2021届高三数学一轮复习第十五单元训练卷选修4-5不等式选讲（理科） A卷（详解）

2021 届单元训练卷▪高三▪数学卷（A） 第 15 单元 选修 4-5 不等式选讲 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、简答题． 1．已知函数 ． （1）画出 的图像； （2）求不等式 的解集． 2．已知函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 ，求 的取值范围． 3．已知 ． ( ) |3 1| 2| 1f x x x= + − −∣ ( )y f x= ( ) ( 1)f x f x> + 2( ) | | | 2 1|f x x a x a= − + − + 2a = ( ) 4f x ≥ ( ) 4f x ≥ a ( ) | 1| | 1|f x x ax= + − −（1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 时不等式 成立，求 的取值范围． 4．已知函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 对任意 成立，求实数 的取值范围． 5．已知 ． （1）求不等式 的解集； （2）设 、 、 为正实数，且 ，求证： ． 6．已知函数 ， ． （1）当 时，求不等式 的解集； 1a = ( ) 1f x > (0,1)x∈ ( )f x x> a ( )f x x x a= + − 2a = ( ) 4f x < ( ) 1f x ≥ x∈R a ( ) 2 2 1f x x x= − + + ( ) 6f x < m n p ( )3m n p f+ + = 12mn np pm+ + ≤ 4)( 2 ++−= axxxf |1||1|)( −++= xxxg 1=a )()( xgxf ≥（2）若不等式 的解集包含 ，求 的取值范围． 7．已知函数 ， 为不等式 的解集． （1）求 ； （2）证明：当 时， ． 8．设函数 ． （1）求不等式 的解集； （2）若函数 的最大值为 ，正实数 满足 ，求 的最小值． 9．已知 为正数，且满足 ．证明： （1） ； （2） ． )()( xgxf ≥ [ 1,1]− a 1 1( ) 4 4f x x x= − + + M ( ) 2f x ≤ M ,a b M∈ 2 1 ab a b− ≥ − ( ) 1 3f x x x= − − + ( ) 1f x ≤ ( )f x m ,p q 2p q m+ = 2 1 2p q ++ , ,a b c 1abc = 2 2 21 1 1 a b ca b c + + ≤ + + 3 3 3( ) ( ) ( ) 24a b b c c a+ + + ≥+ +10．设 ， ， ， ， ． （1）证明： ； （2）用 表示 ， ， 的最大值，证明： ． a b c∈R 0a b c+ + = 1abc = 0ab bc ca+ + < max{ , , }a b c a b c 3max{ , , } 4a b c ≥高三▪数学卷（A） 第 15 单元 选修 4-5 不等式选讲 答 案 一、简答题． 1．【答案】（1）见解析；（2） ． 【解析】（1） ， 故图像如下： （2） 图像是由 图像向左平移一个单位得到，如图所示． 联立 ，得交点 ， ∴不等式 的解集为 ． 2．【答案】（1）解集为 或 ；（2） 或 ． 【解析】当 时， ， 即 ， 所以 的解集为 或 ． （2） ， 又 ，所以 ，则 或 ． 3．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）当 时， ，即 ， 故不等式 的解集为 ． （2）当 时， 成立等价于当 时， 成立． 若 ，则当 时， ； 若 ， 的解集为 ，所以 ，故 ， 综上， 的取值范围为 ． 4．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）当 时，不等式 可化为 ． 讨论： ①当 时， ，所以 ，所以 ； ②当 时， ，所以 ，所以 ； ③当 时， ，所以 ，所以 ， 综上，当 时，不等式 的解集为 ． （2）因为 ，所以 ， 又因为 ， 对任意 成立， 所以 ，所以 或 ， 故实数 的取值范围为 ． 7( , )6 −∞ − 13, 3 1( ) | 3 1| 2 | 1| 5 1, 13 3, 1 x x f x x x x x x x − − ≤ − = + − − = − − < + 7( , )6 −∞ − 3{ | 2x x ≤ 11}2x ≥ 3a ≥ 1a ≤ − 2a = ( ) | 4 | | 3|f x x x= − + − ( ) 2 7, 3 1, 3 4 2 7, 4 x x f x x x x − +  ( ) 4f x ≥ 3{ | 2x x ≤ 11}2x ≥ 2 2 2( ) | | | 2 1| | ( 2 1) | |( 1) |f x x a x a x a x a a= − + − + ≥ − − − + = − ( ) 4f x ≥ 2|( 1) | 4a − ≥ 3a ≥ 1a ≤ − 1{ | }2x x > (0,2] 1a = ( ) | 1| | 1|f x x x= + − − 2, 1 ( ) 2 , 1 1 2, 1 x f x x x x − ≤ − = − < 1{ | }2x x > (0,1)x∈ | 1| | 1|x ax x+ − − > (0,1)x∈ | 1| 1ax − < 0a ≤ (0,1)x∈ | 1| 1ax − ≥ 0a > | 1| 1ax − < 20 x a < < 2 1a ≥ 0 2a< ≤ a (0,2] { }1 3x x− < < ( ] [ ), 1 1,−∞ − +∞ 2a = ( ) 4f x < 2 4x x+ − < 0x < ( )2 4x x− − − < 1x > − 1 0x− < < 0 2x≤ ≤ ( )2 4x x− − < 2 4< 0 2x≤ ≤ 2x > ( )2 4x x+ − < 3x < 2 3x< < 2a = ( ) 4f x < { }1 3x x− < < ( )x x a x x a− − ≤ + − x x a a+ − ≥ ( )f x x x a= + − ( ) 1f x ≥ x∈R 1 a≤ 1a ≤ − 1a ≥ a ( ] [ ), 1 1,−∞ − +∞5．【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【解析】（1）① 时， ， 由 ，得 ，∴ ，即 ； ② 时， ， 由 ，得 ，∴ ，即 ； ③ 时， ， 由 ，得 ，∴ ，可知无解， 综上，不等式 的解集为 ． （2）∵ ，∴ ， ∴ ，且 为正实数， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， 又 为正实数，∴ ． 6．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）当 时，不等式 等价于 ．① 当 时，①式化为 ，无解； 当 时，①式化为 ，从而 ； 当 时，①式化为 ，从而 ， 所以 的解集为 ． （2）当 时， ． 所以 的解集包含 ，等价于当 时， ． 又 在 的最小值必为 与 之一， 所以 且 ，得 ， 所以 的取值范围为 ． 7．【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【解析】（1） ， 不等式 等价于 或 或 ， 解得 或 或 ， 所以不等式的解集为 ． （2）要证 ， 只需证 ， 即证 ， 只需证 ，即 ， 即证 ，只需证 ， 因为 ，所以 ， 所以所证不等式成立． 8．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）不等式可化为 或 或 ， 解得 ， ( )1,3− 2x ≥ ( ) 2 4 1 3 3f x x x x= − + + = − ( ) 6f x < 3 3 6x − < 3x < 2 3x≤ < 1 2x− < < ( ) 4 2 1 5f x x x x= − + + = − ( ) 6f x < 5 6x− < 1x > − 1 2x− < < 1x ≤ − ( ) 4 2 1 3 3f x x x x= − − − = − ( ) 6f x < 3 3 6x− < 1x > − ( ) 6f x < ( )1,3− ( ) 2 2 1f x x x= − + + ( )3 6f = ( )3 6m n p f+ + = = , ,m n p ( )2 2 2 2 2 2 2 36m n p m n p mn mp np+ + = + + + + + = 2 2 2m n mn+ ≥ 2 2 2m p mp+ ≥ 2 2 2n p np+ ≥ 2 2 2m n p mn mp np+ + ≥ + + ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 36 3m n p m n p mn mp np mn mp np+ + = + + + + + = ≥ + + , ,m n p 12mn np pm+ + ≤ 1 17{ | 1 }2x x − +− ≤ ≤ [ 1,1]− 1a = ( ) ( )f x g x≥ 2 | 1| | 1| 4 0x x x x− + + + − − ≤ 1x < − 2 3 4 0x x− − ≤ 1 1x− ≤ ≤ 2 2 0x x− − ≤ 1 1x− ≤ ≤ 1x > 2 4 0x x+ − ≤ 1 171 2x − +< ≤ ( ) ( )f x g x≥ 1 17{ | 1 }2x x − +− ≤ ≤ [ 1,1]x∈ − ( ) 2g x = ( ) ( )f x g x≥ [ 1,1]− [ 1,1]x∈ − ( ) 2f x ≥ ( )f x [ 1,1]− ( 1)f − (1)f ( 1) 2f − ≥ (1) 2f ≥ 1 1a− ≤ ≤ a [ 1,1]− [ 1,1]M = − ( ) 12 , 4 1 1 1 1 1,4 4 2 4 4 12 , 4 x x f x x x x x x − ≤ − = − + + = − <