2021 届单元训练卷▪高三▪数学卷(A)
第 14 单元 选修 4-4 坐标系与参数方程
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、简答题.
1.在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点 为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,曲线 的极坐标方程为
.
(1)写出曲线 的直角坐标方程与直线 的极坐标方程;
(2)若直线 与曲线 交于点 (不同于原点),与直线 交于点 ,求 的值.
2.极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位,以原点 为极点,以 轴的正半轴为极轴,两
种坐标系中取相同的长度单位,已知直线 的参数方程为 ( 为参数),曲线 的极坐标
方程为 .
(1)求 的直角坐标方程;
(2)设直线 与曲线 交于 , 两点,求弦长 .
3.已知曲线 的极坐标方程为 ,以极点为原点,极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系,两种
xOy l
3
2
16 2
x t
y t
=
= +
t O x
C
12sin 6 3cosρ θ θ= +
C l
π ( )3
θ ρ= ∈R C A l B AB
xOy O x
l 3 3
4
x t
y t
= +
= t C
2cos 4cosρ ρ θ θ= +
C
l C A B AB
C 2ρ = x坐标系中取相同的长度单位,直线 的参数方程为 ( 为参数).
(1)写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程;
(2)设曲线 经过伸缩变换 得到曲线 ,若直线 交 于 , 两点, 点坐标为
,求 的值.
4.在极坐标系中,圆 的极坐标方程为 .以极点 为原点,极轴为 轴正
半轴建立直角坐标系 ,两种坐标系中取相同的长度单位,过点 作倾斜角为 的直线
.
(1)写出圆 的直角坐标方程和直线 的参数方程;
(2)直线 与圆 交于 , 两点,求 的面积.
5.已知在直角坐标平面内,以坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标
系中取相同的长度单位,点 的极坐标是 ,曲线 的极坐标方程为 .
(1)求点 的直角坐标和曲线 的直角坐标方程;
(2)若经过点 的直线 与曲线 交于 , 两点,求 的最小值.
6.已知曲线 的参数方程为 ( 为参数).以坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极
l
13 2
3
2
x t
y t
= −
=
t
l C
C 3
2
x x
y y
′ = ′ =
C′ l C′ A B P
( 3,0)P PA PB+
C 10cos 24sinρ θ θ= + O x
xOy (3 3,19) π
3
l
C l
l C M N MON△
O x
M π(2, )2 C 4
1 sin
ρ θ= −
M C
M l C A B MA MB⋅
1C 3cos
2sin
x
y
θ
θ
=
=
θ O x轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,曲线 的极坐标方程为 .
(1)分别写出 的普通方程, 的直角坐标方程;
(2)已知 , 分别为曲线 的两个焦点,点 为曲线 上任意一点,求 的最大
值.
7.在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极
点,以 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,直线 的极坐标方程
为 .
(1)求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程;
(2)设点 为曲线 上任意一点,求点 到直线 的距离的最大值.
8.以平面直角坐标系 的原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取
相同的长度单位,直线 的参数方程为 ( 为参数),圆 的极坐标方程为
.
(1)求直线 的普通方程与圆 的直角坐标方程;
(2)设直线 与曲线 交于 , 两点,若 点的直角坐标为 ,求 的值.
2C 5ρ =
1C 2C
M N 1C P 2C | | | |PM PN+
xOy C 3 cos
2 sin
x
y
α
α
=
=
α
x l
πsin( ) 23
ρ θ − =
l C
P C P l
xOy x
l
12 3 2
34 2
x t
y t
= +
= +
t C
π8cos( )6
ρ θ= −
l C
l C A B P (2 3,4) 1 1
PA PB
−9.以坐标原点 为极点,以 轴正半轴为极轴建立极坐标,两种坐标系中取相同的长度单位,系中
直线 ,在平面直角坐标系 中,曲线 ( 为参数,
).
(1)求直线 的直角坐标方程和曲线 的极坐标方程;
(2)曲线 的极坐标方程为 ,且曲线 与直线 ,曲线 分别交于 , 两点,
若 ,求 的值.
10.极坐标系中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),以极点为原点,极轴为 轴正
半轴建立平面直角坐标系 ,两种坐标系中取相同的长度单位,直线 的极坐标方程为
.
(1)求曲线 的普通方程以及直线 的直角坐标方程;
(2)若曲线 上恰有 个不同的点到直线 的距离等于 ,求实数 的取值范围.
O x
: (sin 2cos ) 4 0l ρ θ θ− + = xOy 2 cos: 1 sin
x aC y a
ϕ
ϕ
= +
= +
ϕ
0a >
l C
M π ( 0)4
θ ρ= > M l C A B
3
2OB OA= a
C
2
2
2
21 2
2 2
2
tx t
ty t
−= + +
= +
t x
xOy l
4 sin 3 cos aρ θ ρ θ− =
C l
C 2 l 1
2 a高三▪数学卷(A)
第 14 单元 选修 4-4 坐标系与参数方程 答 案
一、简答题.
1.【答案】(1) , ;(2) .
【解析】(1)∵ ,∴ ,
∴曲线 的直角坐标方程为 ,即 .
∵直线 的普通方程为 ,
∴直线 的极坐标方程为 .
(2)将 代入直线 的极坐标方程得 ,∴ .
将 代入曲线 的极坐标方程得 ,
∴ ,∴ .
2.【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)由 ,得 ,
即曲线 的直角坐标方程为 .
(2)将直线 的参数方程代入 ,
并整理得 , , ,
∴ .
3.【答案】(1) , ;(2) .
【解析】(1)由 ,可得曲线 的直角坐标方程为 ,
由 ( 为参数)可得直线 的普通方程为 .
(2)设 是曲线 上任意一点,经过伸缩变换 ,得到点 ,
由 ,得 ,
将 代入 中得 ,即 ,
则 的直角坐标方程为 ,
将直线 的参数方程代入 的直角坐标方程中,得 ,
设关于 的一元二次方程 有两根 , ,
, ,∴ 与 异号,
∴ .
4.【答案】(1) , ( 为参数);(2) .
【解析】(1)∵ ,∴ ,
∴圆 的直角坐标方程为 ,
直线 的参数方程为 ( 为参数).
(2)直线 的普通方程为 ,则原点 到直线 的距离为 ,
而直线 被圆 截得弦长为 ,
∴ ,即 的面积为 .
2 2:( 3 3) ( 6) 63C x y− + − = : cos 3 sin 6 3 0l ρ θ ρ θ− + = 3 3
12sin 6 3cosρ θ θ= + 2 12 sin 6 3 cosρ ρ θ ρ θ= +
C 2 2 12 6 3x y y x+ = + 2 2( 3 3) ( 6) 63x y− + − =
l 3 6 3 0x y− + =
l cos 3 sin 6 3 0ρ θ ρ θ− + =
π
3
θ = l 6 3ρ = π(6 3, )3B
π
3
θ = C 9 3ρ =
π(9 3, )3A 3 3AB =
2 4y x= 5 57
4
2cos 4cosρ ρ θ θ= + 2 2 2cos 4 cosρ ρ θ ρ θ= +
C 2 4y x=
l 2 4y x=
24 3 3 0t t− − = 1 2
3
4t t+ = 1 2
3
4t t = −
2 2 2
1 2 1 2 1 2
5 573 +4 5 ( ) 4 4AB t t t t t t= ⋅ − = + − =
: 3 3 0l x y+ − = 2 2: 4C x y+ = 16 3
7
2ρ = C 2 2 4x y+ =
13 2
3
2
x t
y t
= −
=
t l 3 3 0x y+ − =
( , )M x y C 3
2
x x
y y
′ = ′ =
( , )M x y′ ′ ′
3
2
x x
y y
′ = ′ =
2
3
x x
y y
′= ′=
2
3
x x
y y
′= ′=
C 2 24 49x y′ ′+ =
2 2
14 9
x y′ ′+ =
C′
2 2
14 9
x y+ =
l C′ 27 12 3 12 0t t− − =
t 27 12 3 12 0t t− − = 1t 2t
1 2
12 3
7t t+ = 1 2
12 07t t = − < 1t 2t
2
1 2 1 2 1 2
16 3( ) 4 7PA PB t t t t t t+ = − = + − =
2 2:( 5) ( 12) 169C x y− + − =
13 3 2:
319 2
x t
l
y t
= +
= +
t 60
10cos 24sinρ θ θ= + 2 10 cos 24 sinρ ρ θ ρ θ= +
C 2 2( 5) ( 12) 169x y− + − =
l
13 3 2
319 2
x t
y t
= +
= +
t
l 3 10 0x y− + = O l 10 5
3 1
d = =
+
l C 2 22 13 5 24MN = × − =
1 24 5 602MONS = × × =△ MON△ 605.【答案】(1) , ;(2) .
【解析】(1)点 的直角坐标是 ,
∵ ,∴ ,即 .
(2)设直线 的倾斜角是 ,则 的参数方程为 ( 为参数),
代入 ,得 ,
设关于 的一元二次方程 有两根为 , ,
则 ,∴ ,
当 时, 取得最小值为 .
6.【答案】(1) , ;(2) .
【解析】(1)曲线 的普通方程为 ,曲线 的直角坐标方程为 .
(2)由曲线 可得其参数方程为 为参数 ,
∴ 点坐标为 ,
由题意可知 , .
∴
,
∴ ,
∴当 时, 有最大值 ,
故 的最大值为 .
7.【答案】(1) , ;(2) .
【解析】(1)∵直线 的极坐标方程为 ,即 ,
即 .
∵曲线 的参数方程为 ( 为参数),则曲线 的普通方程为 .
(2)设点 为曲线 上任意一点,
则点 到直线 的距离 (其中 ),
当 时, 取最大值 ,即点 到直线 的距离的最大值为 .
8.【答案】 , ;(2) .
【解析】(1)直线 的普通方程为 ,
,∴ ,
∴圆 的直角坐标方程为 ,即 .
(2)点 在直线 上,且在圆 内部,
把 ( 为参数)代入 中,得 ,
设关于 的一元二次方程 有两根为 , ,
则 , ,即 与 异号,
∴ .
9.【答案】(1) , ;(2) .
【解析】(1) ,即 ,即 ,
∴ 的直角坐标方程为 .
由 ,消去参数 得 的普通方程 ,
∴ ,
∴曲线 的极坐标方程为 .
(0,2) 2 8 16x y= + 32
M (0,2)
4
1 sin
ρ θ= − sin 4ρ ρ θ= + 2 8 16x y= +
l α l cos
2 sin
x t
y t
α
α
=
= + ⋅ t
2 8 16x y= + 2 2cos 8sin 32 0t tα α⋅ − ⋅ − =
t 2 2cos 8sin 32 0t tα α⋅ − ⋅ − = 1t 2t
1 2 2
32
cost t α= − 1 2 2
32
cosMA MB t t α⋅ = =
0α = ° MA MB⋅ 32
2 2
1 : 19 4
x yC + = 2 2
2 : 25C x y+ = 2 30
1C
2 2
19 4
x y+ = 2C 2 2 25x y+ =
2 2
2 : 25C x y+ = 5cos (5sin
x
y
α αα
=
= )
P (5cos ,5sin )α α
( 5,0)M − ( 5,0)N
2 2 2 2| | | | (5cos 5) (5sin ) (5cos 5) (5sin )PM PN α α α α+ = + + + − +
30 10 5 cos 30 10 5 cosα α= + + −
2 2(| | | |) 60 2 900 500cosPM PN α+ = + −
cos 0α = 2(| | | |)PM PN+ 120
| |PM PN+ 2 30
: 3 4 0l x y− + =
2 2
: 13 2
x yC + = 112 2
+
l πsin( ) 23
ρ θ − = 1 3( sin cos ) 22 2
ρ θ θ− =
3 4 0x y− + =
C 3 cos
2 sin
x
y
α
α
=
=
α C
2 2
13 2
x y+ =
( 3 cos , 2 sin )P α α C
P l
3cos 2 sin 4 11cos( ) 4
23 1
d
α α α ϕ− + + +
= =
+
2tan 3
ϕ =
cos( ) 1α ϕ+ = d 112 2
+ P l 112 2
+
: 3 2 0l x y− − = 2 2:( 2 3) ( 2) 16C x y− + − = 3
6
l 3 2 0x y− − =
π8cos( ) 4 3 cos 4sin6
ρ θ θ θ= − = + 2 4 3 cos 4 sinρ ρ θ ρ θ= +
C 2 2 4 3 4x y x y+ = + 2 2( 2 3) ( 2) 16x y− + − =
(2 3,4)P l C
12 3 2
34 2
x t
y t
= +
= +
t 2 2( 2 3) ( 2) 16x y− + − = 2 2 3 12 0t t+ − =
t 2 2 3 12 0t t+ − = 1t 2t
1 2 2 3t t+ = − 1 2 12 0t t = − < 1t 2t
1 2
1 2
2 31 1 3
12 6
PB PA t t
PA PB PA PB t t
−− +− = = = =⋅ −
: 2 4 0l x y− − = 2 2: 4 cos 2 sin 5 0C aρ ρ θ ρ θ− − + − = 41a =
(sin 2cos ) 4 0ρ θ θ− + = sin 2 cos 4 0ρ θ ρ θ− + = 2 4 0y x− + =
l 2 4 0x y− − =
2 cos: 1 sin
x aC y a
ϕ
ϕ
= +
= +
ϕ C 2 2 2( 2) ( 1)x y a− + − =
2 2 2( cos 2) ( sin 1) aρ θ ρ θ− + − =
C 2 24 cos 2 sin 5 0aρ ρ θ ρ θ− − + − =(2)曲线 的直角坐标方程为 ,
由 ,得 , ,∴ ,
即点 极坐标为 ,
代入 ,得 .
10.【答案】(1) , ;(2)
.
【解析】(1)依题意,由 ( 为参数)可得 ,
又∵ ,∴曲线 的普通方程为 ,
直线 的直角坐标方程为 .
(2)依题意可得,圆心 到直线 的距离 ,即 ,
解得 或 ,
点 到直线 的距离为 时, ,解得 或 ,
∵点 不在曲线 上,∴ ,
∴ 的取值范围为 .
M ( 0)y x x= >
2 4
y x
y x
=
= − (4,4)A 4 2OA = 6 2OB =
B π(6 2, )4
2 24 cos 2 sin 5 0aρ ρ θ ρ θ− − + − = 41a =
:3 4 0l x y a− + = 2 2:( 1) 1( 2)C x y x− + = ≠
21 17 17 11 1 9( , ) ( , ) ( , )2 2 2 2 2 2
− − − − −
2
2
2
21 2
2 2
2
tx t
ty t
−= + +
= +
t 2 2( 1) 1x y− + =
2
2 2
2 41 2 22 2
tx t t
−= = = − ≠+ + C 2 2( 1) 1( 2)x y x− + = ≠
l 3 4 0x y a− + =
C :3 4 0l x y a− + = 1 3
2 2d< < 31 3
2 29 16
a+< <
+
1 9
2 2a− < < 21 11
2 2a− < < −
(2,0) :3 4 0l x y a− + = 1
2
| 6 | 1
29 16
a+ =
+
7
2a = − 17
2a = −
(2,0) C 17
2a ≠ −
a 21 17 17 11 1 9( , ) ( , ) ( , )2 2 2 2 2 2
− − − − −