2021届高三数学一轮复习第十四单元训练卷选修4-4坐标系与参数方程（理科） A卷（详解）

2021 届单元训练卷▪高三▪数学卷（A） 第 14 单元 选修 4-4 坐标系与参数方程 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、简答题． 1．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线 的极坐标方程为 ． （1）写出曲线 的直角坐标方程与直线 的极坐标方程； （2）若直线 与曲线 交于点 （不同于原点），与直线 交于点 ，求 的值． 2．极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴，两 种坐标系中取相同的长度单位，已知直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标 方程为 ． （1）求 的直角坐标方程； （2）设直线 与曲线 交于 ， 两点，求弦长 ． 3．已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系，两种 xOy l 3 2 16 2 x t y t  =  = + t O x C 12sin 6 3cosρ θ θ= + C l π ( )3 θ ρ= ∈R C A l B AB xOy O x l 3 3 4 x t y t = +  = t C 2cos 4cosρ ρ θ θ= + C l C A B AB C 2ρ = x坐标系中取相同的长度单位，直线 的参数方程为 （ 为参数）． （1）写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （2）设曲线 经过伸缩变换 得到曲线 ，若直线 交 于 ， 两点， 点坐标为 ，求 的值． 4．在极坐标系中，圆 的极坐标方程为 ．以极点 为原点，极轴为 轴正 半轴建立直角坐标系 ，两种坐标系中取相同的长度单位，过点 作倾斜角为 的直线 ． （1）写出圆 的直角坐标方程和直线 的参数方程； （2）直线 与圆 交于 ， 两点，求 的面积． 5．已知在直角坐标平面内，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标 系中取相同的长度单位，点 的极坐标是 ，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求点 的直角坐标和曲线 的直角坐标方程； （2）若经过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的最小值． 6．已知曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极 l 13 2 3 2 x t y t  = −  = t l C C 3 2 x x y y ′ = ′ = C′ l C′ A B P ( 3,0)P PA PB+ C 10cos 24sinρ θ θ= + O x xOy (3 3,19) π 3 l C l l C M N MON△ O x M π(2, )2 C 4 1 sin ρ θ= − M C M l C A B MA MB⋅ 1C 3cos 2sin x y θ θ =  = θ O x轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线 的极坐标方程为 ． （1）分别写出 的普通方程， 的直角坐标方程； （2）已知 ， 分别为曲线 的两个焦点，点 为曲线 上任意一点，求 的最大 值． 7．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极 点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线 的极坐标方程 为 ． （1）求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程； （2）设点 为曲线 上任意一点，求点 到直线 的距离的最大值． 8．以平面直角坐标系 的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取 相同的长度单位，直线 的参数方程为 （ 为参数），圆 的极坐标方程为 ． （1）求直线 的普通方程与圆 的直角坐标方程； （2）设直线 与曲线 交于 ， 两点，若 点的直角坐标为 ，求 的值． 2C 5ρ = 1C 2C M N 1C P 2C | | | |PM PN+ xOy C 3 cos 2 sin x y α α  = = α x l πsin( ) 23 ρ θ − = l C P C P l xOy x l 12 3 2 34 2 x t y t  = +  = + t C π8cos( )6 ρ θ= − l C l C A B P (2 3,4) 1 1 PA PB −9．以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标，两种坐标系中取相同的长度单位，系中 直线 ，在平面直角坐标系 中，曲线 （ 为参数， ）． （1）求直线 的直角坐标方程和曲线 的极坐标方程； （2）曲线 的极坐标方程为 ，且曲线 与直线 ，曲线 分别交于 ， 两点， 若 ，求 的值． 10．极坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以极点为原点，极轴为 轴正 半轴建立平面直角坐标系 ，两种坐标系中取相同的长度单位，直线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 的普通方程以及直线 的直角坐标方程； （2）若曲线 上恰有 个不同的点到直线 的距离等于 ，求实数 的取值范围． O x : (sin 2cos ) 4 0l ρ θ θ− + = xOy 2 cos: 1 sin x aC y a ϕ ϕ = +  = + ϕ 0a > l C M π ( 0)4 θ ρ= > M l C A B 3 2OB OA= a C 2 2 2 21 2 2 2 2 tx t ty t  −= + +  = + t x xOy l 4 sin 3 cos aρ θ ρ θ− = C l C 2 l 1 2 a高三▪数学卷（A） 第 14 单元 选修 4-4 坐标系与参数方程 答 案 一、简答题． 1．【答案】（1） ， ；（2） ． 【解析】（1）∵ ，∴ ， ∴曲线 的直角坐标方程为 ，即 ． ∵直线 的普通方程为 ， ∴直线 的极坐标方程为 ． （2）将 代入直线 的极坐标方程得 ，∴ ． 将 代入曲线 的极坐标方程得 ， ∴ ，∴ ． 2．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由 ，得 ， 即曲线 的直角坐标方程为 ． （2）将直线 的参数方程代入 ， 并整理得 ， ， ， ∴ ． 3．【答案】（1） ， ；（2） ． 【解析】（1）由 ，可得曲线 的直角坐标方程为 ， 由 （ 为参数）可得直线 的普通方程为 ． （2）设 是曲线 上任意一点，经过伸缩变换 ，得到点 ， 由 ，得 ， 将 代入 中得 ，即 ， 则 的直角坐标方程为 ， 将直线 的参数方程代入 的直角坐标方程中，得 ， 设关于 的一元二次方程 有两根 ， ， ， ，∴ 与 异号， ∴ ． 4．【答案】（1） ， （ 为参数）；（2） ． 【解析】（1）∵ ，∴ ， ∴圆 的直角坐标方程为 ， 直线 的参数方程为 （ 为参数）． （2）直线 的普通方程为 ，则原点 到直线 的距离为 ， 而直线 被圆 截得弦长为 ， ∴ ，即 的面积为 ． 2 2:( 3 3) ( 6) 63C x y− + − = : cos 3 sin 6 3 0l ρ θ ρ θ− + = 3 3 12sin 6 3cosρ θ θ= + 2 12 sin 6 3 cosρ ρ θ ρ θ= + C 2 2 12 6 3x y y x+ = + 2 2( 3 3) ( 6) 63x y− + − = l 3 6 3 0x y− + = l cos 3 sin 6 3 0ρ θ ρ θ− + = π 3 θ = l 6 3ρ = π(6 3, )3B π 3 θ = C 9 3ρ = π(9 3, )3A 3 3AB = 2 4y x= 5 57 4 2cos 4cosρ ρ θ θ= + 2 2 2cos 4 cosρ ρ θ ρ θ= + C 2 4y x= l 2 4y x= 24 3 3 0t t− − = 1 2 3 4t t+ = 1 2 3 4t t = − 2 2 2 1 2 1 2 1 2 5 573 +4 5 ( ) 4 4AB t t t t t t= ⋅ − = + − = : 3 3 0l x y+ − = 2 2: 4C x y+ = 16 3 7 2ρ = C 2 2 4x y+ = 13 2 3 2 x t y t  = −  = t l 3 3 0x y+ − = ( , )M x y C 3 2 x x y y ′ = ′ = ( , )M x y′ ′ ′ 3 2 x x y y ′ = ′ = 2 3 x x y y ′= ′= 2 3 x x y y ′= ′= C 2 24 49x y′ ′+ = 2 2 14 9 x y′ ′+ = C′ 2 2 14 9 x y+ = l C′ 27 12 3 12 0t t− − = t 27 12 3 12 0t t− − = 1t 2t 1 2 12 3 7t t+ = 1 2 12 07t t = − < 1t 2t 2 1 2 1 2 1 2 16 3( ) 4 7PA PB t t t t t t+ = − = + − = 2 2:( 5) ( 12) 169C x y− + − = 13 3 2: 319 2 x t l y t  = +  = + t 60 10cos 24sinρ θ θ= + 2 10 cos 24 sinρ ρ θ ρ θ= + C 2 2( 5) ( 12) 169x y− + − = l 13 3 2 319 2 x t y t  = +  = + t l 3 10 0x y− + = O l 10 5 3 1 d = = + l C 2 22 13 5 24MN = × − = 1 24 5 602MONS = × × =△ MON△ 605．【答案】（1） ， ；（2） ． 【解析】（1）点 的直角坐标是 ， ∵ ，∴ ，即 ． （2）设直线 的倾斜角是 ，则 的参数方程为 （ 为参数）， 代入 ，得 ， 设关于 的一元二次方程 有两根为 ， ， 则 ，∴ ， 当 时， 取得最小值为 ． 6．【答案】（1） ， ；（2） ． 【解析】（1）曲线 的普通方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ． （2）由曲线 可得其参数方程为 为参数 ， ∴ 点坐标为 ， 由题意可知 ， ． ∴ ， ∴ ， ∴当 时， 有最大值 ， 故 的最大值为 ． 7．【答案】（1） ， ；（2） ． 【解析】（1）∵直线 的极坐标方程为 ，即 ， 即 ． ∵曲线 的参数方程为 （ 为参数），则曲线 的普通方程为 ． （2）设点 为曲线 上任意一点， 则点 到直线 的距离 （其中 ）， 当 时， 取最大值 ，即点 到直线 的距离的最大值为 ． 8．【答案】 ， ；（2） ． 【解析】（1）直线 的普通方程为 ， ，∴ ， ∴圆 的直角坐标方程为 ，即 ． （2）点 在直线 上，且在圆 内部， 把 （ 为参数）代入 中，得 ， 设关于 的一元二次方程 有两根为 ， ， 则 ， ，即 与 异号， ∴ ． 9．【答案】（1） ， ；（2） ． 【解析】（1） ，即 ，即 ， ∴ 的直角坐标方程为 ． 由 ，消去参数 得 的普通方程 ， ∴ ， ∴曲线 的极坐标方程为 ． (0,2) 2 8 16x y= + 32 M (0,2) 4 1 sin ρ θ= − sin 4ρ ρ θ= + 2 8 16x y= + l α l cos 2 sin x t y t α α =  = + ⋅ t 2 8 16x y= + 2 2cos 8sin 32 0t tα α⋅ − ⋅ − = t 2 2cos 8sin 32 0t tα α⋅ − ⋅ − = 1t 2t 1 2 2 32 cost t α= − 1 2 2 32 cosMA MB t t α⋅ = = 0α = ° MA MB⋅ 32 2 2 1 : 19 4 x yC + = 2 2 2 : 25C x y+ = 2 30 1C 2 2 19 4 x y+ = 2C 2 2 25x y+ = 2 2 2 : 25C x y+ = 5cos (5sin x y α αα =  = ) P (5cos ,5sin )α α ( 5,0)M − ( 5,0)N 2 2 2 2| | | | (5cos 5) (5sin ) (5cos 5) (5sin )PM PN α α α α+ = + + + − + 30 10 5 cos 30 10 5 cosα α= + + − 2 2(| | | |) 60 2 900 500cosPM PN α+ = + − cos 0α = 2(| | | |)PM PN+ 120 | |PM PN+ 2 30 : 3 4 0l x y− + = 2 2 : 13 2 x yC + = 112 2 + l πsin( ) 23 ρ θ − = 1 3( sin cos ) 22 2 ρ θ θ− = 3 4 0x y− + = C 3 cos 2 sin x y α α  = = α C 2 2 13 2 x y+ = ( 3 cos , 2 sin )P α α C P l 3cos 2 sin 4 11cos( ) 4 23 1 d α α α ϕ− + + + = = + 2tan 3 ϕ = cos( ) 1α ϕ+ = d 112 2 + P l 112 2 + : 3 2 0l x y− − = 2 2:( 2 3) ( 2) 16C x y− + − = 3 6 l 3 2 0x y− − = π8cos( ) 4 3 cos 4sin6 ρ θ θ θ= − = + 2 4 3 cos 4 sinρ ρ θ ρ θ= + C 2 2 4 3 4x y x y+ = + 2 2( 2 3) ( 2) 16x y− + − = (2 3,4)P l C 12 3 2 34 2 x t y t  = +  = + t 2 2( 2 3) ( 2) 16x y− + − = 2 2 3 12 0t t+ − = t 2 2 3 12 0t t+ − = 1t 2t 1 2 2 3t t+ = − 1 2 12 0t t = − < 1t 2t 1 2 1 2 2 31 1 3 12 6 PB PA t t PA PB PA PB t t −− +− = = = =⋅ − : 2 4 0l x y− − = 2 2: 4 cos 2 sin 5 0C aρ ρ θ ρ θ− − + − = 41a = (sin 2cos ) 4 0ρ θ θ− + = sin 2 cos 4 0ρ θ ρ θ− + = 2 4 0y x− + = l 2 4 0x y− − = 2 cos: 1 sin x aC y a ϕ ϕ = +  = + ϕ C 2 2 2( 2) ( 1)x y a− + − = 2 2 2( cos 2) ( sin 1) aρ θ ρ θ− + − = C 2 24 cos 2 sin 5 0aρ ρ θ ρ θ− − + − =（2）曲线 的直角坐标方程为 ， 由 ，得 ， ，∴ ， 即点 极坐标为 ， 代入 ，得 ． 10．【答案】（1） ， ；（2） ． 【解析】（1）依题意，由 （ 为参数）可得 ， 又∵ ，∴曲线 的普通方程为 ， 直线 的直角坐标方程为 ． （2）依题意可得，圆心 到直线 的距离 ，即 ， 解得 或 ， 点 到直线 的距离为 时， ，解得 或 ， ∵点 不在曲线 上，∴ ， ∴ 的取值范围为 ． M ( 0)y x x= > 2 4 y x y x =  = − (4,4)A 4 2OA = 6 2OB = B π(6 2, )4 2 24 cos 2 sin 5 0aρ ρ θ ρ θ− − + − = 41a = :3 4 0l x y a− + = 2 2:( 1) 1( 2)C x y x− + = ≠ 21 17 17 11 1 9( , ) ( , ) ( , )2 2 2 2 2 2 − − − − −  2 2 2 21 2 2 2 2 tx t ty t  −= + +  = + t 2 2( 1) 1x y− + = 2 2 2 2 41 2 22 2 tx t t −= = = − ≠+ + C 2 2( 1) 1( 2)x y x− + = ≠ l 3 4 0x y a− + = C :3 4 0l x y a− + = 1 3 2 2d< < 31 3 2 29 16 a+< < + 1 9 2 2a− < < 21 11 2 2a− < < − (2,0) :3 4 0l x y a− + = 1 2 | 6 | 1 29 16 a+ = + 7 2a = − 17 2a = − (2,0) C 17 2a ≠ − a 21 17 17 11 1 9( , ) ( , ) ( , )2 2 2 2 2 2 − − − − − 