江苏省如皋中学 2020 届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷二
第Ⅰ卷（必做题，共 160 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．测试范围：高中全部内容．
一、填空题：本题共 14 个小题，每题 5 分，满分 70 分．
1．已知集合 ，则 _______
2．设 ，则“ ”是“ ”的_________条件．（在一下条件中填一个：充分不必要条件，
充要条件，必要不充分条，既不充分又不必要条件）
3．对于函数 ，给出如下四个结论：其中正确的结论有______个．
（1）这个函数的值域为 ；
（2）这个函数在区间 上单调递减；
（3）这个函数图象具有中心对称性；
（4）这个函数至少存在两个零点．
4．已知 为实数， 表示不超过 的最大整数，若函数 ，则函数 的零点
个数为___________个．
5．已知 为抛物线 的焦点，过点 且倾斜角为 150°的直线 与抛物线交于 两点， ， 分别
是该抛物线在 两点处的切线， 相交于点 ，则 _________
6．已知复数 是实数，那么复数 的实部与虚部满足的关系式为________
7．过点 的直线 与圆 相交于 两点，且圆上一点 到 的距离的最大值为 4，
1{ lg 0}, 12
x
P x x Q x
= = P Q∩ =
θ ∈R 2 2
π πθ − < sin 0θ >
3
1
1( )
k
f x x k=
= +∑
R
[0, )+∞
x [ ]x x ( ) [ ]f x x x= − ( ) ( ) ex
xg x f x= +
F
2
4
xy = F l ,A B 1l 2l
,A B 1 2,l l C CA CB⋅ =
( , ), 1
zz a bi a b i
= + ∈ +R z
(0,2)P l 2 2: 9O x y+ = ,M N Q l
则直线 的方程为__________．
8．如图，已知正三棱柱 的侧棱长为底面边长的 2 倍， 是侧棱 的中点，则异面直线
和 所成的角的余弦值为__________
9．已知实数 满足 ，则 的最大值为____________
10．已知 是等差数列 的前 项和，若 ，设 ，则数列 的前
项和 取最大值时 的值为______________
11．在 中，角 的平分线交 于 ，则 面积的最大值为________
12．已知对任意 ，都有 ，则实数 的取值范围为_________
13．在锐角三角形 中，若 ，则 的最大值为________
14．已知函数 ，记 ，若集合
，且 恒成立，则 的取值范围是______
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分） 的内角 的对边分别为 ，已知 ，
．
（1）求 及 ；
（2）若 ，求 边上的高．
16．（本小题满分 14 分）
如图，在正三棱柱 中，点 在棱 上， ，点 分别是 的中点．
MN
1 1 1ABC A B C− M 1CC 1AB
BM
,a b 0ab >
2
a a
a b a b
−+ +
nS { }na n 2018 2020 2019S S S< < 1 2n n n nb a a a+ += 1 nb n nT n ABC A BC , 3, 2D BD CD= = ABC (0, )x∈ +∞ ( ) 1e 1 1 ln 0kxk xx + − + > k
ABC sin 2sin sinA B C= 2 2sin sinA B+
2( ) (| | 5, )f x x bx c b c R= + + ≤ ∈ { ( ) }, { ( ( )) }A x f x x B x f f x x= = = =∣ ∣
{ } { }1 2 1 2 3 4, , , , ,A x x B x x x x= = 1 2 3 4 5 1x x x x− + − ≤ + b c+
ABC , ,A B C , ,a b c 7cos cos 7a B b A ac+ =
sin 2 sinA A=
A a
2b c− = BC
1 1 1ABC A B C− D BC 1AD C D⊥ ,E F 1 1 1,BB A B
（1）求证： 为 的中点；
（2）求证： 平面 ．
17．（本小题满分 14 分）．某地实行垃圾分类后，政府决定为 三个小区建造一座垃圾处理站 ，集
中处理三个小区的湿垃圾．已知 在 的正西方向， 在 的北偏东 30°方向， 在 的北偏西 20°方
向，且在 的北偏西 45°方向，小区 与 相距 与 相距 ．
（1）求垃圾处理站 与小区 之间的距离；
（2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公
里 元，一辆小车的行车费用为每公里 元（其中 为满足 是 1-99 内的正整数）．
现有两种运输湿垃圾的方案：
方案 1：只用一辆大车运输，从 出发，依次经 再由 返回到 ；
方案 2：先用两辆小车分别从 运送到 ，然后并各自返回到 ，一辆大车从 直接到 再返回
到 ．试比较哪种方案更合算？请说明理由．结果精确到小数点后两位
18．（本小题满分 16 分）已知椭圆 ．
D BC
/ /EF 1ADC
, ,A B C M
A B C B M B
C A B 2km, B C 3km
M C
a aλ λ 100λ
M , ,A B C C M
A C、 B A C、 M B
M
2
2: 12
xC y+ =
（1）曲线 与椭圆 相交于 两点， 为椭圆 上异于 的点，若直线 的斜率为 1，
求直线 的斜率；
（2）若椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，直线 ．过 的直线 与椭圆 相交于 （ 在
第一象限）两点，与 相交于 ，是否存在 使 的面积等于 的面积与 的面积之和．若
存在，求直线 的方程；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分 16 分）已知数列 满足奇数项 成等差，公差为 ，偶数项 成等比，公比
为 ，且数列 的前 项和为 ．
（1）若 ．①求数列 的通项公式；
②若 ，求正整数 的值；
（2）若 ，对任意给定的 ，是否存在实数 ，使得 对任意 恒成立？
若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分 16 分）已知函数 ．
（1）当 时，不等式 恒成立，求 的最小值；
（2）设数列 满足 ，其前 项和为 ，证明： ．
第Ⅱ卷（附加题，共 40 分）理科附加题
21．已知点 在变换 作用后，再绕原点逆时针旋转 90°，得到点 ．若点 的
坐标为 ，求点 的坐标．
3:D y x= C ,A B H C ,A B HA
HB
C F E : 4l x = F l′ C ,P Q P
l M l′ PFE MPE QFE
l′
{ }na { }2 1na − d { }2na
q { }na n 1 2, 1, 2nS a a= =
5 4 5 9 3 42 ,S a a a a a= + = + { }na
1 2m m ma a a+ += m
1, 1d q= > q λ 2 1
2
| | n
n
a
a
λ −< *n N∈ λ 1( ) ln ( )f x x xx λ λ = + − ∈ R 1x > ( ) 0f x < λ { }na ( )*1 na nn = ∈N n nS 2 ln 24 n n n aS S− + >
A 3: x x yxT y yy
′
′
+ → =
B B
( 4,3)− A
22．在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极
点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 经过点 ，曲线 的直角坐标方程为 ．
（1）求曲线 的普通方程，曲线 的极坐标方程；
（2）若 是曲线 上两点，当 时，求 的取值范
围．
23．如图，平面 平面 ，四边形 为矩形，四边形 为等腰梯形， ，
分别为 的中点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，求出 的长；若不存在，说明理由．
24．2019 年 12 月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，
本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者
的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被
称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为 ，某位患者在隔离之前，每
天有 位密切接触者，其中被感染的人数为 ，假设每位密切接触者不再接触其他患者．
（1）求一天内被感染人数为 的概率 与 、 的关系式和 的数学期望；
（2）该病毒在进入人体后有 14 天的潜伏期，在这 14 天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时
间，设每位患者在被感染后的第二天又有 位密切接触者，从某一名患者被感染，按第 1 天算起，第 天
新增患者的数学期望记为 ．
1C 1 cos
sin
x r
y r
ϕ
ϕ
= +
=
0,r ϕ> O
x 1C 2, 3P
π
2C 2 2 1x y− =
1C 2C
( )1 2, , , 6A B
πρ α ρ α − 2C 0, 4
πα ∈ 2 2
1 1
| | | |OA OB
+
EFBA ⊥ ABCD EFBA ABCD / /AB CD
,M N ,FC AC 45 , 3 3, 2ADC DC AB AE∠ = ° = = =
/ /MN EFBA
F AC D− −
ED P PN ⊥ MAC EP
(0 1)p p< < a (0 )X X a X ( )P X a p X a n ( 2)nE n
（i）求数列 的通项公式，并证明数列 为等比数列；
（ⅱ）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率 ．当 取最大值
时，计算此时 所对应的 值和此时 对应的 值，根据计算结果说明戴口罩的必要性．（取 ）
（结果保留整数，参考数据： ）
江苏省如皋中学 2020 届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷二
第Ⅰ卷（必做题，共 160 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．测试范围：高中全部内容．
一、填空题：本题共 14 个小题，每题 5 分，满分 70 分．
1． 2．充分不必要条件 3．4 4．2 5．0
6． 7． 或 8． 9．
10．2019 11．15 12． 13． 14．
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
【解析】（1） ，
∴由正弦定理得 ，
，又 ，又 ，
；
{ }nE { }nE
2ln(1 ) 3p p p′ = + − p′
p′
6E ′ p 6E 10a =
1 2ln5 1.6, ln3 1.1, ln 2 0.7, 0.3, 0.73 3
≈ ≈ ≈ ≈ ≈
∅
0a b− = 3 2 0x y− + = 3 2 0x y+ − = 3 10
20 3 2 2−
1 ,e
+∞
3 2
2
+ 5 ,94
−
7cos cos 7a B b A ac+ =
7sin cos sin cos sin7A B B A a C+ =
7sin( ) sin7A B a C∴ + = 7, sin sin7A B C C a Cπ+ = − ∴ = sin 0C >
7a∴ =
，又 ，
又 ．
（2）由余弦定理得 ，又 ，
，又 ，代入 ，得 ，
解得 或 （舍去）， ，
设 边上的高为 ．
16．（本小题满分 14 分）
【解析】
（1）∵正三棱柱 平面 ，
又 平面 ，又
平面 ，
又∵正三棱柱 ，
∴平面 平面 为 的中点，
（2）连接 ，连接 交 于点 ，连接
∵矩形 为 的中点，
又由（1）得 为 的中点，
中，
又∵点 分别是 的中点，
中， ，
又 平面 平面
sin 2 sin , 2sin cos sinA A A A A= ∴ =
1sin 0, cos 2A A> ∴ =
(0, ), 3A A
ππ∈ ∴ =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 7, 3a A
π= =
2 2 7b c bc∴ + − = 2b c= +
2 2 7b c bc+ − = 2 2 3 0c c+ − =
1c = 3− sin 213, , sinsin sin 14
a c c Ab CA C a
∴ = = ∴ = =
BC 3 21, sin 14h h b C∴ = =
1 1 1 1,ABC A B C C C− ∴ ⊥ ABC
AD ⊂ 1,ABC C C AD∴ ⊥ 1 1 1 1,AD C D C D C C C⊥ ∩ =
AD∴ ⊥ 1 1BCC B
1 1 1ABC A B C−
ABC ⊥ 1 1, ,BCC B AD BC D∴ ⊥ BC
1A B 1AC 1AC G DG
1 1,A ACC G∴ 1AC
D BC
1A BC∴ 1/ /DG A B
,E F 1 1 1,BB A B
1 1A B B∴ 1/ / , / /EF A B EF DG∴
EF ⊄ 1,ADC DG ⊂ 1ADC
平面
17．（本小题满分 14 分）．
【解析】（1）在 中， ．
由正弦定理得 ．
所以垃圾处理站 与小区 间的距离为 5.44 公里．
（2）在 中，由 得：
在 中， ，
．
方案一费用： ，
方案二费用：
当 时，方案二合算，此时 ；
当 时，方案一合算，此时 ；
综上，当 时，方案二合算；当 时，方案一合算．
18．（本小题满分 16 分）
【解析】（1）由已知设 ，
记直线 的斜率分别为 ，
于是有 ，相减得 ，
又 ，
/ /EF∴ 1ADC
MBC∆ 50 , 105 , 3, 25MBC MCB BC BMC° °∠ = = = ∠ =
3 3sin50, 5.438 5.44sin50 sin 25 sin 25
MC MC
°
° ° °= ∴ = ≈ ≈
M C
MBC
3
sin105 sin 25
MB
° °= 3sin105 6.857sin 25MB
°
°= =
MBC∆ 70 , 2MBA AB°∠ = =
2 2 2 2 cos70 , 6.452MA AB MB AB MB MA°∴ = + − ⋅ ⋅ ∴ ≈
1 (| | | | | | | |) (6.452 2 3 5.438) 16.890y a MA AB BC CM a a= + + + = + + + =
2 2 | | 2 (| | | |) (13.713 10 )y a MB a AB BC aλ λ= + + = +
1 2y y> 0 0.32λ< < 1 2y y< 0.32 1λ≤ < 0 0.32λ< < 0.32 1λ≤ < ( ) ( )1 1 1 1( , ), , , ,H x y A x y B x y− − ,HA HB ,HA HBk k 2 2 2 2 1 12 2, 2 2x y x y+ = + = ( )2 2 2 2 1 12x x y y− = − 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2HA HB y y y y y yk k x x x x x x − + −⋅ = ⋅ = = −− + −
．即直线 的斜率为 ．
（2）设 ，
则 ，
．
由 得 ，①
设 ，令 ，得 ②，
把 代入 得 ．
③，
④，
②③联立得 ⑤．
把⑤代入④得 ．
化简得 ，由于此方程无解，故所求直线 不存在．
19．（本小题满分 16 分）
解：（1）①因为 ，所以 ，即 解得
．
当 为奇数时，设 ，则
当 为偶数时，设 ，则 综上 ．
11, 2HA HBk k= ∴ = − HB 1
2
−
( ) ( ) ( )0 3 3 4 44, , , , ,M y P x y Q x y
( )0 3 0 3
1 1 1| | | | | |2 2 2MPE FE y FE y FES y y= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −
( )3 4
1 1| | , | |2 2PFE QFES FE y S FE y= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −
PFE MPE QFES S S= +
0 3 42y y y= +
: 1( 0)l x my m′ = − ≠ 4x = 0 3 4
5 5, 2y y ym m
= ∴ + =
1x my= − 2
2 12
x y+ = ( )2 22 2 1 0m y my+ − − =
3 4 2
2
2
my y m
∴ + = +
3 4 2
1
2y y m
= − +
3 42 2
5 2 4 5,2 2
m my ym m m m
= − = −+ +
2 2 2
5 2 4 5 1
2 2 2
m m
m m m m m
− − = − + + +
4 219 50 0m m+ + = l′
5 4 5 9 3 42 ,S a a a a a= + = + 1 2 3 4 9 3 4,a a a a a a a+ + = = + 4 2
3 2
d q
d q
+ =
=
2, 3d q= =
n 2 1n k= − 2 1 1 ( 1) 2 1n ka a a k d k n−= = + − = − =
n 2n k= 11 2
2 2 2 3
n
k
n ka a a q
−−= = = ⋅ *
12
, 2 1
,
2 3 , 2
nn
n n k
a k N
n k
−
= −= ∈
⋅ =
②当 为奇数时， ，即 ，即 ，当 时，不合题意；当
时，右边小于 2，左边大于 2，等式不成立；
当 为偶数时， ，所以 ．
（2）当 时，由于 各项，所以 ，所以 符合题意；
当 时，假设 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立，
所以 ，令 ，即 对任意 恒成立
先证： 对任意 恒成立，
令 ，则 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 ，即 对任意 恒成立，所以 ，
所以 ，所以当 时，
，即 ，解得 ，
所以当 且 时， 这与 对任意 恒成立矛盾，所以当 时
不合题意；综上 的取值范围为 ．
20．（本小题满分 16 分）
【解析】（1）由 ，得 ，
①当 时，方程 的 ，因式 在区间 上恒为负数，
所以 时， ，函数 在区间 上单调递减，
m 1 2m m ma a a+ +=
1
22 3 2
m
m m
−
⋅ ⋅ = +
1
2 22 3 1
m
m
−
⋅ = + 1m =
3m ≥
m 1 2 , 1 3m m ma a a m+ += + = 2m =
0λ = 1
2 1 2, 2 n
n na n a q −
− = = 2 1
2
0n
n
a
a
− > 0λ =
0λ ≠ 2 1
2
| | n
n
a
a
λ −< *n N∈ 1 | |2 n n q λ− > *n N∈
2 | |
n
n
q q
λ> 0
2 | |
q
λλ = 0n
n
q
λ> *n N∈
ln x x< 0x >
( ) lnf x x x= − 1 1 2( ) 22
xf x x xx
′ −= − =
( )f x (0,4) (4, )+∞
min( ) (4) 2 ln 4 0f x f= = − > ln x x< 0x > ln n n< 2ln ln ln 2ln ln 2 ( ln 2)nq n n q n n q n n n q− = − > − = −
2
4
lnn q
>
2nq n> 02 n
n n
n q
λ> >
0
1n λ< 0 1n λ>
2
4
lnn q
> 02
1
n
n n
q n n
λ< = < 0n n q λ> *n N∈ 0λ ≠
λ {0}
1( ) ln ( )f x x xx
λ λ = + − ∈ R
2
2( ) x xf x x
λ λ′ − + −=
1
2
λ
2 0x xλ λ− + − = 21 4 0λ∆ = −
2x xλ λ− + − (1, )+∞
1x > ( ) 0f x′ < ( )f x (1, )+∞
又 ，所以函数 在区间 上恒成立；
②当 时，方程 有两个不等实根，且满足
，
所以函数 的导函数 在区间 上大于零，所以函数 在区间
上单调递增，
又 ，所以函数 在区间 上恒大于零，不满足题意；
③当 时，在区间 上 ，
函数 在区间 上恒为正数，
所以在区间 上 恒为正数，不满足题意；
综上可知：当 时，不等式 恒成立， 的最小值为 ．
（2）由（1）知：当 时， ，
若 ，则 ，
即 成立，
将 换成 ，得 成立，
即 ，
(1) 0f = ( ) 0f x < (1, )+∞ 10 2 λ< < 2 0x xλ λ− + − = 2 2 1 2 1 1 4 1 1 412 2x x λ λ λ λ − − + −= < < = ( )f x ( )f x′ 21 1 41, 2 λ λ + − ( )f x 21 1 41, 2 λ λ + − (1) 0f = ( )f x 21 1 41, 2 λ λ + − 0λ (1, )+∞ 1( ) ln lnf x x x xx λ = + − lny x= (1, )+∞ (1, )+∞ ( )f x 1x > ( ) 0f x < λ 1 2 1x > 1 1 ( 1)( 1)ln 2 2
x xx xx x
+ − < − − = *n∈N 1 11 1 1 11 2 1ln 1 1 2 ( 1)2 1 n n n n n n n + + ⋅ + − + + < = + + 1 1ln( 1) ln 2 2( 1)n n n n + − < + + n 1n + 1 1ln[(1 ) 1] ln( 1) 2( 1) 2[( 1) 1]n n n n + + − + < ++ + + 1 1ln( 2) ln( 1) 2( 1) 2( 2)n n n n + − + < ++ +
以此类推，得 ，
上述各式相加，得 ，
又 ，
所以 ．
第Ⅱ卷（附加题，共 40 分）理科附加题
21．【答案】
【解析】设 ，则 在变换 下的坐标为 ，又绕原点逆时针旋转90°对应的矩阵为 ，
所以 ，得 ，解得
所以点 的坐标为 ．
22．【解析】（1）将曲线 的参数方程转化成普通方程为： ，
由 ，
得点 的直角坐标为 ，代入曲线 得 ，
∴曲线 的普通方程为 ，
可化为 ，即 ，
∴曲线 的极坐标方程为 ，
（2）将点 代入曲线 的极坐标方程，
得 ，
1 1 1 1ln( 3) ln( 2) , ,ln 2 ln(2 1)2( 2) 2( 3) 2(2 1) 4n n n nn n n n
+ − + < + − − < ++ + − 1 1 1 1 1ln 2 ln ln 2 2 1 2 2 1 4n n n n n n n − = < + + + + ++ + − 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2n nS S n n n n − = + + + ++ + − 2 ln 24 n n n aS S− + >
( 9,4)−
( , )A x y A T ( 3 , )x y y+ 0 1
1 0
−
0 1 3 4
1 0 3 3
x y y
y x y
− + − − = = +
4
3 3
y
x y
− = −
+ =
9
4
x
y
= −
=
A ( 9,4)−
1C 2 2 2( 1)x y r− + =
cos , sinx yρ θ ρ θ= =
2, 3P
π
(1, 3) 1C 2 3r =
1C 2 2( 1) 3x y− + =
2C 2 2 2 2cos sin 1ρ θ ρ θ− = 2 cos2 1ρ θ =
2C 2 cos2 1ρ θ =
( )1 2, , , 6A B
πρ α ρ α − 2C
2 2
1 2cos2 1, cos 2 13
πρ α ρ α = − =
．
当 时， ，
于是 ．
所以 的取值范围是 ．
23．【解析】（1）连接 分别为 的中点， ，
平面 平面 ，
平面 ．
（2）过点 作 ，垂足为 ，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立
空间直角坐标系 如图所示，
则 ，
，
设平面 的一个法向量为 ，
则 令 ，得 ，
平面 的一个法向量为 ，
，
．
∴二面角 的正弦值为 ．
2 2 2 2
1 2
1 1 1 1 cos2 cos 2| | | | 3OA OB
πα αρ ρ
∴ + = + = + −
3 3cos2 sin 2 3sin 22 2 3
πα α α = + = +
0, 4
πα ∈
52 ,3 3 6
π π πα + ∈
33sin 2 , 33 2
πα + ∈
2 2
1 1
| | | |OA OB
+ 3 , 32
, ,AF M N ,FC AC / /MN AF∴
MN ⊄ ,EFBA AF ⊂ EFBA
/ /MN∴ EFBA
A AH CD⊥ H A , ,AH AB AE , ,x y z
A xyz−
(0,0,0), (1,2,0), (0,1,2), (1, 1,0), (1,2,0)A C F D AC− =
(0,1,2)AF =
FAC ( , , )n x y z=
2 0
2 0
n AC x y
n AF y z
⋅ = + = ⋅ = + =
2y = ( 4,2, 1)n = − −
ACD (0,0,1)m =
1cos ,
| | | | 21
m nm n
m n
⋅ −∴ 〈 〉 = =
⋅
2 20 2 105sin , 1 cos , 21 21m n m n〈 〉 = − 〈 〉 = =
F AC D− − 2 105
21
（3）假设存在这样一个点 ，设 ，
设 ，即 ，
，
，平面 的法向量为 ，
平面 ，
且 且 ，即不存在这样的 ，
故不存在点 ，使得 平面 ．
24．【解析】（1）由题意 ，
则 ，
．
（2）（i）第 天被感染人数为 ，第 天被感染人数为 ，
由题目中均值定义得：
．
，且 ，
是以 为首项， 为公比的等比数列．
（ii）令 ，则 ，
P ( ), ,P x y z′ ′ ′
EP EDλ= ( ), , 2 (1, 1, 2)x y z λ′ ′ ′ − = − −
, , 2 2 , ( , , 2 2 )x y z Pλ λ λ λ λ λ′ ′ ′∴ = = − = − ∴ − −
1 ,1 , 2 22PN λ λ λ = − + −
MAC ( 4,2, 1)n = − −
PN ⊥ , / /MAC PN n∴
1
1 2 2 52 ,4 2 1 2
λ λ λ λ
− + −∴ = = ∴ = −− −
3
5
λ = 17
18
λ = λ
P PN ⊥ MAC
~ ( , )X B a p
( ) (1 )x x a x
aP X C p p −= −
EX ap=
n (1 )nap+ 1n − 1(1 )nap −+
1 1(1 ) (1 ) (1 )n n n
nE ap ap ap ap− −= + − + = +
1
1n
n
E apE −
∴ = + 1E ap=
{ }nE∴ ap 1 ap+
2( ) ln(1 ) 3f p p p= + − 1 2 2 1( ) 1 3 3( 1)
pf p p p
′ − += − =+ +
在 上单调递增，在 上单调递减，
．
则当 ，
，
，
，∴戴口罩很有必要．
( )f p∴ 10, 2
1 ,12
max
1 3 1 1( ) ln ln3 ln 2 1.1 0.7 0.3 0.12 2 3 3f p f = = − = − − ≈ − − =
110, 10 (1 10 )n
na E p p −= = +
5
6 10 0.1 (1 10 0.1) 32E ′ = × × + × =
5
6 10 0.5 (1 10 0.5) 38880E = × × + × =
6 6E E ′>
微信/支付宝扫码支付