江苏省南京师范大学附属苏州实验学校2020届高三下学期阶段测试数学试卷含附加题及答案 含答案详解

南师大苏州实验学校高三阶段测试 数学试卷 20200519 一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案写在答题卡相应位置．） 1．集合 ，若 ，则实数 a 的值为_________． 2．己知复数 ，复数 z 满足 ，则复数 ______． 3．某校有 200 名师生参加了全程马拉松比赛，他们的成绩的频率分布直方图如图，则用时不超过 的师 生大约有______名． 4．现有 4 名学生 申报清华、北大的 2020 年强基计划招生，每校有两人申报，则“A，B 两人恰 好申报同一所大学”的概率为______． 5．上图求 的值的伪代码中，正整数 m 的最大值为______． 6．有一个半径为 4 的球是用橡皮泥制作的，现要将该球所用的橡皮泥重新制作成一个圆柱和一个圆锥，使 得圆柱和圆锥有相等的底面半径和相等的高，若它们的高为 8，则它们的底面圆的半径是______． 7．已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 的取值范围是_____． 8．已知 ， ，函数 过点 ，且在 上单调递增，则 的 取值范围是______． 9．在 中，若 D 在边 上，且 ，F 在线段 上，设 ， ， { }2{1,0}, 2,3A B a= = + {0,1,2,3}A B∪ = 0 3 2z i= + 0 03z z z z⋅ = + z = 4h , , ,A B C D 3 6 9 2019+ + + + { }na nS 1 1 31 3,3 6a a S+    2 1 a a 0ω > 0 2 πϕ< < ( ) 2cos( )f x xω ϕ= + (0, 2) ,2 π π    ω ABC AB AD DB= CD AB a=  AC b=  ，则 的最小值为_____． 10．已知数列 为正项的递增等比数列， ， ，记数列 的前 n 项和为 ， 则使不等式 成立的最大正整数 n 的值是_______． 11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，直线 过 ，且与双曲线右 支交于 M、N 两点，若 ， ，则双曲线的离心率等于_____． 12．已知 ，函数 在 上的最大值为 2，则 _____． 13．已知点 ，点 A 在圆 上，点 B 在圆 上，若 ，则 的最大值是______． 14．用 表示 a，b 中的最大值，设函数 有三个零点，则 实数 k 的取值范围是______． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或计算步骤． 15．己知 中， （S 表示 的面积）． （1）若 ，求 外接圆的半径； （2）若 ，求 的值． 16．如图，三角形 所在的平面与等腰梯形 所在的平面垂直， ， ， ，M 为 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求证： 平面 ． AF xa yb= +  1 4 x y + { }na 1 5 82a a+ = 2 4 81a a⋅ = 2 na       nT 1 113 2020nT − > 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1F 2F MN 2F 1 1 2cos cosF MN F F M∠ = ∠ 1 1 1 2 F M F N = 0a > 2( ) | 3|f x x x a= + − − [ ]1,1− a = (1,0)M 2 2 4x y+ = 2 2 9x y+ = 3MA MB⋅ =  MA MB+  max{ , }a b { }3( ) max 4 1,ln ( 0)f x x kx x x= − + − > ABC 2 7AB AC S⋅ =  ABC 2BC = ABC 4B C π⋅ = sin B PCD ABCD 1 2AB AD CD= = / /AB CD CP CD⊥ PD / /AM PBC BD ⊥ PBC 17．如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船 D 监控河流南岸相距 150 米的 A、B 两处（A 在 B 的 正西侧）．监控中心 C 在河流北岸，测得 ， ， ，监控过程中，保 证监控船 D 观测 A 和监控中心 C 的视角为 ．A，B，C，D 视为在同一个平面上，记 的面积为 S， ． （1）求 的长度； （2）试用 表示 S，并求 S 的最大值． 18．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ， 为椭圆的一条弦 （不经过原点），直线 经过弦 的中点，与椭圆 C 交于 P，Q 两点，设直线 的斜率为 ． （1）若点 Q 的坐标为 ，求椭圆 C 的方程； （2）求证： 为定值； （3）过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 R，若直线 和直线 倾斜角互补，且 的面积为 ，求椭 圆 C 的方程． 19．已知函数 ． （1）当 时，求 在 最小值； （2）若 有两个零点，求 m 的取值范围． 20．设 是各项均为非零实数的数列 的前 n 项和，给出如下两个命题： 45ABC °∠ = 75BAC °∠ = 120 6mAB = 120° ADC DAC θ∠ = AC θ xOy 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 2 AB ( 0)y kx k= > AB AB 1k 31, 2     1k k AB QR PQR 2 6 ( ) 1x xf x mxe = − + 1m = ( )y f x= [ 1,1]− ( )f x nS { }na 命题 是等差数列；命题 等式 对任意 恒成立，其中k、 b 是常数， （1）若 p 是 q 的充分条件，求 k，b 的值； （2）对于（1）中的 k 与 b，问 p 是否为 q 的必要条件，请说明理由； （3）若 p 为真命题，对于给定的正整数 和正数 M，数列 满足条件 ，试求 的 最大值． 南师大苏州实验学校高三阶段测试 数学试卷（附加题） 20200519 21A．已知矩阵 ， ，求 ， 21B．在平面直角坐标系 中，射线 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 曲线 的方程为 ；以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐 标方程为 ． （1）写出射线 l 的极坐标方程以及曲线 的普通方程； （2）已知射线 l 与 交于 O，M，与 交于 O，N，求 的值． 22．为迎接《全国高中毕业生体能测试》，学校组织学生开展为期两个月的某项运动训练活动，并在结束后 对学生进行了考核．记 X 表示学生的考核成绩，并规定 为考核优秀．为了了解本期训练活动的效果， 在参加训练的学生中随机抽取了 30 名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图． （1）从参加训练的学生中随机选取 1 人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率； （2）从图中考核成绩满足 的学生中任取 3 人，设 Y 表示这 3 人重成绩满足 的人 数，求 Y 的分布列和数学期望． :p { }na :q 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 n n n kn b a a a a a a a a+ + ++ + + = ( )*n n N∈ ( 1)n n > { }na 2 2 1 1na a M++  nS 1 2 2 1M  =    1 7 β  =     M β xOy : 3 ( 0)l y x x=  1C 3cos 2sin x y α α =  = α 2C 2 2( 2) 4x y+ − = 3C 8sinρ θ= 1C 2C 3C | |MN 85x [70,79]X ∈ | 85| 10X −  23．已知 ． （1）求 的值；（2）求 的值． 南师大苏州实验学校高三阶段测试 参考答案 1．0 2． 3．50 4． 5．2022 6． 7． 8． 9． 10．6 11．2 12．3 或 13． 14． 14．【答案】 ． 【解析】当 时， ，所以 在 无零点； 当 时，若 ，则 ，故 是 的零点； 若 ，则 ，故 不是 的零点． 当 时， ，所以只需考虑 在 的零点个数． ． ①若 ，则当 时， ，故 在 单调递减，所以 在 至多有一个零 点． ②若 ，则 在 单调递增， 单调递减，故 在 至多有两个零点． 当 时， 取得最大值，值为 ． 要使 在 有两个零点，只要满足 ， ． ， ．解得 ． 综上，实数 k 的取值范围是 ． 15．解：（1）因为 ， ( )2 2 2 0 1 2 2(1 ) n n nx a a x a x a x n N++ = + + + + ∈ 1 2 2 1 2n na a a a−− + + − 1 2 2 1 2 1 1 1 1 n na a a a− − + + − 31 2 i− 1 3 2 2 50, 3      3 7,2 4      6 4 2+ 5 4 3 2 1+ (3,5) (3,5) 1x > ( ) ln 0f x x > ( )f x (1, )+∞ 1x = 5k (1) max{ 5,0} 0f k= − = 1x = ( )f x 5k > (1) max( 5,0) 5 0f k k= − = − > 1x = ( )f x (0,1)x ∈ ln 0x < 3( ) 4 1g x x kx= − + − (0,1) 2( ) 12g x x k′ = − + 0k ≤ (0,1)x ∈ ( ) 0g x′ < ( )g x (0,1) ( )g x (0,1) 0k > ( )g x (0, )12 k ( , )12 k +∞ ( )g x (0,1) 12 kx = ( )g x 3( ) 112 9 k k kg = − ( )g x (0,1) 0 112 k< < (0) 1 0g = − < 3( ) 1 012 9 k k kg = − > (1) 5 0g k= − < 3 5k< < (3,5) 2 7AB AC S⋅ =  所以 ． 即 ， 2 分 又因为 ， ． 解得 ， ． 4 分 设 外接圆的半径为 R，则 ． 所以 ，即 外接圆的半径为 ， 7 分 （2）因为 ， 所以 ． ． 9 分 则 ． 所以 ． 12 分 又因为 ，所以 ，所以 ． 14 分 16．略 17．解：（1）在 中， ， ，所以 ． 2 分 因为 ，所以，由正弦定理得 ，所以 ， 4 分 （2）在 中，设 ，则 ， 由正弦定理得 ． 6 分 所以 ． 8 分 2 1cos sin7 2AB AC A AB AC A⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ 1cos sin7A A= 2 2cos sin 1A A+ = (0, )A π∈ 7 2sin 10A = 2cos 10A = ABC 10 22 sin 7 C A BR = = 5 2 7R = ABC 5 2 7 A B C π+ + = 7 2sin( ) sin( ) sin 10B C A Aπ+ = − = = 2cos( ) cos( ) cos 10B C A Aπ+ = − = − = − cos2 cos[( ) ( )] cos ( ) 4B B C B C B C π = + + − = + +   ( ) 4cos cos sin( )sin4 4 5B C B C π π= + − + = − 2 9sin 10B = (0, )B π∈ sin 0B > 3 10sin 10B = ABC 45ABC °∠ = 75BAC °∠ = 60ACB °∠ = 120 6mAB = sin60 sin45 AB AC ° °= 240mAC = ADC DAC θ∠ = 60ACD θ°∠ = − sin sin AC AD ADC ACD =∠ ∠ ( )160 3sin 60AD θ°= − 所以 ． 10 分 12 分 因为 ． 所以当 时，S 取到最大值 ． 14 分 答： 的长度为 ， ，S 取到最大值 ． 18．解：（1）由条件知， 3 分 解得 ， ． 所以椭圆 C 的方程为 ； 5 分 （2）设弦 的中点为 ， 由 且 ， 两式相减得， ， 即 ． 因为 ， ， 所以 ，即 ． 7 分 因为椭圆的离心率为 ，即 ， 所以 ，即 为定值； 9 分 ( )1 1sin 240 160 3sin 60 sin2 2S AC AD θ θ θ°= × × = × × − ( )480 3( 3sin2 cos2 1) 480 3 2sin 2 30 1θ θ θ ° = + − = + −  0 60θ° °< < 30θ °= 2480 3m AC 240m ( )480 3 2sin 2 30 1S θ ° = + −  2480 3m 2 2 2 2 3 1 9 1 , ,4 1 ,2 a b c a a b c  + =  =  = +  2a = 3b = 2 2 14 3 yx + = AB ( ) ( ) ( )0 0 1 1 2 2, , , , ,x y A x y B x y 2 2 1 1 2 2 1yx a b + = 2 2 2 2 2 2 1y y a b + = 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 0x x y y a b − −+ = 2 2 1 2 1 2 0 2 2 1 2 2 2 0 y y b x x b x x a y x y a y − += − ⋅ = − ⋅− + 1 2 1 1 2 y yk x x −= − 2 2 yk x = 2 1 2 bk a k = − 2 1 2 bk k a = − 1 2 1 2 c a = 3 2 b a = 3 2 b a = （3）设 ，则 ， 所以直线 的斜率为 ， 因为直线 和直线 倾斜角互补， 所以直线 的斜率为 ． 所以 ， 由 ，且 ，所以 ． 12 分 因为 的面积为 ，面 ． 所以 ， ，即 ． 从面 ， 又 ，解得 ， ． 所以椭圆 C 的方程为 ． 16 分 19．解：（1）当 时， ， 则 ． 2 分 令 ． 所以 在 上恒成立， 所以 在 上递减， 所以 ， ， 所以 在 上存在唯一的 ，使 ， 而且当 时， ，所以 递增； 当 时 ，所以 递减； ( , )( 0, 0)Q s t s t> > ( , ), ( ,0)P s t R s− − − QR 1 2 2 t ks = AB QR QR 1k− 1 1 2 k k= − 1 3 4k k = − 0k > 6 2k = PQR 2 6a = 6 2 t s = 2s = 6r = (2, 6)Q 2 2 4 6 1a b + = 3 2 b a = 2 3a = 3b = 2 2 112 9 r y+ = 1m = ( ) 1x xf x xe = − + 1( ) 1x xf x e ′ −= − 1( ) 1x xg x e −= − 2( ) 0x xg x e ′ −= < [ 1,1]− ( ) ( )g x f x′= [ 1,1]− min( ) ( 1) 2 1 0f x f r′ ′= − = − > min( ) (1) 1 0f x f ′= = − < ( )f x′ [ 1,1]− 0nx = (0) 0f ′ = ( 1,0)x ∈ − ( ) 0f x′ > ( )f x (0,1)x ∈ ( ) 0f x′ < ( )f x 所以， ． 所以 在 上的最小值 ； 6 分 （2）令 ，得 ，则 显然不是方程的根， 那么原方程等价于 实根的个数， 令 ， 原命题也等价于 在 上的零点个数． 又因为 ． 所以 在 和 上都是单调递增的； 8 分 （1）若 ，则当 时， 恒成立，则没有零点； 当 时， ， ． 又 在 上单调递增的，所以有唯一的零点． 10 分 （Ⅱ）若 ，则当 时， 恒成立，则没有零点； 当 时， ， ． 又 在 上单调递增的，所以有唯一的零点． 12 分 （Ⅲ）若 ，则当 时，由 ， 则 ， 则 ，取 ． 则 ，又 ，所以 在 有唯一的零点． 当 时， ． ． min min( ) { ( 1), (1)} ( 1) 2f x f f f c= − = − = − ( )f x [ 1,1]− 2 c− ( ) 0f x = 1 0x x mxe − + = 0x = 1 0xe mx − − = 1( ) xh x e mx = − − ( ,0) (0, )x ∈ −∞ ∪ +∞ 1( ) xh x e mx = − − ( ,0) (0, )x ∈ −∞ ∪ +∞ 2 1( ) 0xh x e x ′ = + > ( )h x ( ,0)−∞ (0, )+∞ 0m = ( ,0)x ∈ −∞ 1( ) 0xh x e x = − > (0, )x ∈ +∞ (1) 1 0h c= − > 1 2 02h c  = − (0, )x ∈ +∞ 1 21 0h ea − − = >   1 2 1 21 2 2 02 ah c ca −  = − < − ( ,0)x ∈ −∞ ( )xe x x R> ∈ 1 1 0xe m x mx x − − > − − > ( 0)x < 2 1 0x mx− − < 2 0 4 02 m mx − += < 0( ) 0h x < 1( ) 0h m c mm −∞− = + − < ( )h x ( ,0)−∞ (0, )x ∈ +∞ 1 1 1 1(1 ) (1 ) 1 01 1 1 mh m e m m mm m m ++ = − − > + − − = − >+ + + 1 21 (2 ) (2 ) (2 ) 02 mnh c m m m m m mm +  = − + − < + − + − = − ( )f x { }na 0d = 1 2 1 2 1 nn k b a a a a += + ( 1) 0k n b− + = *n N∈ 1k = 0b = 0d ≠ 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n k b d a a a a a a a a+ +   +− + − + + − =   3 1 1 1 1 n n n nd k b d a a aa+ + +⋅ = ( 1) 0k n b− + = *n N∈ 1k = 0b = 1, 0k b= = 1 2 2 1 112 1 1 1 nn na a a n a a a a a+ + + +…+ = ( )*n n N∈ { }na 1n = 1 2 1 2 1 1 a a a a =+ + 2n 1 2 2 3 1 1 2 1 1 1 1 n n n a a a a a a a a− −+ + + = 1 1 1 1 1 1n n n n n a a a a a  −= − + +  1( 1)n a nmd n a a+− − = 2n = 1 2 12a a a+ = 1 1 3a a a⋅ ⋅ 3n3 1 1( 1) ( 2)n nn a n a a−− − − − 1 12 n a aa a a− += + { }na 2 2 1 1aa a M++ ≤ 1 1cos sinaa r a rθ θ+= ⋅ = r M { }na 1 1 sin cosna a nd r rθ θ+ − = = − sin cosr rd n θ θ−= sin cossinn r ra r n θ θθ −= − ． ． 所以 的最大值为 ． ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 cos 1 sin ( 1) ( 1) 2 2 2 n n a a n n n nS r θ θ+ + + − + + −= =  ( )22 12M M n= + nS ( )22 12 M n +