2021届高三数学一轮复习第十五单元训练卷选修4-5不等式选讲（理科） B卷（详解）

2021 届单元训练卷▪高三▪数学卷（B） 第 15 单元 选修 4-5 不等式选讲 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、简答题． 1．已知 ． （1）求不等式 的解集； （2）若 的最小值是 ，且 ，求证： ． 2．设函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围． 3．已知函数 ， ． ( ) 3 4f x x x= − + + ( ) 9f x ≤ ( )f x k 2 2 2a b k+ = 2 2 9 16 1a b + ≥ ( ) ( )4 0f x x a x a= − + − ≠ 2a = ( ) 1f x x< + x ( ) 8 2f x a ≥ − a ( ) 1xf x a = + ( ) 1g x x a = −（1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 、 ，证明： ． 4．已知实数正数 满足 ． （1）解关于 的不等式 ； （2）证明： ． 5．已知函数 ， ，其中 ， 均为正实数，且 ． （1）求不等式 的解集； （2）当 时，求证： ． 6．设函数 ． （1）求不等式 的解集； 1a = ( ) ( )2 1f x g x− < 1a > 1b > 1 1f gb b    − >       ,x y 1x y+ = x 52 2x y x y+ + − ≤ 2 2 1 11 1 9 x y   − − ≥      ( ) 1 1f x x x= + − − ( ) 2 2g x x a x b= + + − a b 2a b+ = ( ) 1f x ≥ x∈R ( ) ( )f x g x≤ ( ) 3 1f x x x= + − − ( ) 2 3f x x≥ −（2）若函数 的最大值为 ，且正实数 、 满足 ，求 的最小值． 7．已知函数 ． （1）解不等式 ； （2）若 的最小值为 m，且 ，证明： ． 8．已知 ， ， 均为正实数，且 ，证明： （1） ； （2） ． 9．已知对任意实数 ，都有 恒成立． （1）求实数 的范围； （2）若 的最大值为 ，当正数 ， 满足 时，求 的最小值． ( )f x m a b a b m+ = 1 1 1 1a b ++ + ( ) | 2 |f x x= − ( ) 3 | 3|f x x≤ − − ( ) | 3|f x x+ − a b c m+ + = 2 2 2 1 3a b c+ + ≥ a b c 1a b c+ + = 2 2 2 1 1 1 1 2 a b c a b c + + ≥− − − 3 3 3 1 1 1 81a b c + + ≥ x 2 4 0x x m+ + − − ≥ m m n a b 4 1 5 3 2 6 n a b a b + =+ + 4 7a b+10．已知函数 ． （1）求不等式 的解集； （2）若函数 的最小值为 ，且实数 ， 满足 ，求 的最大值． ( ) 2 2 1f x x x= − + − ( ) 6f x < ( )f x m a b 2 2 2a b m+ = 3 4a b+高三▪数学卷（B） 第 15 单元 选修 4-5 不等式选讲 答 案 一、简答题． 1．【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【解析】（1） ， 等价于 或 或 ， 得 或 或 ， 综上：不等式 的解集 ． （2）因为 ， 所以 的最小值为 7，即 ． 所以 ， （当且仅当 ， 时，等号成立）． 即证： ． 2．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）当 时， ， 当 时， ，即 ，解得 ； 当 时， ，即 ，解得 ； 当 时， ，即 ，解得 ， 故不等式 的解集为 ． （2）∵ ， ∴ ． 当 ，即 或 时，不等式显然成立； 当 ，即 时，有 ，解得 ， 故 的取值范围为 ． 3．【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【解析】（1）当 时， ， 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ，故 ； 当 时， 恒成立， 故不等式 的解集为 ． （2）当 、 时，要证 ， 只需证 ，即证 ， 因为 ， 所以 ，原不等式成立， 即当 、 时， ． 4．【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【解析】（1） ， { }| 5 4x x− ≤ ≤ ( ) 3 4 9f x x x= − + + ≤ ( ) ( ) 4 3 4 9 x x x < − − − − + ≤ ( ) ( ) 4 3 3 4 9 x x x − ≤     或 1a = ( ) ( ) 3, 1 2 1 2 1 3 1, 1 1 3, 1 x x f x g x x x x x x x − + ≥ − = + − − = − − < 1 1x− < < 3 1 1x − < 2 3x < 21 3x− < < 1x ≤ − 3 1x − < ( ) ( )2 1f x g x− < 2 23x x x  < >    或 1a > 1b > 1 1f gb b    − >       1 1 11ab b a − + > − 1ab a b− > − ( )( )2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 0ab a b a b a b a b− − − = + − − = − − > 1ab a b− > − 1a > 1b > 1 1f gb b    − >       1 ,16     1, 0, 0x y x y+ = > > 且 0 152 52 2 2 1 2 x x y x y x x < > 2 2 2 2 2 2 1 1 1 11 1 x y x y x y   − − ∴ − − = ⋅     ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1x x y y x y y x x y xy x y xx yy + − + − + += ⋅ = ⋅ + + += 2 2 1 9 2 2 1xy x y ≥ + = +    = + 1 2x y= = 1 ,2  +∞  ( ) 2, 1 2 , 1 1 2, 1 x f x x x x − ≤ − = − <  3x < − ( ) 2 3f x x≥ − 2 3 4x− ≤ − 2x ≥ x∈∅ 3 1x− ≤ ≤ ( ) 2 3f x x≥ − 2 2 2 3x x+ ≥ − 0x ≥ 0 1x≤ ≤ 1x > ( ) 2 3f x x≥ − 2 3 4x− ≤ 2 3x ≥ − 1x > ( ) 2 3f x x≥ − [ )0,+∞ ( )y f x= 4 4a b+ = ( ) ( )1 1 16 a b+ + + = ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 6 1 1 6 1 1 b aa ba b a b a b + +   + = + + + + = + + +     + + + + + +    ( )1 1 12 26 1 1 1 22 26 3 b a a b  + +≥ + ⋅  = +  =+ + 2a b= = 1 1 1 1a b ++ + 2 3 [1,4] | 2 | | 3| 3x x− + − ≤由 ，解得 ； 由 ，解得 ； 由 ，解得 ， 综上可得原不等式的解集为 ． （2）因为 ，所以 ， 要证原不等式成立，即证 ． 因为 ， 当且仅当 时取等号，所以原不等式成立． 8．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为 ， ， 均为正实数，且 ， 所以 ， ， 均为正数． 所以 ． 所以 ，当且仅当 时，等号成立． （2）因为 ， ， 均为正实数，且 ，所以 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时，等号成立． 因为 ， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立． 9．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1） 对任意实数 ，都有 恒成立， 又 ， ． （2）由（1）知 ，由柯西不等式知： ， 当且仅当 ， 时取等号， 的最小值为 ． 10．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1） ， 等价于 或 或 ， 解得 或 或 ． 故不等式 的解集为 ． （2）由（1）知 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ， 则 ，故 ， (当且仅当 ， 时取等号)， 即 的最大值为 ． 3 2 3 3 x x x ≥  − + − ≤ 3 4x≤ ≤ 2 3 2 3 3 x x x ≤