2021届高三数学一轮复习第十一单元训练卷圆锥曲线（理科） B卷（详解）

2021 届单元训练卷▪高三▪数学卷（B） 第 11 单元 圆锥曲线 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知 ， ，动点 满足 ，当 为 和 时，点 的轨迹分别 是（ ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的右支和一条直线 D．双曲线的右支和一条射线 2．抛物线 的准线方程为（ ） A． B． C． D． 3．若椭圆 上一点 到焦点 的距离为 ，则点 到另一个焦点 的距离是（ ） A． B． C． D． 4．若椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则实数 为（ ） A． B． C． D．不确定 5．已知 为抛物线 上一点，点 到 的焦点的距离为 ，到 轴的距离为 ，则 （ ） A． B． C． D． 6．已知双曲线与椭圆 的焦点重合，它们的离心率之和为 ，则双曲线的渐近线方程 为（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的离心率 为（ ） A． B． C． D． 8．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ． 是 上 一点，且 ．若 的面积为 ，则 （ ） A． B． C． D． 9．设 为坐标原点，直线 与抛物线 交于 ， 两点，若 ， 则 的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 10．设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点，若 的面积为 ，则 的焦距的最小值为（ ） A． B． C． D． 11．已知动点 到点 的距离等于点 到直线 的距离，设点 的轨迹为曲线 ， ， 为曲线 上两动点， 为 的中点，若点 到 轴的距离为 ，则弦 的最大值为（ ） A． B． C． D． 12．已知椭圆 的短轴长为 ，上顶点为 ，左顶点为 ， ， 分别是椭 圆的左、右焦点，且 的面积为 ，点 为椭圆上的任意一点，则 的取 值范围为（ ） 1( 5,0)F − 2 (5,0)F P 1 2| | | | 2PF PF a− = a 3 5 P 22y x= 1 2x = − 1 2x = 1 8y = − 1 8y = 2 2 116 25 x y+ = P 1F 6 P 2F 2 4 6 8 2 2 2 14 x y m + = 2 2 2 12 x y m − = m 1 1− 1± A 2: 2 ( 0)C y px p= > A C 12 y 9 p = 2 3 6 9 2 2 19 5 x y+ = 8 3 3 3y x= ± 3y x= ± 3 5 5y = ± 5 3y x= ± 2 2 2 1( 0)4 x y aa − = > 2 12y x= 9 5 5 3 3 2 3 5 5 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 1F 2F 5 P C 1 2F P F P⊥ 1 2PF F△ 4 a = 1 2 4 8 O 2x = 2: 2 ( 0)C y px p= > D E OD OE⊥ C 1( ,0)4 1( ,0)2 (1,0) (2,0) O x a= 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > D E ODE△ 8 C 4 8 16 32 M (1,0)F M : 1l x = − M E A B E N AB N y 2 AB 6 5 4 3 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 A B 1F 2F 1F AB△ 2 3 2 − P 1 2 1 1 | | | |PF PF +A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是 上任意一点，则 的周长 为__________． 14．已知直线 过抛物线 的焦点 ，交抛物线于 ， 两点，若 ， 则 等于__________． 15．已知 为双曲线 的右焦点， 为 的右顶点， 为 上的点， 且 垂直于 轴，若 的斜率为 ，则 的离心率为__________． 16．已知椭圆 的右焦点为 ，点 为椭圆 内一点，若椭圆 上存在一点 ，使得 ，则 的取值范围是__________． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．（10 分）如图，已知抛物线 与 轴相交于点 ， 两点， 是该抛物线上位于第一 象限内的点． （1）记直线 ， 斜率分别为 ， ，求证 为定值； （2）过点 作 ，垂足为 ，若 关于 轴的对称点恰好在直线 上，求 的面 积． 18．（12 分）如图，设 是圆 上的动点，点 是 在 轴上投影， 为 上一点， 且 ． （1）当 在圆上运动时，求点 的轨迹 的方程； （2）求过点 且斜率为 的直线被 所截线段的长度． [1,2] [ 2, 3] [ 2,4] [1,4] 2 2 : 136 9 x yC + = 1F 2F A C 1 2AF F△ AB 2 4y x= F 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 5x x+ = | |AB F 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > A C B C BF x AB 3 C 2 2 : 1( 16)16 x yC mm m + = >− F ( 2,2 3)A − C C P | | | | 10PA PF+ = m 2 1y x= − x A B P PA PB 1k 2k 2 1k k− A AD PB⊥ D D x PA PAD△ P 2 2 25x y+ = D P x M PD 4| | | |5MD PD= P M C (3,0) 4 5 C19．（12 分）已知椭圆 过点 ，点 为其左顶点，且 的斜率 为 ． （1）求 的方程； （2）点 为椭圆上任意一点，求 的面积的最大值． 20．（12 分）已知抛物线 过点 ． （1）求抛物线 的方程，并求其准线方程； （2）是否存在平行于 ( 为坐标原点)的直线 ，使得直线 与抛物线 有公共点，且直线 与 的距离等于 ?若存在，求直线 的方程；若不存在，说明理由． 21．（12 分）已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合． 的中心 与 的顶点重合，过 且与 轴垂直的直线交 于 ， 两点，交 于 ， 两点．且 ． （1）求 的离心率； （2）设 是 与 的公共点．若 ，求 与 的标准方程． 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > (2,3)M A AM 1 2 C N AMN△ 2: 2 ( 0)C y px p= > (1, 2)A − C OA O l l C OA l 5 5 l 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > F 2C 1C 2C F x 1C A B 2C C D 4| | | |3CD AB= 1C M 1C 2C | | 5MF = 1C 2C22．（12 分）已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶 点． （1）求 的方程； （2）若点 在 上，点 在直线 上，且 ， ，求 的面积． 2 2 2: 1(0 5)25 x yC mm + = < < 15 4 A B C C P C Q 6x = | | | |BP BQ= BP BQ⊥ APQ△好教育单元训练金卷▪高三▪数学卷（B） 第 11 单元 圆锥曲线 答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】当 时， ，此时点 的轨迹为双曲线的右支； 当 时， ，此时点 的轨迹为以 为端点的一条射线， 故选 D． 2．【答案】C 【解析】由已知， ，即 ，所以抛物线 的准线方程为 ． 3．【答案】B 【解析】由椭圆的标准方程可知， ，∴ ， 由椭圆的定义可知：∵ ， ，∴ ． 4．【答案】C 【解析】由方程可知，双曲线焦点在 轴上， ，得 ，∴ ， 故选 C． 5．【答案】C 【解析】根据抛物线的定义可知，点 到 的焦点的距离等于到准线 的距离， 即 ，解得 ． 6．【答案】B 【解析】∵椭圆 的焦点为 ， ，离心率 ， ∴双曲线的离心率为 ，在双曲线中 ，可得 ，∴ ， 故双曲线的渐近线方程为 ，故选 B． 7．【答案】D 【解析】因为双曲线 的右焦点 与抛物线 的焦点 重合，所以 ，解得 ， 即该双曲线的离心率为 ． 8．【答案】A 【解析】设 ， ，则 ， ， ， 可得 ， 又 ，求得 ． 9．【答案】B 【解析】不妨设 ， ， ∵ ，∴ ，解得 ， 故抛物线 的方程为 ，其焦点坐标为 ． 10．【答案】B 【解析】双曲线 的两条渐近线分别为 ， 则容易得到 ，则 ， ， 当且仅当 时，等号成立，所以 ，焦距 ． 11．【答案】A 【解析】由抛物线的定义可得，曲线 的方程为 ，焦点为 ，准线为 ， 作 ， ， ，垂足分别为 ， ， ， 则 ， 即 ， 3a = 1 2 1 2| | | | 2 6 | |PF PF a F F− = = < P 5a = 1 2 1 2| | | | 2 10 | |PF PF a F F− = = = P 2F 22y x= 2 1 2x y= 22y x= 1 8y = − 2 25a = 5a = 1 2| | | | 2 10PF PF a+ = = 1| | 6PF = 2| | 4PF = x 2 24 2m m− = + 2 1m = 1m = ± A C 2 px = − 12 9 2 p= + 6p = 2 2 19 5 x y+ = ( 2,0)− (2,0) 2 3e = 8 2 23 3 − = 2c = 1a = 3b = 3y x= ± 2 2 2 1( 0)4 x y aa − = > 2( 4,0)F a + 2 12y x= (3,0)F′ 2 4 3a + = 5a = 3 3 5 55 = 1PF m= 2PF n= 1 2 1 42PF FS mn= =△ | | 2m n a− = 2 2 24m n c+ = 2 2 4c a= + 5ce a = = 1a = (2, 4 )D p (2, 4 )E p− OD OE⊥ 4 4 0OD OE p⋅ = − =  1p = C 2 2y x= 1( ,0)2 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > by xa = ± | | 2DE b= 8ODES ab= =△ 2 2 2 2 16c a b ab= + ≥ = 2 2a b= = min 4c = min(2 ) 8c = E 2 4y x= (1,0)F : 1l x = − 1AA l⊥ 1NN l⊥ 1BB l⊥ 1A 1N 1B 1 1 1 1 1 1| | (| | | |) (| | | |) | |2 2 2NN AA BB AF BF AB= + = + ≥ 1| | 2 | | 2 (2 1) 6AB NN≤ = × + =综上可得，弦 的最大值为 ． 12．【答案】D 【解析】由已知得椭圆 的短轴长为 ， ， ，解得 ， ∴ ， ， ， 设 ，则 ， ，即 ， ∴ ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．【答案】 【解析】根据题意，椭圆 ，其中 ， ， 则 ， 是 上任意一点， 则 的周长 ． 14．【答案】 【解析】由题知， ． 15．【答案】 【解析】由题可知点 的坐标为 ，所以 ，且 ， 代入并化简可得 ，解得 或 (舍去)． 16．【答案】 【解析】椭圆 的右焦点 ，左焦点为 ， 由椭圆的定义可得 ，即 ， 又∵ ，∴ ， 由 ，可得 ，解得 ， 所以 ，① 又 在椭圆内，所以 ， 所以 ，解得 或 ， 与①取交集得 ． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）由题意得点 ， 的坐标分别是 ， ． 设点 的坐标为 ，且 ，则 ， ， 所以 为定值． （2）由直线 ， 的位置关系知 ， 因为 ，所以 ，解得 ， 因为 是第一象限内的点，所以 ，得点 的坐标为 ． 联立直线 与 的方程 ，解得点 的坐标为 ． 所以 的面积 ． AB 6 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2b = 1b = 1 1 2 3( )2 2F ABS a c b∆ −= − = 2 3a c− = − 2a = 3c = 1 2| | | | 2 4PF PF a+ = = 1| |PF x= 2| | 4PF x= − [ , ]x a c a c∈ − + [2 3,2 3]x∈ − + 2 1 2 1 1 1 1 4 [1,4]| | | | 4 4 ( 2)PF PF x x x + = + = ∈− − − 12 6 3+ 2 2 : 136 9 x yC + = 6a = 3b = 36 9 3 3c = − = A C 1 2AF F△ 1 2 1 2| | | | | | 2 2 12 6 3l AF AF F F a c= + + = + = + 7 1 2| | 5 2 7AB x x p= + + = + = 2 B 2 ( , )bc a 2 3AB b ak c a = =− 2 2 2b c a= − 2 2 23 2 0 3 2 0c ac a e e− + = ⇒ − + = 2e = 1e = (16 8 3,49]+ 2 2 : 1( 16)16 x yC mm m + = >− (4,0)F ( 4,0)F′ − 2 | | | |m PF PF′= + | | 2 | |PF m PF′ = − | | | | 10PA PF+ = | | | | 10 2PA PF m′− = − || | | || | | 4PA PF AF′ ′− ≤ = 4 10 2 4m− ≤ − ≤ 3 7m≤ ≤ 9 49m≤ ≤ ( 2,2 3)A − 4 12 116m m + + 16 8 3 49m+ < ≤ 21 2S = + A B ( 1,0)A − (1,0)B P 2( , 1)P t t − 1t > 2 1 1 11 tk tt −= = −+ 2 2 1 11 tk tt −= = +− 2 1 2k k− = PA AD 1 1ADk k t= − = − AD PB⊥ 2 (1 )( 1) 1ADk k t t⋅ = − + = − 2t = ± P 2t = P ( 2,1)P PB AD (1 2)( 1) (1 2)( 1) y x y x  = + − = − + D 2 2( , )2 2D − PAD△ 1 2| | | | 12 2P DS AB y y= ⋅ ⋅ − = +18．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）设点 的坐标是 ， 的坐标是 ， 因为点 是 在 轴上投影， 为 上一点，且 ， 所以 ，且 ， ∵ 在圆 上，∴ ， 整理得 ，即 的方程是 ． （2）过点 且斜率为 的直线方程是 ， 设此直线与 的交点为 ， ， 将直线方程 代入 的方程 ，得 ， 化简得 ，∴ ， ， 所以线段 的长度是 ， 即所截线段的长度是 ． 19．【答案】（1） ；（2）18． 【解析】（1）根据题意，把点 代入椭圆得到 ①， 设 ，又 ，∴ ， 代入①式，求得 ， ∴椭圆 的方程为 ． （2）由题意，可知 的直线方程为 ， 设直线 与椭圆相切于点 ， ， 联立方程组得 ， ，得 ， 由题意可知 时， 面积最大， 直线 与直线 距离 ， ， ∴ ． 20．【答案】（1） ， ；（2）存在，直线 方程为 ． 【解析】（1）将 代入 ，得 ，所以 ， 故所求的抛物线 的方程为 ，其准线方程为 ． （2）假设存在符合题意的直线 ，其方程为 ， 由 ，得 ． 因为直线 与抛物线 有公共点，所以得 ，解得 ． 另一方面，由直线 与 的距离 ，可得 ，解得 ． 因为 ， ， 所以符合题意的直线 存在，其方程为 ． 21．【答案】（1） ；（2） ， ． 【解析】（1）∵ 为 的焦点且 轴，∴ ， ， 设 的标准方程为 ， 2 2 125 16 x y+ = 41 5 M ( , )x y P ( , )p px y D P x M PD 4| | | |5MD PD= px x= 5 4py y= P 2 2 25x y+ = 2 25( ) 254x y+ = 2 2 125 16 x y+ = C 2 2 125 16 x y+ = (3,0) 4 5 4 ( 3)5y x= − C 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 4 ( 3)5y x= − C 2 2 125 16 x y+ = 2 2( 3) 125 25 x x −+ = 2 3 8 0x x− − = 1 3 41 2x −= 2 3 41 2x += AB 2 2 2 1 2 1 2 1 2 16 41 41| | ( ) ( ) (1 )( ) 4125 25 5AB x x y y x x= − + − = + − = × = 41 5 2 2 116 12 x y+ = (2,3)M 2 2 4 9 1a b + = ( ,0)A a− 3 1 2 2AMk a = =+ 4a = 2 12b = C 2 2 116 12 x y+ = AM 2 4 0x y− + = 2 0x y m− + = N 2 2 2 0 116 12 x y m x y − + = + = 2 216 12 3 48 0y my m− + − = 2 2144 64(3 48) 0Δ m m= − − = 8m = ± 8m = − AMN△ 2 4 0x y− + = 2 8 0x y− − = 2 2 | 4 ( 8) | 12 5 51 ( 2) d − −= = + − | | 3 5AM = 1 12 53 5 183 5AMNS = × × =△ 2 4y x= 1x = − l 2 1 0x y+ − = (1, 2)− 2 2y px= 2( 2) 2 1p− = ⋅ 2p = C 2 4y x= 1x = − l 2y x t= − + 2 2 4 y x t y x = − +  = 2 2 2 0y y t+ − = l C 4 8 0Δ t= + ≥ 1 2t ≥ − OA l 5 5d = | | 1 5 5 t = 1t = ± 11 [ , )2 − ∉ − +∞ 11 [ , )2 ∈ − +∞ l 2 1 0x y+ − = 1 2 2 2 1 : 136 27 x yC + = 2 2 : 12C y x= F 1C AB x⊥ ( ,0)F c 22| | bAB a = 2C 2 2 ( 0)y px p= >∵ 为 的焦点且 轴，∴ ， ． ∵ ， 与 焦点重合，∴ ， 消去 得 ，∴ ，∴ ， 设 的离心率为 ，则 ，∴ 或 (舍)， 故 的离心率为 ． （2）由（1）知 ， ， ．∴ ， ． 联立两曲线方程，消去 得 ， ∴ ，∴ 或 (舍)， 从而 ．∴ ． ∴ 与 的标准方程分别为 ， ． 22．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）∵ ，∴ ， ∴ 的方程为 ． （2）由椭圆对称性不妨取点 在椭圆 上半部分，如图所示． 作 轴于点 ，直线 交 轴于点 ， 由已知易证 ，所以 ， ， 故可设 ，代入 得 ，解得 ， ∴ ， 或 ， ， 当 ， 时， ， 当 ， 时， ， 综上， 的面积为 ． F 2C AB x⊥ ( ,0)2 pF | | 2CD p= 4| | | |3CD AB= 1C 2C 2 2 4 22 3 pc bp a  =  = × p 284 3 bc a = 23 2ac b= 2 23 2 2ac a c= − 1C e 22 3 2 0e e+ − = 1 2e = 2e = − 1C 1 2 2a c= 3b c= 2p c= 2 2 1 2 2: 14 3 x yC c c + = 2 2 : 4C y cx= y 2 23 16 12 0x cx c+ − = (3 2 )( 6 ) 0x c x c− + = 2 3x c= 6x c= − 2 5| | 52 3 3 pMF x c c c= + = + = = 3c = 1C 2C 2 2 136 27 x y+ = 2 12y x= 2 216 125 25 x y+ = 5 2 225 15 5 4 c me a −= = = 2 25 16m = C 2 216 125 25 x y+ = P C PC x⊥ C 6x = x D PBC BQD≅Rt Rt△ △ 1PC BD= = BC DQ= ( ,1)P x C 2 16 125 25 x + = 3x = ± (3,1)P (6,2)Q ( 3,1)P − (6,8)Q (3,1)P (6,2)Q 2 21 1 1 510 2 10 2 (1 2 )2 2 2 2APQ ABQ ABP BPQS S S S= − − = × × − × × − × + =△ △ △ △ ( 3,1)P − (6,8)Q 2 21 1 1 510 8 10 2 (1 8 )2 2 2 2APQ ABQ ABP BPQS S S S= − − = × × − × × − × + =△ △ △ △ APQ△ 5 2