学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1.命题“若 m=10,则 m2=100”与其逆命题、否命题、逆否命
题这四个命题中,真命题是( )
A.原命题、否命题 B.原命题、逆命题
C.原命题、逆否命题 D.逆命题、否命题
【解析】 因为原命题是真命题,所以逆否命题也是真命题.
【答案】 C
2.有下列四个命题:
(1)“若 x2+y2=0,则 xy=0”的否命题;
(2)“若 x>y,则 x2>y2”的逆否命题;
(3)“若 x≤3,则 x2-x-6>0”的否命题;
(4)“对顶角相等”的逆命题.
其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】
(1) 假
原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性,其逆命
题为“若 xy=0,则 x2+y2=0”,为假命题
(2) 假
原命题与其逆否命题具有相同的真假性.而原命题为
假命题(如 x=0,y=-1),故其逆否命题为假命题
(3) 假
该命题的否命题为“若 x>3,则 x2-x-6≤0”,很明
显为假命题
(4) 假
该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”,显然是假
命题
【答案】 A
3.下列说法中错误的个数是( )
①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期
函数”;
②命题“若 x>1,则 x-1>0”的否命题是“若 x≤1,则 x-
1≤0”;
③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负
数”;
④命题“x=-4 是方程 x2+3x-4=0 的根”的否命题是“x=-4
不是方程 x2+3x-4=0 的根”.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 ①错误,否命题是“若一个函数不是余弦函数,则它
不是周期函数”;②正确;③错误,否命题是“若两个数不全为正数,
则它们的和不为正数”;④错误,否命题是“若一个数不是-4,则它
不是方程 x2+3x-4=0 的根”.
【答案】 C
4.已知命题 p:若 a>0,则方程 ax2+2x=0 有解,则其原命题、
否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】 易知原命题和逆否命题都是真命题,否命题和逆命题
都是假命题.故选 B.
【答案】 B
5.在下列四个命题中,真命题是( )
A.“x=3 时,x2+2x-3=0”的否命题
B.“若 b=3,则 b2=9”的逆命题
C.若 ac>bc,则 a>b
D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
【解析】 A 中命题的否命题为“x≠3 时,x2+2x-3≠0”,是假
命题;B 中命题的逆命题为“若 b2=9,则 b=3”,是假命题;C 中当 c0,则3 a>3 b>0”的逆否命题;
④“若 m>1,则 mx2-2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R”的逆命题.
其中,真命题的序号为________. 【导学号:26160008】
【解析】 ①否命题:若 b2-4ac≥0,则方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
有实根,真命题;
②逆命题:若△ABC 为等边三角形,则 AB=BC=CA,真命题;
③因为命题“若 a>b>0,则3 a>3 b>0”是真命题,故其逆否命题
是真命题;
④逆命题:若 mx2-2(m+1)x+(m-3)>0 的解集是 R,则 m>1,假
命题.
所以应填①②③.
【答案】 ①②③
三、解答题
9.写出命题“已知 a,b∈R,若 a2>b2,则 a>b”的逆命题、否命
题和逆否命题,并判断它们的真假.
【解】 逆命题:已知 a,b∈R,若 a>b,则 a2>b2;
否命题:已知 a,b∈R,若 a2≤b2,则 a≤b;
逆否命题:已知 a,b∈R,若 a≤b,则 a2≤b2.
原命题是假命题.
逆否命题也是假命题.
逆命题是假命题.
否命题也是假命题.
10.已知命题 p:“若 ac≥0,则二次方程 ax2+bx+c=0 没有实
根”.
(1)写出命题 p 的否命题;
(2)判断命题 p 的否命题的真假,并证明你的结论.
【解】 (1)命题 p 的否命题为“若 ac<0,则二次方程 ax2+bx+c
=0 有实根”.
(2)命题 p 的否命题是真命题.
证明如下:
∵ac<0,
∴-ac>0⇒Δ=b2-4ac>0⇒二次方程 ax2+bx+c=0 有实根.
∴该命题是真命题.
[能力提升]
1.(2014·陕西高考)原命题为“若 an+an+1
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