2021 届单元训练卷▪高三▪数学卷（B）
第 14 单元 选修 4-4 坐标系与参数方程
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、简答题．
1．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 （ 是参数）．以原点 为极点，
以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 ．
（1）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）若 分别为 ， 上的动点，求 的最小值．
2．已知圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
（1）写出圆 的参数方程和直线 的直角坐标方程；
（2）若圆 与直线 交于 两点，且 ，求实数 的值．
3．已知直线 的参数方程为 （ 为参数），在直角坐标系 中，以 点为极点 ，
xOy 1C 2cos
sin
x
y
α
α
=
=
α O
x 2C πsin( ) 23
ρ θ − =
1C 2C
,P Q 1C 2C PQ
C ( ,2)a 4 x
l πsin( ) 13
ρ θ + =
C l
C l ,M N 4MN = a
l
4
3
x t
y t a
=
= − + t xOy O x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 以 相 同 的 长 度 单 位 建 立 极 坐 标 系 ， 设 圆 的 极 坐 标 方 程 为
．
（1）求圆 的直角坐标方程；
（2）若直线 截圆 所得弦长为 ，求实数 的值．
4．已知曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以直角坐标系原点为极点， 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）若直线 的极坐标方程为 ，求直线 被曲线 截得的弦长．
5．若以直角坐标系 的 为极点， 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线
的极坐标方程是 ．
（1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线 的参数方程为 （ 为参数）， ，当直线 与曲线 相交于 两点，
求 ．
6．在极坐标系中，圆 的极坐标方程为 ．若以极点 为原点，极轴所
在直线为 轴正半轴，两种坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系．
M
2 4 cos 5ρ ρ θ− =
M
l M 4 2 a
C
1 2cos
2 2sin
x
y
α
α
= − +
= +
α Ox
C
l (2cos sin ) 1ρ θ θ+ = l C
xOy O Ox C
2
9cos= sin
θρ θ
C
l
11 2
3
2
x t
y t
= −
=
t (1,0)P l C ,A B
2| |
| || |
AB
PA PB⋅
C 2 2 (cos 3sin ) 8ρ ρ θ θ= − − O
x（1）求圆 的参数方程；
（2）在直角坐标系中，点 是圆 上动点，试求 的最大值，并求出此时点 的直角坐
标．
7．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（2）过曲线 上的任意一点 作与 夹角为 的直线，交直线 于点 ，求 的最大值与最小
值．
8．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），直线 与曲线
： 交于 ， 两点．
（1）求 的长；
（2）若点 的坐标为 ，求点 到线段 中点 的距离．
C
( , )P x y C x y+ P
xOy C
2
2
2
3 3
1
4
1
tx t
ty t
−= +
= +
t x
l 6
sin 2cos
ρ θ θ= +
C l
C M l π
3 l N MN
xOy l
21 2
22 2
x t
y t
= − +
= +
t l
C 2 22 1x y− = A B
AB
P ( 1,2)− P AB M9．在极坐标系中，射线 与圆 交于点 （不与极点 重合），椭圆 的极
坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴正半轴建立平面直角坐标系 ，两种
坐标系中取相同的长度单位．
（1）求点 的直角坐标和椭圆 的参数方程；
（2）若 为椭圆 的右顶点， 为椭圆 上任意一点，求 的取值范围．
10．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，
以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）若 ， 交于 两点， 点的坐标为 ，求 的值．
π: ( 0)3l θ ρ= > : 2C ρ = A O Q
2
2
36
4 5sin
ρ θ= + x xOy
A Q
E Q F Q AE AF⋅
xOy 1C 1 2
2 2
x t
y t
= +
= +
t
x 2C π2 2 sin( )4
ρ θ= −
1C 2C
1C 2C ,A B P (3,4) 1 1
PA PB
+高三▪数学卷（B）
第 14 单元 选修 4-4 坐标系与参数方程 答 案
一、简答题．
1．【答案】（1） ， ；（2） ．
【解析】（1）由曲线 的参数方程是 （ 是参数），
可得 ，两式两边平方相加可得 ，
即曲线 的普通方程为 ．
由曲线 的极坐标方程是 ，可得 ，
将 ， 代入，得到曲线 的直角坐标方程 ．
（2）由题意知， 的最小值即为曲线 上的动点 到曲线 的距离的最小值．
设曲线 上的动点 ，
则点 到直线 的距离为：
，其中 ．
即当 时， ，
故 的最小值为 ．
2．【答案】（1） （ 为参数）， ；（2） ．
【解析】（1）∵圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
∴圆 的参数方程为 （ 为参数），
∵直线 的极坐标方程为 ，可得 ，
∴直线 的直角坐标方程为 ．
（2）由题意知，圆心 到直线 的距离为 ，
∵ ，∴ ，解得 ．
3．【答案】（1） ；（2） 或 ．
【解析】（1）∵ ，
∴圆 的直角坐标方程为 ．
（2）把直线 的参数方程 （ 为参数）化为普通方程得 ，
∵直线 截圆 所得弦长为 ，
则圆 的圆心 到直线 的距离 或 ．
4．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）∵曲线 的参数方程为 ( 为参数)，
∴曲线 的普通方程为 ，
将 代入并化简得 ．
即曲线 的极坐标方程为 ．
（2）将 代入直线 的极坐标方程,可得 的直角坐标方程为 ，
∴圆心 到直线 的距离为 ，
∴直线 被曲线 截得的弦长为 ．
5．【答案】（1） ，该曲线是以 为焦点，开口向右的抛物线；（2） ．
2
2
1 : 14
xC y+ = 2 : 3 4 0C x y− + = 132 2
−
1C 2cos
sin
x
y
α
α
=
=
α
cos2
sin
x
y
α
α
=
=
2
2 14
x y+ =
1C
2
2 14
x y+ =
2C π 1sin( )3 2
ρ θ − = 1 3( sin cos ) 22 2
ρ θ θ− =
cosx ρ θ= siny ρ θ= 2C 3 4 0x y− + =
PQ 1C P 2C
1C (2cos ,sin )P α α
P 2 : 3 4 0C x y− + =
2 3 cos sin 4 13 cos( ) 4
2 2d
α α α ϕ− + + +
= = 3tan 6
ϕ =
cos( ) 1α ϕ+ = −
min
4 13 1322 2d
−= = −
PQ 132 2
−
4cos: 2 4sin
x aC y
α
α
= +
= +
α : 3 2 0l x y+ − = 4a = ±
C ( ,2)a 4
C
4cos
2 4sin
x a
y
α
α
= +
= +
α
l πsin( ) 13
ρ θ + = 1 3sin cos 12 2
ρ θ ρ θ+ =
l 3 2 0x y+ − =
( ,2)a l 3 2 2 3
2 2
a a
d
+ −
= =
4MN = 2
2 2 23 ( ) 16 4 124 2
MNad r= = − = − = 4a = ±
2 2( 2) 9x y− + = 1
4a = 11
4a =
2 2 2 2 24 cos 5 4 5 ( 2) 9x y x x yρ ρ θ− = ⇒ + − = ⇒ − + =
M 2 2( 2) 9x y− + =
l
4
3
x t
y t a
=
= − + t 3 4 4 0x y a+ − =
l M 4 2
M (2,0)M l 2 2| 6 4 | 13 (2 2) 15 4
ad a
−= = − = ⇒ = 11
4a =
2 2 cos 4 sin 1 0ρ ρ θ ρ θ+ − + = 2 95
5
C
1 2cos
2 2sin
x
y
α
α
= − +
= +
α
C 2 2( 1) ( 2) 4x y+ + − =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
2 2 cos 4 sin 1 0ρ ρ θ ρ θ+ − + =
C 2 2 cos 4 sin 1 0ρ ρ θ ρ θ+ − + =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= l l 2 1 0x y+ − =
( 1,2)C − l | 2 2 1| 5
55
d
− + −= =
l C 1 2 952 4 5 5
− =
2 9y x= 9( ,0)4 7【解析】（1）∵ ，∴ ，
∴曲线 的直角坐标方程为 ．
该曲线是以 为焦点，开口向右的抛物线．
（2）将直线 的参数方程 代入 ，可得 ．
设关于 的一元二次方程 的两根为 ，则 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
6．【答案】（1） （ 为参数）；（2）当 时，即点 的直角坐标为
时， 取到最大值为 ．
【解析】（1）∵ ，且 ，
∴ ，即 为圆 的直角坐标方程，
∴圆 的参数方程为 （ 为参数）．
（2）由（1）可得 ，
当 时，即点 的直角坐标为 时， 取到最大值为 ．
7．【答案】（1） ， ；（2）最大值为 ，最小值为
．
【解析】（1） ，平方相加后得 ，
又 ，
即曲线 的普通方程为 ，
∵直线 的极坐标方程为 ，即 ，
∴直线 的直角坐标方程为 ．
（2）∵点 曲线 上的任意一点，∴设点 的坐标为 ，
则点 到直线 的距离为 ，
∵过点 作与 夹角为 的直线，交直线 于点 ，
∴ ，其中 ．
当 时， 取到最小值为 ，
当 时， 取到最大值为 ．
8．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）直线 的参数方程为 （ 为参数），
代入曲线 的方程得 ．
设点 ， 对应的参数分别为 ，则 ， ，
∴ ．
（2）点 在直线 上，且对应的参数 ，而 中点 对应参数为 ，
由参数 的几何意义，可得点 到线段 中点 的距离 ．
2
9cos= sin
θρ θ
2 2sin 9 cosρ θ ρ θ=
C 2 9y x=
9( ,0)4
l
11 2
3
2
x t
y t
= −
=
2 9y x= 2 6 12 0t t+ − =
t 2 6 12 0t t+ − = 1 2,t t 1 2 6t t+ = − 1 2 12t t = −
2 2 2
1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) 4 84AB t t t t t t= − = + − = 1 2| | | | | | 12PA PB t t⋅ = =
2| | 84 7| || | 12
AB
PA PB
= =⋅
1 2 cos
3 2 sin
x
y
α
α
= +
= − +
α π
4
α = P (2, 2)−
x y+ 0
2 2 (cos 3sin ) 8ρ ρ θ θ= − − cos , sinx yρ θ ρ θ= =
2 2 2 6 8x y x y+ = − − 2 2( 1) ( 3) 2x y− + + = C
C
1 2 cos
3 2 sin
x
y
α
α
= +
= − +
α
π2 2 cos 2 sin 2 2sin( )4x y α α α+ = − + + = − + +
π
4
α = P (2, 2)− x y+ 0
2 2
: 1( 3)9 4
x yC x+ = ≠ − : 2 10 0l x y+ − = 2 15
2 15
3
2
2
2
1
3 1:
2
2 1
x t
tC
y t
t
−= +
= +
2 2
19 4
x y+ =
2
2 2
3 3 63 ( 3,3]1 1
tx t t
−= = − + ∈ −+ +
C
2 2
1( 3)9 4
x y x+ = ≠ −
l 10
2sin cos
ρ θ θ= + cos 2 sin 10ρ θ ρ θ+ =
l 2 10 0x y+ − =
M C M (3cos ,2sin )α α
M l 5 3cos 4sin 105d α α= + −
M l π
3 l N
2 15 5sin( ) 10π 15sin 3
dMN α ϕ= = + − 3tan 4
ϕ =
sin( ) 1α ϕ+ = MN 2 15
3
sin( ) 1α ϕ+ = − MN 2 15
2 34 5 2
l
21 2
22 2
x t
y t
= − +
= +
t
C 2 10 2 16 0t t+ + =
A B 1 2t t， 1 2 10 2t t+ = − 1 2 16t t =
2
1 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 2 34AB t t t t t t= − = + − =
P l 3 0t = AB M 1 2 5 22
t t+ = −
t P AB M | | 5 2PM =9．【答案】（1） ， （ 为参数）；（2） ．
【解析】（1）射线 与圆 交于点 ，
点 的直角坐标 ，
椭圆 的极坐标方程为 ，直角坐标方程为 ，
参数方程为 （ 为参数）．
（2）设 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ 的取值范围是 ．
10．【答案】（1） ， ；（2） ．
【解析】（1）∵曲线 的参数方程为 （ 为参数），
∴消去参数 可得普通方程 ，
∵曲线 的极坐标方程为 ，可得 ，
∴曲线 的直角坐标方程为 ．
（2）∵ 点的坐标为 ，且将其代入直线 的普通方程，可得 ，
∴ 点在直线 上，
可将直线 的参数方程化为标准方程 （ 为参数），
将其代入曲线 的直角坐标方程可得 ，
∴ ， ，
即 ．
(1, 3)
3cos
2sin
x
y
α
α
=
=
α [1 4 3,1 4 3]− +
π: ( 0)3l θ ρ= > : 2C ρ = π(2, )3A
A (1, 3)
Q 2
2
36
4 5sin
ρ θ= +
2 2
19 4
x y+ =
3cos
2sin
x
y
α
α
=
=
α
(3cos ,2sin )F θ θ
(3,0)E (2, 3)AE = − (3cos 1,2sin 3)AF θ θ= − −
π2(3cos 1) 3(2sin 3) 4 3 cos( ) 16AE AF θ θ θ⋅ = − − − = + +
AE AF⋅ [1 4 3,1 4 3]− +
1 : 1 0C x y− + = 2 2
2 : 2 2 0C x y x y+ + − = 7 2
23
1C 1 2
2 2
x t
y t
= +
= +
t
t 1 0x y− + =
2C π2 2 sin( )4
ρ θ= − 2 2 sin 2 cosρ ρ θ ρ θ= −
2C 2 2 2 2 0x y x y+ + − =
P (3,4) 1C 3 4 1 0− + =
P 1 : 1 0C x y− + =
1C
23 2
24 2
x t
y t
′= +
′= +
t′
2C 2 7 2 23 0t t′ ′+ + =
1 2 7 2t t′ ′+ = − 1 2 23t t′ ′ =
1 2 1 2
1 21 2 1 2
1 1 1 1 7 2
23
t t t t
PA PB t tt t t t
′ ′ ′ ′+ +
+ = + = = =′ ′′ ′ ′
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