2021 届高三一轮复习题型专题训练
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《导数的综合应用—能成立问题》
考查内容：主要涉及利用导数解决能成立问题
注意：涉及到复合函数求导一般为理科
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知函数 ，若存在 ，使得 有解，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若存在实数 ，使得 的解集为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若关于 的不等式 有且只有两个整数解，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
4．若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 ， ，函数 ，若对于任意
，总存在 ，使得 成立，则 a 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
6．已知函数 满足 ，且存在实数 使得不等式
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．若不等式 的解集中恰有两个整数，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若存在 ，使 成立，则实数 的取值
( ) 1 lnaf x xx
= − + 0 0x > ( )0 0f x ≤ a
3a < 1a ≤ 2a > 3a ≥
x 2 2 ln 4ax a x x− > − − a
( ]2 ln3,2 ln 2− − ( ),2 ln 2−∞ −
( ],2 ln3−∞ − ( ),2 ln3−∞ −
x 2 ln 1 0x m x− − ≥ [ ]2,3 m
3, ln 2
−∞
8, ln 2
−∞
8, ln3
−∞
3 8,ln 2 ln3
( ) 3 3f x x x= − [ ]0,2x∈ ( ) 2 4g x x x a= − +
[ ]1 0,2x ∈ [ ]0 0,2x ∈ ( ) ( )0 1g x f x=
( )g x ( ) ( ) ( )1 211 0 2
xg x g e g x x−′= − + 0x
( )03 4t g x− ≥ t
1 ,3
+∞
1, 2
−∞
5 ,3
+∞
[ )3,+∞
2lnax x x− a
3− ln3 33
− 1− ln 2 22
−
( ) ln 2f x a x x= − *x∈N ( ) 0f x > a2021 届高三一轮复习题型专题训练
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范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若函数 存在单调递减区间，则实数 b 的取值范围是（ ）
A． B．（-2,2） C． D．（0.2）
10．设函数 ，若存在 ，使 ，则实数 a 的
值为（ ）
A． B． C． D．1
11．已知函数 ，若存在唯一的负整数 ，使得
，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ， ，若存在 ，使得
恒成立，则实数 b 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题
13．函数 ， ，若 ， ，使
得 ，则实数 m 的取值范围是______.
14．已知函数 ，若 ，使得
成立，则实数 a 的取值范围是______________.
15．已知函数 与 的图像上存在关于原
点的对称点，则实数 的取值范围是__________．
16．已知函数 ，若不等式 有解，则整数 的最小值为
________.
(2 , )e +∞ 4 ,ln2
+∞
6 ,ln3
+∞ (2, )+∞
21( ) ln 2f x x x bx= + −
( )2 + ∞， ( ), 2 (2, )−∞ − ∪ +∞
2 2( ) ( ) (3ln 3 )f x x a x a= − + − 0x ( )0
9
10f x ≤
1
10
1
4
1
2
3 2( ) 2 3f x x x mx m= − − + 0x
( )0 0f x ≥
30, 4
160, 5
3 16,4 5
3 ,4
+∞
( ) ( )2lnx x bf x x
+ −= b R∈ 1 ,22x ∈
( ) ( )'f x x f x> − ⋅
( ), 2−∞ 3, 2
−∞
( ),3−∞ 9, 4
−∞
( ) 3 12 3f x x x= − + ( ) 3xg x m= − [ ]1 1,5x∀ ∈ − [ ]2 0,2x∃ ∈
( ) ( )1 2f x g x≥
( ) ( ) ( )2lnf x x x x x a a R= + − ∈ 1 ,22x ∃ ∈
( ) ( )f x xf x′>
3 21( ) 2
xf x e x x= − − 3 1( ) ( 0)2g x x ax x= − + <
a
( ) ln( 3) 2f x x x= + − ( ) 2 0f x a− ≤ a2021 届高三一轮复习题型专题训练
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三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知 .
（1）求 的单调区间；
（2）若存在 使 成立，求实数 的取值范围.
18．已知函数
（1）当 时，求函数 在区间 上的最大值和最小值；
（2）若 有解,求 的取值范围.
19．已知函数 在点 处的切线方程为 .
（1）求实数 的值；
（2）若存在 ，满足 ，求实数 的取值范围.
( ) lnf x x x= −
( )f x
x ( )f x m< m
( ) ( )21 ln2f x a x x a R = − + ∈
1a = ( )f x [ ]1,e
( ) 0f x > a
( )
ln
xf x ax bx
= − + ( )( ),e f e 2y ax e= − +
b
2
0 ,x e e ∈ ( )0
1
4f x e≤ + a2021 届高三一轮复习题型专题训练
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20．已知函数
（1）求 在点 处的切线方程；
（2）若存在 ，满足 成立，求 的取值范围．
21．已知函数 ， .
（1）求函数 在 上的最小值；
（2）若存在 （ 是自然对数的底数， ），使不等式
成立，求实数 的取值范围.
22．已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ，若存在 ，使得不等式 成立，求 m 的取值范围.
( ) 1xf x e x= − −
( )y f x= ( )1, (1)f
0
41,ln 3x ∈ − 1 0xa e x− + + < a
( ) lnf x x x= ( ) 2 3g x x ax= − + −
( )f x [ ]( ), 2 0t t t+ >
0
1 ,x ee
∈ e 2.71828e = ⋅⋅⋅
( ) ( )0 02 f x g x≥ a
( ) ( )ln 2 2 )(f x x m x m R= − + + ∈
( )f x
0m > 1[ ,1]2x∈ ( ) 2f x mx< −2021 届高三一轮复习题型专题训练
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《导数的综合应用—能成立问题》解析
1.【解析】若存在 ，使得 有解,即存在 ,使得 ,
令 ,则问题转化为: ,
因为 ,
当 时, ;当 时, ,
所以函数 在 上递增,在 上递减,
所以 ，所以 .故选 B.
2.【解析】设 当 时， 则不存在 的解集
，
当 时， ，此时函数 单调递减，则不存在 的解集
为 ，
当 时，由 得 ，当 ， ，
此时 ，则 的解集为 ，不符合题；
当 时，不等式等价为 ，设 则 ，
当 时， ，当 时， ，
即当 时， 取得极大值，同时也是最大值 ，
故若存在实数 ，使得 的解集 ，
则必有 ，即 ，故答案为 D
3.【解析】首先 时，不等式为 ，恒成立，即整数 2 是不等
式的一个解，则由题意 1 或 3 是不等式的另一个整数解．
若 1 不是不等式的解，则 ， ，此时不等式化为：
，易知函数 在 上是增函数，
则大于 2 的所有整数都是原不等式的解，不合题意．
所以 1 是原不等式的解，大于 3 的所有整数不是原不等式的解， ，
所以 时，不等式 恒成立，即 在
0 0x > ( )0 0f x ≤ 0 0x > 0 0 0lna x x x≤ −
( ) lng x x x x= − max( )a g x≤
( ) 1 (1 ln ) lng x x x′ = − + = −
0 1x< < ( ) 0g x′ > 1x > ( ) 0g x′ <
( )g x (0,1) (1, )+∞
max( ) (1) 1g x g= = 1a ≤
1( ) x
af x e x
= − 0a = 1( ) 0xf x e
= > ( ) 0f x ≥
0a < 1( ) 0x
af x e x
= − > ( )f x ( ) 0f x ≥
0a > ( ) 0f x ≥ 1
x
a
e x
≥ 0x < 1 0, 0x
a
e x
> <
1( ) 0x
af x e x
= − > ( ) 0f x ≥ ( ),0−∞
0x > x
xa e
≤ ( ) x
xg x e
= 1( ) x
xg x e
−=′
1x > ( ) 0g x′ < 0 1x< < ( ) 0g x′ >
1x = ( ) x
xg x e
= 1(1)g e
=
( ) 0f x ≥
1a e
< 10 a e
< <
2x = 2 2 4 ln 2 4a a− > − −
2 2 ln1 4a a− ≤ − − 2a ≥
( 2) ln 2 4a x x a− + > − ( 2) lny a x x= − + (0, )+∞
2a <
3x ≥ 2 2 ln 4ax a x x− ≤ − − 2 4 ln
2
x xa x
− −≤ − [3, )+∞2021 届高三一轮复习题型专题训练
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上恒成立，设 ，
则 ， 时， ， ， 单调
递增，所以 ，所以 ．
综上 的取值范围是 ．故选：C．
4.【解析】关于 的不等式 在 上有解，
即 在 上有解， ，
，
恒成立，即 在 上为增函数，
.故选：C.
5.【解析】因为 ， ，
所以 ，可得 时 ，即 在区
间 上单调递减； 时 ，即 在区间 上单调递增；
又 ， ， ，故
因为 ，
所以 在 上单调递减； ， ，所以
又因为对于任意 ，总存在 ，使得 成立，
所以 ，所以 解得 ，所以 ，故选：D
6.【解析】由于 ，
则 ，
2 4 ln ln( ) 22 2
x x xg x x x
− −= = −− −
2 2
2 2ln ln 1
( ) ( 2) ( 2)
x x xx xg x x x
− − + −
′ = − =− −
3x ≥ ln 1x > ( ) 0g x′ > ( )g x
( ) (3) 2 ln3g x g≥ = − 2 ln3a ≤ −
a ( ,2 ln3]−∞ −
x 2 ln 1 0x m x− − ≥ [ ]2,3
2 1
ln
xm x
−≤ [ ]2,3
2
max
1( ) , [2,3], ( )ln
xf x x m f xx
−= ∈ ≤
2
2 2
1 12 ln (ln 1)
( ) ,(ln ) (ln )
x x x x xx xf x x x
− + − +
′ = =
2 2[2,3], [4,9],ln 1x x x∈ ∴ ∈ >
( ) 0, [2,3]f x x∴ ′ > ∈ ( )f x [2,3]
max
8 8( ) (3) ,ln3 ln3f x f m∴ = = ∴ ≤
( ) 3 3f x x x= − [ ]0,2x∈
( ) ( )( )23 3 3 1 1f x x x x= = +′ − − ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
( )0,1 ( )1,2x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )1,2
( )0 0f = ( )1 2f = - ( )2 2f = ( ) [ ]2,2f x ∈ −
( ) ( )22 4 2 4g x x x a x a= − + = − + −
( )g x [ ]0,2 ( )0g a= ( )2 4g a= − ( ) [ ]4,g x a a∈ −
[ ]1 0,2x ∈ [ ]0 0,2x ∈ ( ) ( )0 1g x f x=
[ ] [ ]42,2 ,a a−− ⊆ 2
4 2
a
a
≥
− ≤ −
2
2
a
a
≤
≥ 2a =
( ) ( ) ( )' 1 211 0 2
xg x g e g x x−= − +
( ) ( ) ( )' ' 11 0xg x g e g x−= − +2021 届高三一轮复习题型专题训练
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所以 ，解得 .
所以 ， ，
所以 单调递增，且 ，所以 在 上递减，在 上递
增，所以 在 处取得极小值也即是最小值为 .
所以 ，故 .故选：C
7.【解析】由 ，即 恰有两个整数解，
令 ，得 ，
令 ， 在 上为减函数， ，
当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减．
， ．
由题意可得 ， ．故选：D..
8.【解析】由题意，得 ，当 时， 不成立；
当 时， ，设 ，则 ，
当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数.
当 时， ，当 时， ，
又∵ ，∴ ，∴ .
故选：C.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
11 1 0 2
10
1 1 0 1
10 0
g g g
gg e
g g g
gg ge
= − +
=
= −
′
′
′ +
= −
′
′′
( ) ( )' 1 , 0 1g e g= =
( ) 21
2
xg x e x x= + − ( ) ( )' ''1, 1 0x xg x e x g x e= + − = + >
( )'g x ( )' 0 0g = ( )g x ( ),0−∞ ( )0, ∞+
( )g x 0x = ( )0 1g =
( )0 1g x ≥ 53 4 1 3t t− ≥ ⇒ ≥
2lnax x x−
ln xa xx
−
ln( ) , (0, )xg x x xx
= − ∈ +∞
2
2
1 ln( ) x xg x
x
− −′ =
2( ) 1 lnh x x x= − − ( )h x (0, )+∞ (1) 0h =
( )0,1x∈ ( ) 0h x > ( ) 0g x′ > ( )g x
(1, )x∈ +∞ ( ) 0h x < ( ) 0g x′ < ( )g x
ln 2(2) 22g = − ln3(3) 33g = −
(3) (2)g a g<
ln3 ln 23 23 2a∴ − < ≤ −
ln 2 0a x x− > 1x = 2 0− >
1x > 2
ln
xa x
> 2( ) ln
xg x x
= 2
2(ln 1)( ) (ln )
xg x x
−′ =
(1, )x e∈ ( ) 0g x′ < ( )g x
( , )x e∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x
2x = 4(2) ln2g = 3x = 6(3) ln3g =
4ln3 ln81 ln64 6ln2= > = 4 6
ln2 ln3
> 6
ln3a >2021 届高三一轮复习题型专题训练
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9.【解析】因为函数 存在单调递减区间，
所以 在 上有解，
即 在 上有解，令
所以 ，
当 时 ， ，当 时 ， ，
所以当 时 ， 取得最小值 2.所以 .
当 时， ， 递增，不成立.
故 .故选：A.
10.【解析】 表示点 与点 间的距离的平方，
的最小值表示曲线 上的点到直线 的距离的最小值，
设过点 到直线 的距离的最小值，
，则由 ，解得 ，
即为点 到直线 的距离 ，
，所以 ，
由 ，解得 ，所以 .故选：A
11.【解析】因为 ，等价于 ，
不妨令 ， ，
容易知： 是恒过定点 且斜率为 的直线；
对 求导，可得 ，
令 ，可得 或 ，
故 在 和 单调递增，在 单调递减，
21( ) ln 2f x x x bx= + −
1( ) 0′ = + − ≤f x x bx
( )0.+ ∞
1≥ +b xx
( )0.+ ∞ ( ) 1= +g x xx
( ) ( )( )
2 2
1 11 1
− +′ = − + = x xg x x x
0 1x< < ( ) 0g x′ < 1x > ( ) 0g x′ >
1x = ( )g x 2b ≥
2b =
21 2 1( ) 2 0
− +′ = + − = ≥x xf x xx x
( )f x
2b >
( )f x ( ),3lnx x ( ),3a a
( )f x 3lny x= 3y x=
( )0 0,3lnx x 3y x=
( ) 3f x x
′ =
0
3 3x
=
0 1x =
( )1,0 3y x= d
3
10
d = ( )min
9
10f x =
( )
3
1 13
y x
y x
= = − −
1
10x = 1
10a =
( ) 0f x ≥ ( )3 22 3x x m x− ≥ −
( ) 3 22g x x x= − ( ) ( )3h x m x= −
( )h x ( )3,0 m
( )g x ( ) 23 4g x x x′ = −
( ) 0g x′ = 0x = 4
3x =
( )g x ( ),0−∞ 4 ,3
+∞
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，2021 届高三一轮复习题型专题训练
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故在同一坐标系中绘制两个函数的图像如下：
图中所示点 ，
与满足题意，只需直线 在 处的函数值小于等于-3，
在 处的函数值大于-16 即可.
则： ，且 ,解得： ，故选：C.
12.【解析】 ， ，
，
，
存在 ， ，使得 ，
，设 ， ，
，
当 时，解的 ，
当 时，即 时，函数单调递增，
当 时，即 时，函数单调递减，
当 时，函数 取最大值，最大值为 （2） ，
，故选 ．
13.【解析】由 ，所以
令 ，得 或 ，又 ，
( ) ( )1, 3 , 2, 16A B− − − −
( )h x 1x = −
2x = −
4 3m− ≤ − 5 16m− > − 3 16,4 5m ∈
( ) ( )2lnx x bf x x
+ −= 0x >
2
2
1 2 ( ) ( )( ) x x b lnx x bf x x
+ − − − −∴ ′ =
2 2( ) 1 2 ( ) ( ) 1 2 ( )( ) ( ) lnx x b x x b lnx x b x x bf x xf x x x x
+ − + − − − − + −∴ + ′ = + =
1[2x∈ 2] ( ) ( ) 0f x xf x+ ′ > 1 2 ( ) 0x x b∴ + − >
1
2b x x
∴ < + 1( ) 2g x x x
= + ( )maxb g x∴ <
2
2 2
1 2 1( ) 1 2 2
xg x x x
−∴ ′ = − =
( ) 0g x′ = 2
2x =
( ) 0g x′ > 2 22 x<
( ) 0g x′ < 1 22 x
( )f x [ )1,2− ( ]2,5
( ) ( )min 2 13f x f= = − ( ) 3xg x m= − [ ]0,2x∈
( ) ( )min 0 1g x g m= = − [ ]1 1,5x∀ ∈ − [ ]2 0,2x∃ ∈
( ) ( )1 2f x g x≥ ( ) ( )min minf x g x≥
13 1 14m m− ≥ − ⇒ ≥ m [ )14,+∞
( ) ( ) ( )2ln 1 2f x x x a x x a′ = + + − + −
( ) ( )f x xf x′∴ > ( ) ( ) ( )2 2 2ln ln 2x x x x a x x x x x a x x a+ − > + + − + −
22 2 1 0x ax− + < 1 ,22x ∃ ∈
22 1 1
2 2
xa xx x
+> = +
1 12 22 2x xx x
+ ≥ ⋅ =
1
2x x
= 2
2x =
2a∴ > a ( )2,+∞
( )y h x= ( )y g x=
3 1( ) ( 0)2g x x ax x= − + < 3 1( ) ( 0)2h x x ax x= − + >
( )y f x= ( )y g x=
( )y f x= ( )y h x= 3 2 31 1 , 02 2
xe x x x ax x− − = − + >
21 1 , 02 2
xea x x xx
= + − > 21( ) 2
xef x x xx
= + −
2 2( ) 1 ( 1) 1
x x xe x e ef x x xx x
⋅ −′ = + − = − +
(0,1)x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
(1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x 1(1) 2f e= − 1 1
2 2a e − 2 1a e −
a [2 1, )e − +∞2021 届高三一轮复习题型专题训练
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16.【解析】函数 ， ，
且不等式 有解，所以 ，即 有解，
只需 ，令 ， ，
则 ，设
则 ，
即 在 内单调递增，
而 ，
，
所以存在 使得 ，
而当 时 单调递减，当 时 单调递增，
所以 在 处取得极小值，即为最小值.此时 ，
，
设 ，
恒成立，
单调递增，
，即 ，
又因为 ，即
而 ，所以整数 的最小值为 .
17.【解析】（1）∵ ，∴
∴ .
( ) ln( 3) 2f x x x= + − ( )3,x∈ − +∞
( ) 2 0f x a− ≤ ln( 3) 2 2 0x x a+ − − ≤ ln( 3) 2 2x x a+ ≤ +
[ ]minln( 3) 2 2x x a+ ≤ + ( ) ln( 3)g x x x= + ( )3,x∈ − +∞
( ) ln( 3) 3
xg x x x
′ = + + + ( ) ln( 3) 3
xh x x x
= + + +
( ) ( ) ( )2 2
1 3 6 03 3 3
x x xh x x x x
+ − +′ = + = >+ + +
( ) ln( 3) 3
xg x x x
′ = + + +
( )3,x∈ − +∞
3
3 3 2ln( 3) ln2 1 032 2 32
g
− ′ − = − + + = − − − +
0
3 , 12x ∈ − −
( )0 0g x′ =
( )0 03,x x∈ − ( )g x ( )0 0 ,x x∈ +∞ ( )g x
( )g x 0x 0
0
0
ln( 3) 3
xx x
+ = − +
( ) 2
0
0 0 0 0min
0
3( ) ln( 3) , ( , 1)3 2
xg x g x x x xx
= = + = − ∈ − −+
2 3, ( , 1)( ) 3 2u xx xx
= − ∈ − −+
2
( 6) 3( ) 0, ( , 1)( 3) 2
x xu x xx
+′ = − > ∈ − −+
2 3, ( , 1)( ) 3 2u xx xx
= − ∈ − −+
0
3( ) ( ) ( 1)2g g x g∴ − < < − 0
3 1( )2 2g x∴− < < −
[ ]minln( 3) 2 2x x a+ ≤ +
0 0
1( ) 2 2 , ( ) 12g x a a g x≤ + ≥ −
0
7 1 5( ) 14 2 4g x− < − < − a 1−
( ) lnf x x x= − 0x >
( ) 1 1 2
22
xf x x xx
−′ = − =2021 届高三一轮复习题型专题训练
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则当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ，
∴ 的递减区间为 ，递增区间为 .
（2）若存在 使 成立，则 ，
由（1）可知 .∴ .
18.【解析】（1）由题可知 的定义域为 ，
当 时，函数
所以函数 在区间 上是增函数.
在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，
（2） ，
当 时， ，显然 有解 ，
当 时，由 得 ，
当 时， ，
当 时， ，
故 在 处取得最大值 ，
若使 有解，只需 ，
解得 结合 ，
此时 的取值范围为
19.【解析】（1）函数 的定义域为 ，
∵ ，∴ .∴ ，
又 ,∴所求切线方程为 ，
2 0x − > 4x > ( ) 0f x′ >
2 0x − < 0 4x< < ( ) 0f x′ <
( )f x ( )0,4 ( )4,+∞
x ( )f x m< ( )minm f x>
( ) ( )min 4 2 ln 4f x f= = − 2 ln 4m > −
( )f x ( )0,+∞
1a = ( ) ( )21 1ln , ' 02f x x x f x x x
= + = + >
( )f x [ ]1,e
( )f x [ ]1,e ( ) 21 12f e e= + ( ) 11 2f =
( ) ( ) 1' 2 1f x a x x
= − +
1
2a ≥ ( ) ( ) 1' 0, 1 02f x f a> = − ≥ ( ) 0f x >
1
2a < ( ) ( ) 1' 2 1 0f x a x x
= − + = 1
1 2x a
= −
10, 1 2x a
∈ −
( )' 0f x >
1 ,1 2x a
∈ +∞ −
( )' 0f x <
( )f x 1
1 2x a
= −
( )1 1 1 ln 1 21 2 2 2f aa
= − − − −
( ) 0f x > ( )1 1 ln 1 2 02 2 a− − − >
1 1
2 2a e
> − 1
2a <
a 1 1 1,2 2 2e
−
( )f x ( ) ( )0,1 1,∪ +∞
( )
ln
xf x ax bx
= − + ( ) 2
ln 1' ln
xf x ax
−= − ( )'f e a= −
( ) ef e ae b= − + ( ) ( )y e ae b a x e− − + = − −2021 届高三一轮复习题型专题训练
- 13 -
即 .
又函数 在点 处的切线方程为 ，∴ .
所以实数 的值为 .
（2）由题意得 ，
所以问题转化为 在 上有解.令 ， ，
则 .
令 ，
则当 时，有 .
所以函数 在区间 上单调递减，
所以 .所以 ，
所以 在区间 上单调递减.
所以 .
所以实数 的取值范围为 .
20.【解析】（1） ， ，
在 处的切线方程为： ，
即 ；
（2） ，即 ，令 ，得 .
时， ， 时， .
在 上减，在 上增，
又 时， 的最大值在区间端点处取到.
，
y ax e b= − + +
( )f x ( )( ),e f e 2y ax e= − + b e=
b e
( ) 0
0 0
0
1
ln 4
xf x ax e ex
= − + ≤ +
1 1
ln 4a x x
≥ − 2,e e ( ) 1 1
ln 4h x x x
= − 2,x e e ∈
( ) 2
2 2 2 2
1 1 ln 4' 4 ln 4 ln
x xh x x x x x x
−= − = ( )( )
2 2
ln 2 ln 2
4 ln
x x x x
x x
+ −
=
( ) ln 2p x x x= −
2,x e e ∈ ( ) 1 1 1' 0xp x x xx
−= − = <
( )p x 2,e e
( ) ( ) ln 2 0p x p e e e< = − < ( )' 0h x <
( )h x 2,e e
( ) ( )2
2 2 2
1 1 1 1
ln 4 2 4h x h e e e e
≥ = − = −
a 2
1 1 ,2 4e
− +∞
( ) 1xf x e′ = − ( )1 2f e= −
( )f x∴ ( )( )1, 1f ( )( )2 1 1y e e x− + = − −
( )1 1y e x= − −
1xa e x< − − ( )a f x< ( ) 1 0xf x e′ = − = 0x =
0x > ( ) 0f x′ > 0x < ( ) 0f x′ <
( )f x∴ ( ),0−∞ ( )0, ∞+
0
41,ln 3x ∈ −
( )f x∴
( ) 1 11 1 1f e e
−− = − + = 4 4 4ln 1 ln3 3 3f = − − 2021 届高三一轮复习题型专题训练
- 14 -
，
， 在 上最大值为 ，
故 的取值范围是： .
21.【解析】（1）由已知可得函数 的定义域为 ，
当 ， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增，
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ；
综上所述， .
（2）不等式 成立，即
，
设 ，则
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
，
由题意可得：
22.【解析】（1）函数 的定义域为 ，
( ) 4 1 4 4 1 1 41 ln 1 ln ln 03 3 3 3 3f f e e
− − = − + + = − + >
( ) 41 ln 3f f ∴ − >
( )f x∴ 41,ln 3
−
1
e
a 1a e
<
( )f x ( )0,+∞ ( ) ln 1f x x′ = +
10,x e
∈
( ) 0f x′ < ( )f x
1 ,x e
∈ +∞
( ) 0f x′ > ( )f x 10, 2t t e
> ∴ + >
① 10 2t te
< < < + 10 t e
< < ( )min
1 1f x f e e
= = −
② 1 2t te
≤ < + 1t e
≥ ( ) ( )min lnf x f t t t= =
( )min
1 1, 0
1ln ,
te ef x
t t t e
− < ( )h x
1 12 3h ee e
= − + +
( ) 3 2h e e e
= + +
( ) 1 22 4 0h e h ee e
− = − + + −
( )0, ∞+
2 0m + > 2m > − ( ) ( ) 01 2f x mx
′ = + >− 10 2x m
< < +
10, 2m
+
( ) ( ) 01 2f x mx
′ = + +
1 ,2m
+∞ +
2m ≤ − ( )0, ∞+ 2m > −
10, 2m
+
1 ,2m
+∞ +
1 ,12x ∈
( ) 2f x mx< − 1 ,12x ∈
( ) 2 0f x mx+ <
( ) ( ) ( )2 2 ln 2 2g x m mx mx xf x x= + − ++ = + 1 ,12x ∈
( )min 0g x <
( ) ( )
1 121 22 2
m x x mmx mx xg x
− − =′ + − + =
2m ≥ 1 1
2m
≤ ( ) 0g x′ ≥ 1 ,12x ∈
( )g x 1 ,12x ∈
( ) ( )min
1 1ln 2 2 04 2 2
1
2g m mx g = = + − ×
+
+ <
( )4 1 ln 2m > − 2m ≥
1 2m< < 1 1 12 m
< < ( )g x 1 1,2 m
1 ,1m
( ) ( )min
1 1 1 1ln 2 2 ln 11g x g m m mm m m m
+ − + × +
= −= =
− +
( ) 1ln 1x xh x = − − + ( )1,2x∈ ( ) 2 2
1 1 1 0x
x xh x x
′ −= − + = ( ) 0g x′ < 1 ,12x ∈
( )g x 1 ,12x ∈
( ) ( ) ( )min ln1 2 1 2 01g x g m m+= ×= − + + =
( )1,m∈ +∞
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