钦州一中 2021 届高三摸底考试试题
理科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必正确贴好条形码，并用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座
位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。
3．考试结束后，只需将答题卡上交。满分 150 分，考试用时 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则 中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．复数 的虚部是（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
3.若双曲线 的离心率为 ，则 的虚轴长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知递增等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，4， 成等比数列，则 （ ）
A．36 B．32 C．28 D．30
5.已知向量 ， ，若 ，则 与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
{( , ) | , , }A x y x y y x= ∈ ≤*N {( , ) | 4}B x y x y= + = A B
10
1 3i−
2 2
: 13
x yC m
− = 3 C
4 2 6 2 3 2
{ }na n nS 4 6a = 2a 5a 6S =
( )1,2a = ( ),3b m= ( )2a a b⊥ − a b
10
10
3 10
10
5
5
2 5
56.已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
7.已知等比数列 满足 ，且 ， ， 成等差数列，则 的值为（ ）
A． B．8 C．2 D．
8.在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 ，且 ，则下面四种情形
中，对应样本的标准差最小的一组是（ ）
A． B．
C． D．
9.射线测厚技术原理公式为 ,其中 分别为射线穿过被测物前后的强度, 是自然对数
的底数, 为被测物厚度, 是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅（ ）低能 射线测量
钢板的厚度,若这种射线对钢板的半价层厚度为 0.8，则这种射线的吸收系数为（ ）
（注：半价层厚度是指将射线强度减弱为一半的某种物质厚度, ,结果精确到 0.001）
A．0.110 B．0.112 C． D．
10.一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为 ，则该几何体的外接球的表面积为
（ ）
A．36π
B．64π
C．81π
D．100π
cos 4
2 2
3
θπ + = sin 2θ
7
9
− 2
9
− 2
9
7
9
{ }na 0na > 12a 3
1
2 a 2a 3 5 4
6 8 7
2
2
a a a
a a a
+ −
+ −
1
8
1
2
1 2 3 4, , ,pp p p
4
1
1i
i
p
=
=∑
1 4 2 30.1, 0.4p p p p= = = = 1 4 2 30.4, 0.1p p p p= = = =
1 4 2 30.2, 0.3p p p p= = = = 1 4 2 30.3, 0.2p p p p= = = =
7.6
0
tI I e µ−= 0I I, e
t µ 241 Am γ
ln2 0.693≈
0.114 0.116
20 511．设椭圆 C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 ．P 是 C 上一
点，且 F1P⊥F2P．若△PF1F2 的面积为 4，则 a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案填在答题卡相应的位置上）
13． 的展开式中含 的项的系数为 8，则 __________．
14．若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为_________．
15．已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，若圆锥内某正方体的底面在圆锥的底面上，则该正
方体的最大体积为______．
16．关于函数 f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于 y 轴对称． ②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线 x= 对称． ④f（x）的图像关于点 对称．
其中所有真命题的序号是__________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程）。
17.（本小题满分 12 分）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，近年我国关于延迟退休的话题一
直在热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取 100 人进行调查，调查
情况如下表：
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 3
2
3log 2a = 5log 3b = 8log 5c =
b a c< < a b c< < b c a< < c a b< <
2 4( )ax x
+ 5x a =
0,
2 0
1,
x y
x y
x
+ ≥
− ≤
≤
， 3 2z x y= −
2 6
1cos cosx x
+
2
π
( ,0)2
π年龄段（单位：岁）
被调查的人数 10 15 20 25 5
赞成的人数 6 12 20 12 2
（1）从赞成“延迟退休”的人中任选 1 人,得此年龄在 的概率为 ，求出表格中 , 的值；
（2）若从年龄在 的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取
5 人参与某项调查，然后再从这 5 人中随机抽取 3 人参加座谈会，记这 3 人中赞成“延迟退休”的
人数为 ，求 的分布列．
18.（本小题满分 12 分）在△ABC 中， .
（1）求角 A；
（2）若 ， 是 的角平分线，D 在 BC 上，且
.求 .
19．（本小题满分 12 分）已知正方体 的边长为 4，E,F,G 分别在棱
[15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75]
m
n
[35,45) 1
5
m n
[45,55)
X X
(2 )cos cosb c A a C− =
2 3c = AD BAC∠
2AD = b
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1, ,AB BB DD上， ， ， .
（1）证明：点 在平面 内；
（2）求二面角 的正弦值．
20．（本小题满分 12 分）曲线 ： 与曲线 ： 交于 、 两点，
为原点， .
（1）求 ；
（2）曲线 上一点 的纵坐标为 2，过点 作直线 、 ， 、 的斜率分别为 、 ，
， 、 分别交曲线 于异于 的不同点 ， ，证明：直线 恒过定点.
21.（本小题满分 12 分）已知函数 ．
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）若 ，且 存在两个极值点 ，证明： ．
请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按
所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
2AE = 1BF = 2DG =
G 1EFC
A GF C− −
C ( )2 2 0y px p= > E 2 2 32x y+ = A B O
90AOB∠ = °
p
C M M 1l 2l 1l 2l 1k 2k
1 2 2k k+ = 1l 2l C M N P NP
1( ) lnf x x a xx
= − +
1( ) ( )g x f xx
= − ( )g x
2a > ( )f x 1 2,x x
( ) ( )1 2
1 2
2f x f x ax x
− < −−在直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 与 x 轴、y 轴
分别交于 两点，直线 与曲线 交于 两点.
（1）求 两点的极坐标；
（2）求 的值.
23．[选修 4—5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
已知 x，y，z 均为正实数，且 ．
证明：（1） ；
（2） ．
l
5 ,5
2 5
5
x t
y t
=
=
t x
C 2 2cos sin 2 cos 1 0ρ θ ρ θ ρ θ− − + = C
,A B l C ,P Q
,A B
|| | | ||OP OQ−
2 2 2
1 1 1 14 9x y z
+ + =
1 1 1 12 6 3xy yz xz
+ + ≤
2 2 24 9 9x y z+ + ≥2021 届高三摸底考试试题 理科数学参考答案
一、ADBDD AAACC CB 二、13）2； 14）0； 15）1； 16）①④.
1.A 解:由 ，且 ，知元素为直线 右方（含线上）且在直线 上的点，
所以有 满足，故 中元素的个数为 2.故选 A.
2.D 解：因 ，所以复数 的虚部为 3.选 D.
3.B 解:双曲线 的焦点在 轴上，则 ， ， ，因为
，所以 ，则 ，故双曲线 的虚轴长为 .故选 B.
4.D 解:设 的公差为 ,因 ,且 ,4, 成等比数列,所以 ，
得 或 （舍），所以 ， ．故选 D.
5.D 解: ， ， .又 ， ，解得
，即 ，故 .故选 D.
6.A 解：由 得 ，即 ，平方可得：
，得 .故选 A.
7.A 解:因为 ， ， 成等差数列，则 ，即 ，解得 ，
所以 .故选 A
8.A 解： ， ；
， ； ， ； ， .故选 A.
4
y x
x y
≤
+ =
*,x y N∈ y x= 4x y+ =
(2,2),(3,1) A B
10 1 31 3z ii
= = +−
10
1 3z i
= −
2 2
: 13
x yC m
− = x 2 3a = 2b m= 2 2 2 3c a b m= + = +
3 33
c me a
+= = = 6m = 6b = C 2 6
{ }na ( )0d d > 4 6a = 2a 5a ( ) ( )2 5 6 2 6 16a a d d⋅ = − ⋅ + =
2d = 5− 1 6 3 0, 2 2na d a n= − = = − ( )
6
0 10 6 302S
+ ×= =
( )1,2a = ( ),3b m= ∴ ( )2 2 1a b m− = − , ( )2a a b⊥ − ∴ 2 2 0m− + =
4m = ( )4,3b = ( ) 10 2 5cos , 55 5
aa
a
bb
b
⋅= = =
×
cos 4
2 2
3
θπ + =
( )cos sin2 2 2
2 3
θ θ− = cos si 4
3nθ θ− =
161 sin 2 9
θ− = 7sin 2 9
θ = −
12a 3
1
2 a 2a 3 1 22a a a= + 2
1 1 12a q a a q= + 2q =
2 4 3
3 5 4 1 1 1
5 7 6 3
6 8 7 1 1 1
2 2 1 1
2 2 8
a a a a q a q a q
a a a a q a q a q q
+ − + −= = =+ − + −
( ) ( )1 4 0.1 2 3 0.4 2.5Ax = + × + + × = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2.5 0.1 2 2.5 0.4 3 2.5 0.4 4 2.5 0.1 0.65As = − × + − × + − × + − × =
2.5Bx = 2 1.85Bs = 2.5Cx = 2 1.05Cs = 2.5Dx = 2 1.45Ds =（此题可估算，平均数附近占的数多则较集中，得方差小）
9.C 解: 因为 ,所以 ,即 .
所以这种射线的吸收系数为 .故选 C
10.C 解：根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，如图所
示：该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，由 ，
得 ．设四棱锥的外接球的半径为r，所以 ，得 ，则 ，
选 C
11.C 解： , ,由定义, , ,即 ，且
， ，即 ，得 ，选 C.
12.B 解： 、 、 ， ，
，即 ；而
，综上所述， .故选 B.
13.2 解： ，得 ， .故答案为 2.
14.0 解：如图，最优解为 ，所以 .故答案为 0.
15.1 解：圆锥内接正方体最大，轴截面如图所示，圆锥的高
为 2，设正方体边长为 x,则由相似比
得 ，其体积为 1.
16.①④解：对①， 定义域
关于原点对称，且 ， 得 的图象关于 y 轴对称，命
0
10.8, 7.6, 2
It I
ρ= = =
0
tI I e ρµ−= 7.6 0.81
2 e µ− × ×= ln2 0.693 0.1147.6 0.8 6.08
µ = = ≈×
0.114
1 5 6 20 53V h= × × × =
2 5h = ( ) ( )22 2 22 5 6 2 5r = + + 9
2r =
294 812S π π = × = 球
2
3c
a
= 2 23 4a c∴ = 1 2 2PF PF a+ = 1 2
1 | | 42 P F P F⋅ = 1 2| | 8PF PF⋅ =
( )2 22
1 2| | 2PF PF c+ = ( )2 2
1 2 1 22 4PF PF PF PF c∴ + − ⋅ = 2 16a = 4a =
a b ( )0,1c∈ 2 2
5 5 5
5 5
l g 3 l g 8 l g 24log 3 log 8 12 2
o o o+ ⋅ < = = a b c< <
( )1 4 4
42 8 3
r
rr r r
r
raC x C xxT a+
− − ⋅ ⋅ ⋅
=
= 1r= 1
4 8 2C a a⋅ = ⇒ =
(0,0)O max 0z = 3 1
2 2y x z= −
2 2 122 2
x x x
−= ⇒ =
( )f x
( ) ( )f x f x− = ( )f x题①正确；对②， ， ，则 ，所以 的图象不关于 轴对称，
命题②错误；对③， ， ，则 ，所以 的图象不关于 x= 对
称，命题③错误；对④， ， ，则 ，
命题①正确.故答案为①④.
17.解：（1）因为总共抽取 100 人进行调查，所以 ， - -2 分
因从赞成“延迟退休”的人中任选 1 人,其年龄在 的概率为 ,得 .- -4 分
（2）从年龄在 中按分层抽样抽取 5 人，赞成的抽取 人，不赞成的抽取 1 人，再从
这 5 人中随机抽取 3 人，则随机变量 X 的可能取值为 2，3. - - - - - - -6 分
则 ， - - - - - - -10 分
所以 X 的分 布列为
- - - - - - -12 分
18.解：（1）∵ , ,
得 ， - - - - - - -2 分
所以 ,则 ,因 ，故 , . - -6 分
（2）由（1）知 , - - - - 8 分
- - - - - - -12 分
X 2 3
P
5
3 2f
π =
5
3 2f
π − = − 3 3f f
π π − ≠
( )f x y
5
3 2f
π =
2 5
3 2f
π = −
2
3 3f f
π π ≠
( )f x 2
π
1sin2 sinf x x x
π − = +
1sin2 sinf x x x
π + = − − 2 2f x f x
π π − = − +
100 10 15 20 25 5 25m = − − − − − =
[ )35,45 1
52 5
n
n
=+ 13n=
[ )45,55 205 425
× =
4
3
2
5
( 2) 5
3CP CX = = = 4
3
3
5
( 3) 2
5
CP X C
= = =
(2 )cos cosb c A a C− = 2 cos cos cosb A a C c A∴ = +
2 sin cos sin cos sin cosB A A C C A= +
2 sin cos sin( )B A A C= + 2sin cos sinB A B= sin 0B ≠ 1cos 2A=
3A
π=
30BAD CAD∠ = ∠ = 2 2 2 cos 30 2BD AB AD AD AB= + − ⋅ =
2, 30 , 60 90 3AD BD B ADC C b AC= = ∴ = ∴∠ = ∴ = ∴ = = ， ，
3
5
2
5（也可以用 ）
19.解：（1）取 中点 H,连接 ,由勾股定理得 - -2 分
则四边形 是正方形, ,由中位线得 - - - -5 分
则 四点共面，故点 在平面 内. - - - - - - - 6 分
（2）建立坐标系 如图，则
- - - 7 分
设平面 和平面 的法向量分别为 ，
则 取
同理 - - - - - - - - - - - - - - - 10 分
，则二面角 的正弦值为 - - - -12 分
20.解:（1）由对称性可知 、 关于 轴对称，可设 ，则 ，
把 代入曲线 得： . - - - - - - -5 分
（2）由（1）得 ，设 ， ，则 ，
同理 ， ， - - - - - - -8 分
若直线 斜率为 0,直线 的方程为 ,代入曲线 仅一解不合题意,舍去， - - 9 分
设直线 的方程为 ，代入 得 ，- - 9 分
3 1 12 3 2 3 2 2 32 2 2ABC ABD ACDS S S b b b= + ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ =
1BB 1 1, , ,AH C H AG C G 1 1= = = =2 5AH C H AG C G
1AHC G 1/ /AH C G∴ 1/ / , / /AH EF C G EF∴
1C G E F， ， ， G 1EFC
D xyz− (4,0,0), (4,4,1), (0,0,2), (0,4,0)A F G C
( 4,0,2), (0,4,1), (0, 4,2), (4,0,1)AG AF CG CF= − = = − =
AEG CEG ,m n
0 4 2 0, ,4 00
m AG x z
y zn AF
⋅ = − + = ∴ + =⋅ =
=(2,-1,4),m
( 1,2,4)n = −
4 16 4cos , 21 7m n
− +< >= = A GF C− − 24 331 ( )7 7
− =
A B x ( ),A a a 2 2 2a pa a p= ⇒ =
( )2 ,2A p p C 2 2(2 ) (2 ) 32 2p p p+ = ⇒ =
( )1,2M ( )1 1N x y, ( )2 2,P x y
1 1
1 2
11 1
2 2 4
1 214
y yk yx y
− −= = =− +−
2
2
4
2k y
= + 1 2 1 2
1 2
4 42 2 42 2k k y yy y
+ = ⇒ + = ⇒ =+ + (*)
NP NP 0y t= C
NP x my t= + 2 4y x= 2 24( ) 4 4 0y my t y my t= + ⇒ − − =得： ，代入 式，得 ， - - - - - - -11 分
故直线 的方程为 ，恒过 . - - - - - - -12 分
21.解：（1） 的定义域为 ， . - - - - - 2 分
（i）若 ，则 ，所以 在 单调递增. - - - - - 3 分
（ii）若 ，当 时， ；当 时， .所以 在 单
调递减，在 单调递增. - - - - - 5 分
（2） 存在两个极值点, . , 的两个极值点 满足 ，
所以 ，不妨设 ，则 . - - - - - 7 分
则 ，
所以 等价于 . - - - - - 9 分
设 ，则 ，知 在 单调递减，又
当 时， .故 ，即 .- - - 12 分
22.解：（1）令 ，得 ，故 A 的极坐标为 ；- - - - - - -2 分
令 ，得 ，故 B 的极坐标为 . - - - - - - -4 分
(2)由 得曲线 的直角坐标方程为 ， - - - - - - -5 分
将 的参数方程代入得 ， - - - - - - -8 分
则 - - - - - - -10 分
1 2
1 2
4
4
y y m
y y t
+ =
= − (*) 4 4 1t t− = ⇒ = −
NP 1x my= − ( )1,0−
( ) lng x x a x= − ( )0,+∞ ( ) 1 a x ag x x x
−′ = − =
0a ≤ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x ( )0,+∞
0a > ( )0,x a∈ ( ) 0g x′ < ( ),x a∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )0,a
( ),a +∞
( )f x 2a> ( ) 2
2
1x axf x x
− +′ = − ( )f x 1 2,x x 2 1 0x ax− + =
1 2 1x x = 1 2x x< 2 1x >
( ) ( )1 2 1 2 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2
ln ln ln ln 2ln1 1 2 2 1
f x f x x x x x xa a ax x x x x x x x xx
− − − −= − − + = − + = − +− − − −
( ) ( )1 2
1 2
2f x f x ax x
− < −− 2 2
2
1 2ln 0x xx
− + <
( ) 1 2lnh x x xx
= − + ( ) 2
2( 01)h x x
x
−′ = − < ( )h x ( )0,+∞ ( )1 0h =
( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x < 2 2
2
1 2ln 0x xx
− + < ( ) ( )1 2
1 2
2f x f x ax x
− < −−
=0θ 2 2 1=0 =1ρ ρ ρ− + ∴， (1,0)A
= 2
πθ =1ρ (1, )2B
π
cos , sinx yρ θ ρ θ= = C 2( 1)y x= −
l 2 4 5 5 0t t− + = 1 2 1 24 5, 5 0t t t t∴ + = = >
2
1 2 1 2 1 2|| | | || =|t -t |= ( ) 4 2 15OP OQ t t t t− + − =（也可用直角坐标方程转为弦长来求）
23．解：（1） ， ， ， - - - - - - -3 分
所以 ． - - - - - - -4 分
当且仅当 时等号成立，即 ． - - - - - - -5 分
（2）由 ，得
． - - - - - - -9 分
当且仅当 时等号成立，所以 ． - - - - - - -10 分
2 2
1 1 1
4x y xy
+ ≥
2 2
1 1 1
4 9 3y z yz
+ ≥
2 2
1 1 2
9 3x z xz
+ ≥
2 2 2
1 1 1 1 1 22 4 9 3 3x y z xy yz xz
+ + ≥ + +
1 1 1
2 3x y z
= = 1 1 1 12 6 3xy yz xz
+ + ≤
2 2 2
1 1 1 14 9x y z
+ + = ( )2 2 2 2 2 24 9 4 9 1x y z x y z+ + = + + ×
( )2 2 2
2 2 2
1 1 14 9 4 9x y z x y z
= + + ⋅ + +
( )21 1 1 9≥ + + =
2 3x y z= = 2 2 24 9 9x y z+ + ≥
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