点在第
二象限，故复数 在复平面上对应的点所在的象限为第二象限，故选 B．
11．【答案】A
【解析】设 ，则 ，
即 ，表示圆心为 ，半径为 的圆．
，
表示点 和 之间的距离，故 ，故选 A．
12．【答案】A
42 42000= 2.5 150=
42000 150 280÷ =
120 280 120 2.33÷ = 2.33
240 280 240 1.17÷ = 1.17
180 280 180 1.56÷ = 1.56
1 3 5 7 9 2 1na n= −
2021 1011
5 202
202 5 1010× = 202 2 404× =
2021 405
2020S >
2020S >
n 1
n 1 S n
1 1 1 1 1 1 1 1 911 2 2 3 9 10 2 2 3 9 10 10S = + + + = − + − + + − =× × ×
(5)132
2
(5)132 1 5 3 5 2 42= × + × + =
1 2i (1 2i)(2 i)
(
5i i2 i (2 i) 2 )i 5
− − − −= = = −+ + −
1−
2i 2i(1 i) 2i 2 1 i1 i (1 i)(1 i) 2z
− += = = = ++ + − (1,1)
( 1,1)− 1 i− +
( 2 i) 1 iz − + = +
1 i (1 i)( 2 i) 1 3i 1 3i2 i ( 2 i)( 2 i) 5 5 5z
+ + − − − −= = = = − −− + − + − −
2 21 3 10 10( ) ( )5 5 25 5z == − + − = =
3
2i 2i 2i(1
(1 i)(1
i
i)
) 1 i1 i 1 iz −
+= = = = −+ + +− z ( 1,1)−
z
iz x y= + 2 22 2 ( 2) ( 2)i ( 2) ( 2) 1z i x y x y+ − = + + − = + + − =
2 2( 2) ( 2) 1x y+ + − = ( 2,2)− 1r =
2 21 2i ( 1) ( 2)i ( 1) ( 2)z x y x y− − = − + − = − + −
( , )x y (1,2) min1 2i (1 ( 2)) 2z r− − = − − − =【解析】因为 ，所以 ，
则 的虚部为 ，故选 A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】
【解析】因为 为纯虚数，
则 ， ，即 ，所以 ，故答案为 ．
14．【答案】④①⑤③②
【解析】购买商品的流程应为：买家挑选—买家购买—卖家发货—买家收货—卖家收款，由此可确
定正确顺序为④①⑤③②，
故答案为④①⑤③②．
15．【答案】
【解析】由程序框图可知，当 时， ；
当 时， ，
故答案为 ．
16．【答案】
【解析】根据题意，由于观察下列等式
照此规律，等式左边的第一个数就是第几行的行数，且相加的连续自然数的个数是中间数字，右边
是最中间数字的平方，
故第 个等式为 ．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．【答案】（1） 或 ；（2） 且 ；（3） ．
【解析】复数 ， ．
（1）当复数 为实数时，有 ，∴ 或 ．
（2）当复数 为虚数时，有 ，∴ 且 ．
（3）当复数 为纯虚数时，有 ，解得 ．
18．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由题意可得 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，则 ，
所以 在复平面内对应的点的坐标为 ．
（2）因为 ，所以当 时， 取得最小值，此时， ，
则 ，
所以 的实部为 ．
19．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1） ，
若复数 是纯虚数，则 ， ，所以 ．
（2）由（1）得 ， ，
，
因为 是开口向上的抛物线，有最小值 ，
所以 ．
(i 1) iz+ = i i(1 i) 1 i 1 1 ii 1 (1 i)(1 i) 2 2 2z
− += = = = ++ + −
z 1
2
10
3 i (3 i)(1 2i) 3 2 (6 )i
1 2i 5 5
a a a a− − + + + −= =−
3 2 0a+ = 6 0a− ≠ 3
2a = − 2 i 3 i 10a + = − + = 10
2, 0( ) lg , 0
x xf x x x
+ ≤= >
0x ≤ ( ) 2f x x= +
0x > ( ) lgf x x=
2, 0( ) lg , 0
x xf x x x
+ ≤= >
2(2 1)n −
1 1=
2 3 4 9+ + =
3 4 5 6 7 25+ + + + =
4 5 6 7 8 9 10 49+ + + + + + =
n 2( 1) ( 2) (3 2) (2 1)n n n n n+ + + + + + − = −
0m = 3m = 0m ≠ 3m ≠ 2m =
2 2( 5 6) 3( )iz m m m m= − + + − m∈R
z 2 3 0m m− = 0m = 3m =
z 2 3 0m m− ≠ 0m ≠ 3m ≠
z
2
2
3 0
5 6 0
m m
m m
− ≠
− + = 2m =
(2,6) 7
5
−
2 2( ) 3 ( ) 2f x x x x x x= + − = +
( ) 8f x = 2 2 8x x+ =
0x > 2x = 6 2iz = − i i(6 2i) 2 6iz = − = +
iz (2,6)
2( ) ( 1) 1f x x= + − 1x = − ( )f x 3 2iz = − −
3 2i (3 2i)(1 2i) 7 4 i1 2i 1 2i 5 5 5
z + + −= − = − = − ++ +
1 2i
z
+
7
5
−
1
2m = − 2 51 5z − ≥
2i 2i(i 1)(2 i) (2 i) (2 i) i(i 1)i 1 (i 1)(i 1)z m m m
+= + + = + + = + − +− − + 2 1 ( 1)im m= + + −
z 2 1 0m + = 1 0m − ≠ 1
2m = −
2 1 ( 1)iz m m= + + − 1 2 ( 1)iz m m− = + −
2 2 21 4 ( 1) 5 2 1z m m m m− = + − = − +
25 2 1y m m= − + 4
5
2 51 5z − ≥20．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以当输入 的值为 ，输出的结果为 ．
（2）因为 ，所以 ，
当 时， 递减；
当 时， 递增，所以 ，
所以 的取值范围为 ．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）证明：因为 ，可得 ，
，可得 ，
所以 ．
（2）证明：要证 成立，只需证 成立，
即证 成立，即证 成立，即证 成立，
因为 成立，所以原不等式成立．
22．【答案】证明见解析．
【解析】原不等式
．
∵ ，∴只需证 ，
即证 ，
而 ， ，当且仅当 时，等号成立．
∴ ．
1
e
[2, )+∞
1 0x = − < 1 1y e e
−= =
x 1− 1
e
1
2x ≥ 1y x x
= +
1 12 x≤ < 1y x x
= +
1x ≥ 1y x x
= + 2y ≥
( )y f x= [2, )+∞
2 22 1 ( 1) 0x x x+ = − ≥− 2 2 1x x≥ −
2 22 1 ( 1) 0y y y− + = − ≥ 2 2 1y y≥ −
2 2 2 2 2x y x y+ ≥ + −
6 7 2 2 5+ > + 2 2( 6 7) (2 2 5)+ > +
13 2 42 13 2 40+ > + 42 40> 42 40>
42 40>
22( ) ( ) 4 4x y x y x y y x⇔ + + + ≥ +
( )[2( ) 1] 2 (2 2 )x y x y xy x y⇔ + + + ≥ +
2 0x y xy+ ≥ > 2( ) 1 2 2x y x y+ + ≥ +
1 1( ) ( )4 4x y x y+ + + ≥ +
1 24 4
xx x+ ≥ = 1 24 4
yy y+ ≥ = 1
4x y= =
21 1( ) ( )2 4x y x y x y y x+ + + ≥ +
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