2019－2020 学年第二学期 5 月学情调研
高三数学
参考公式：
样本数据 的方差 ，其中 ．
锥体的体积公式： ，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定
位置上）．
1．已知集合 ，集合 ，则 __________．
2．若复数 （i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 __________．
3．现从甲、乙、丙 3 人中随机选派 2 人参加某项活动，则甲被选中的概率为__________．
4．根据如图所示的伪代码，最后输出的 S 的值为__________．
5．若一组样本数据 2，3，7，8，a 的平均数为 5，则该组数据的方差 __________．
6．在平面直角坐标系 xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为 ，且它的一个顶点与抛
物线 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为__________．
7．已知 ，O 是原点，点 P 的坐标为 满足条件 ，则 的取值范
围是__________．
8．设函数 ，若 a，b，c 成等差数列（公差不为零），则 __________．
9．已知下列两个命题：
，不等式 恒成立； 有最小值．若两个
命题中有且只有一个是真命题，则实数 a 的取值范围是__________．
1 2, , , nx x x ( )22
1
1 n
i
i
S x xn =
= −∑
1
1 n
i
i
x xn =
= ∑
1
3V Sh=
{ }3, 1,1,2A = − − [ )0,B = +∞ A B =
( )( )1 3z i ai= + − a =
2S =
1
2x =
2 4y x= −
( )3, 3A ( ),x y
3 0
3 2 0
0
x y
x y
y
− ≤
− + ≥
≥
OA OPz
OP
⋅=
( ) 1 1f x x b
= +−
( ) ( )f a f c+ =
:p x R+∀ ∈ 1x a x≥ − ( )( )2: log 1 0, 1aq y x ax a a= − + > ≠
10．设中心在原点的双曲线与椭圆 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方
程是__________．
11 ． 已 知 ， ， 求 使 向 量 与 向 量 的 夹 角 为 锐 角 的 k 的 取 值 范 围
__________．
12．已知函数 ，函数 ，若存在 、
，使得 成立，则实数 a 的取值范围是__________．
13．如图，用一块形状为半椭圆 的铁皮截取一个以短轴 BC 为底的等腰梯形 ABCD，记
所得等腰梯形的面积为 S，则 的最小值是__________．
14．给出定义：若 （其中 m 为整数），则 m 叫做离实数 x 最近的整数，记作 ．在
此基础上给出下列关于函数 的四个命题：
①函数 的定义域为 R，值域为 ；
②函数 的图象关于直线 对称；
③函数 是周期函数，最小正周期为 1；
④函数 在 上是增函数．其中正确的命题的序号__________．
二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题纸的指定区域内）．
15．（本小题满分 14 分）
2
2 12
x y+ =
( )1,0a = ( )0,1b = a kb+ 2b ka+
( )
32 1, ,11 2
1 1 1, 0,3 6 2
x xxf x
x x
∈ + = − + ∈
( ) ( )πsin 2 2 06g x a x a a = − + > 1x
[ ]2 0,1x ∈ ( ) ( )1 2f x g x=
( )2
2 1 04
yx y+ = ≥
1
S
1 1
2 2m x m− < ≤ + { }x m= ( ) { }f x x x= − ( )y f x= 10, 2 ( )y f x= ( ) 2 kx k Z= ∈ ( )y f x= ( )y f x= 1 1,2 2 −
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 ， ，其中 ．
（1）若 ，求证： ．
（2）若 ，求 的值．
16．（本小题满分 14 分）
如图，在棱长为 2 的正方体 中，E 为 BC 的中点，F 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
17．（本小题满分 14 分）
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把
二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 60 吨，月处
理成本 y（元）与月处理量 x（吨）之间的函数关系可近似的表示为： ，且每
处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能
使该单位不亏损？
18．（本小题满分 16 分）
如图，已 知椭圆 的离心率为 ，以 椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆
，设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）求 的最小值，并求此时圆 T 的方程；
（3）设点 P 是椭圆 C 上异于 M，N 的任意一点，且直线 MP，NP 分别与 x 轴交于点 R，S，O 为坐标原
6 ,05A
( )cos ,sinP α α π0 2
α< < 5cos 6 α = PA PO⊥ PA PO= πsin 2 4 α + 1 1 1 1ABCD A B C D− 1DC 1 //BD 1C DE A BDF− 21 200 800002y x x= − + ( )2 2 2 2: 1 0x yC a b a b= > >+ 3
2
( ) ( )2 2 2: 2 0T x y r r+ + = >
TM TN⋅
点，求证： 为定值．
19．（本小题满分 16 分）
设等差数列 的前 n 项和为 ，已知 ， ．
（1）求 ；
（2）若从 中抽取一个公比 q 为的等比数列 ，其中 ，且 ，
．
①当 q 取最小值时，求 的通项公式；
②若关于 的不等式 有解，试求 q 的值．
20．（本小题满分 16 分）
已知函数 ．
（1）若 为 的极值点，求实数 a 的值；
（2）若 在 上为增函数，求实数 a 的取值范围；
（3）当 时，方程 有实根，求实数 b 的最大值．
2019－2020 学年第二学期 5 月学情调研
高三数学（附加题）
21．选修 4－2：矩阵与变换
已知二阶矩阵 A 有特征值 及对应的一个特征向量 和特征值 及对应的一个特征向
量 ，试求矩阵 A．
OR OS⋅
{ }na nS 1 2a = 6 22S =
nS
{ }na { }
nka 1 1k = 1 2 nk k k< < <
( ) ( ) ( )2
2ln 2 1 23
xf x ax x ax a R= + + − − ∈
2x = ( )f x
( )y f x= [ )3,+∞
1
2a = − ( ) ( )311 3
x bf x x
−− = +
1 1λ = 1
1
1e
=
2 2λ =
2
1
0e
=
22．选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程是 （ 是参数），若以 O 为极点，x 轴的
正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程．
23．已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点 到焦点 F 的距离为 5，求
m 的值，并写出此抛物线的方程．
24 ． 如 图 ， 在 正 四 棱 锥 中 ， ， 点 M ， N 分 别 在 线 段 PA 和 BD 上 ，
．
（1）若 ，求证： ；
（2）若二面角 的大小为 ，求线段 MN 的长度．
2019－2020 学年第二学期 5 月学情调研
高三数学参考答案
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定
位置上）．
1． ； 2．-3； 3． ； 4．55； 5． ；
6． ； 7． ； 8．2； 9． 或 ；
10． ．
解： ， ，
∴ ， ，
sin 1
cos
y
x
θ
θ
= +
=
θ
( ), 3A m −
P ABCD− 2PA AB= =
1
3BN BD=
1
3PM PA= MN AD⊥
M BD A− − π
4
{ }1,2 2
3
26
5
3y x= ± [ ]3,3− 2a = 1a ≤
2 22 2 1x y− =
1 1c = 1
1
2
e =
2 2e = 2 1c =
∴ ， ，
∴ ．
二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分 14 分）
解：（1）方法一：由题设知 ， ．
所以
．
因为 ，
所以 ．故 ．
方法二：因为 ， ，
所以 ，故 ．
因此 ， ．
因为 ．
故 ．
（2）因为 ，
所以 ，即 ．
解得 ．
因为 ，
所以 ．
2
1
2
a = 2
1
2
b =
2 22 2 1x y− =
6 cos , sin5PA a a = − −
( )cos , sinPO a a= − −
( ) ( )26 cos cos sin5PA PO a a a ⋅ = − − + −
2 26 6cos cos sin cos 15 5a a a a= − + + = − +
5cos 6a =
0PA PO⋅ = PA PO⊥
5cos 6a = π0 2a< < 11sin 6a = 5 11,6 6P 11 11,30 6PA = − 5 11,6 6PO = − − 2 11 5 11 030 6 6PA PO ⋅ = × − + − = PA PO⊥ PA PO⊥ 2 2 PA PO= 2 2 2 26cos sin cos sin5a a a a − + = + 3cos 5a = π0 2a< < 4sin 5a =
因此 ， ．
从而
．
16．（本小题满分 14 分）
解：（1）连接 与 交于点 F，连接 EF；
因为 E 为 BC 的中点，F 为 的中点．
所以 又 平面 ， 平面 ．
所以 平面 ．
（2）由于点 F 到 ABD 平面的距离为 1，
故三棱锥 的体积 ．
17．（本小题满分 14 分）
解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
，
当且仅当 ，
即 时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元．
（2）设该单位每月获利为 S，
则
，
因为 ，
所以当 时，S 有最大值-40000．
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40000 元，才能不亏损．
18．（本小题满分 16 分）
解：（1）依题意，得 ， ，
24sin 2 2sin cos 25a a a= = 2 7cos2 2cos 1 25a a= − = −
π 2 2sin 2 sin 2 cos24 2 2a a a + = +
2 24 2 7 17 2
2 25 2 25 50
= × + × − =
1D C 1DC
1DC
1//EF BD EF ⊂ 1C DE 1BD ⊄ 1C DE
1 //BD 1C DE
A BDF− 1 1 1 21 2 2 13 3 2 3ABA BDF F A DBDV V S− −= = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
1 80000 1 80000200 2 200 2002 2
y x xx x x
= + − ≥ ⋅ − =
1 80000
2 x x
=
400x =
21100 100 200 800002S x y x x x = − = − − +
( )221 1300 80000 300 350002 2x x x= − + − = − − −
400 600x≤ ≤
400x =
2a = 3
2
ce a
= =
∴ ， ；
故椭圆 C 的方程为 ．
（2）方法一：点 M 与点 N 关于 x 轴对称，
设 ， ，不妨设 ．
由于点 M 在椭圆 C 上，
所以 ．（*）
由已知 ，则 ， ，
∴
．
由于 ，故当 时， 取得最小值为 ．
由（*）式， ，故 ，
又点 M 在圆 T 上，代入锤子数学圆的方程得到 ．
故圆 T 的方程为： ．
方法二：点 M 与点 N 关于 x 轴对称，
故设 ， ，
不妨设 ，由已知 ，
则
．
故当 时， 取得最小值为 ，
此时 ，又点 M 在圆 T 上，代入圆的方程得到 ．
3c = 2 2 1b a c= − =
2
2 14
x y+ =
( )1 1,M x y ( )1 1,N x y− 1 0y >
2
2 1
1 1 4
xy = −
( )2,0T − ( )1 12,TM x y= + ( )1 12,TN x y= + −
( ) ( ) ( )2 2
1 1 1 1 1 12, 2, 2TM TN x y x y x y⋅ = + ⋅ + − = + −
( ) 22
2 21
1 1 1 1
5 5 8 12 1 4 34 4 4 5 5
xx x x x
= + − − = + + = + −
12 2x− < < 1 8 5x = − TM TN⋅ 1 5 − 1 3 5y = 8 3,5 5M − 2 13 25r = ( )2 2 132 25x y+ + = ( )2cos ,sinM θ θ ( )2cos , sinN θ θ− sin 0θ > ( )2,0T −
( ) ( )2cos 2,sin 2cos 2, sinTM TN θ θ θ θ⋅ = + ⋅ + −
( )2 2 22cos 2 sin cos 8cos 3θ θ θ θ= + − = 5 + +
24 15 cos 5 5
θ = + −
4cos 5
θ = − TM TN⋅ 1
5
−
8 3,5 5M −
2 13
25r =
故圆 T 的方程为： ．
（3）方法一：设 ，
则直线 MP 的方程为： ，
令 ，得 ，同理： ，
故 ．（**）
又点 M 与点 P 在椭圆上，故 ， ，
代入（**）式，
得： ．
所以 为定值．
方法二：设 ， ，
不妨设 ， ，其中 ．
则直线 MP 的方程为： ，
令 ，得 ，
同理： ，
故
．
所以 为定值．
19．（本小题满分 16 分）
解：（1）设等差数列的公差为 d，则 ，
( )2 2 132 25x y+ + =
( )0 0,P x y
( )0 1
0 0
0 1
y yy y x xx x
−− = −−
0y = 1 0 0 1
0 1
R
x y x yx y y
−= −
1 0 0 1
0 1
S
x y x yx y y
+= +
2 2 2 2
1 0 0 1
2 2
0 1
R S
x y x yx x y y
−⋅ = −
( )2 2
0 04 1x y= − ( )2 2
1 14 1x y= −
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
1 0 0 1 0 1
2 2 2 2
0 1 0 1
4 1 4 1 4
4R S
y y y y y y
x x y y y y
− − − −
⋅ = = =− −
4R S R SOR OS x x x x⋅ = ⋅ = ⋅ =
( )2cos ,sinM θ θ ( )2cos , sinN θ θ−
sin 0θ > ( )2cos ,sinP α α sin sinα θ±≠
( )sin sinsin 2cos2cos 2cosy x
α θα αα θ
−− = −−
0y = ( )2 sin cos cos sin
sin sinRx
α θ α θ
α θ
−= −
( )2 sin cos cos sin
sin sinSx
α θ α θ
α θ
+= +
( )2 2 2 2
2 2
4 sin cos cos sin
sin sinR Sx x
α θ α θ
α θ
−
⋅ = −
( )2 2
2 2
4 sin sin
4sin sin
α θ
α θ
−
= =−
4R S R SOR OS x x x x⋅ = ⋅ = ⋅ =
6 1
16 6 5 222S a d= + ⋅ ⋅ =
解得 ，所以 ．
（2）因为数列 是正项递增等差数列，
所以数列 的公比 ，
若 ，则由 ，得 ，
此时 ，由 ，
解得 ，
所以 ，同理 ；
若 ，则由 ，得 ，此时 ，
另一方面， ，
所以 ，即 ，
所以对任何正整数 n， 是数列 的第 项．
所以最小的锤子数学公比 ．
所以 ．
（3）因为 ，得 ，而 ，
所以当 且 时，所有 的均为正整数，适合题意；
当 且 时， 不全是正整数，不合题意．
而 有解，所以 有解，
经检验，当 ， ， 时， 都是 的解，适合题意；
下证当 时， 无解，设 ，
2
3d = ( )5
3n
n nS
+=
{ }na
{ }na 1q >
2 2k = 2
8
3a = 2
1
4
3
aq a
= =
3
24 322 3 9ka = ⋅ =
( )32 2 29 3 n= +
10 *3n N= ∉
2 2k > 2 3k >
2 4k = 4 4a = 2q = 12 2n
n
ka −= ⋅
( )2 23nk na k= +
( )2 2 23
n
nk + = 13 2 2n
nk −= × −
nka { }na 13 2 2n−⋅ −
2q =
13 2 2n
nk −= ⋅ −
12 4 23n
nn
k
ka q −+= = 13 2n
nk q −= − 1q >
1q > q N∈ 13 2n
nk q −= −
2q > q N∉ 13 2n
nk q N−= − ∈
16 n nS k +> ( )2 5 2 13 n
n n
q
+ + >
2q = 3q = 4q = 1n = ( )2 5 2 13 n
n n
q
+ + >
5q ≥ ( )2 5 2 13 n
n n
q
+ + > ( )2 5 2
3n n
n nb q
+ +=
则 ，
因为 ，
所以 在 上递减，
又因为 ，
所以 恒成立，
所以 ，
所以 恒成立，
又因为当 时， ，
所以当 时， 无解．
综上所述，q 的取值为 2，3，4．
20．（本小题满分 16 分）
（1）解：因为 为 的极值点，
所以即 ，解得： ．
又当 时， ，
从而 为 的极值点成立．
（2）解：∵ 在区间 上为增函数，
∴ 在区间 上恒成立．
①当 时， 在 上恒成立，
所以 在 上为增函数，故 符合题意．
②当 时，由函数 的定义域可知，必须有 对 恒成立，
故只能 ，所以 在区间 上恒成立．
令 ，其对称轴为 ．
( ) ( )2
1
2 1 7 5 7
3n n n
q n q n q
b b q+
− + − + − − =
5 7 02 2
q
q
−
2x = ( )f x
2 2 04 1
a aa
− =+ 0a =
0a = ( ) ( )2f x x x′ = −
2x = ( )f x
( )f x [ )3,+∞
( ) ( ) ( )2 22 1 4 4 2
02 1
x ax a x a
f x ax
+ − − + ′ = ≥+ [ )3,+∞
0a = ( ) ( )2 0f x x x′ = − ≥ [ )3,+∞
( )f x [ )3,+∞ 0a =
0a ≠ ( )f x 2 1 0ax + > 3x ≥
0a > ( ) ( )2 22 1 4 4 2 0ax a x a+ − − + ≥ [ )3,+∞
( ) ( ) ( )2 22 1 4 4 2g x ax a x a= + − − + 11 4a
−
∵ ，
∴，从而 在 上恒成立，只要 即可，
由，解得：．
∵ ，∴．
综上所述，a 的取值范围为 ．
（3）解：时，方程可化为， ．
问题转化为 在 上有解，
令 ，则 ．
当 时，，∴ 在 上为增函数．
当 时，，∴ 在 上为减函数．
故 ，而 ，
故 ，即实数 b 的最大值是 0．
21．选修 4－2：矩阵与变换
解：设矩阵 ，这里 a，b，c， ，
因为 是矩阵 A 的属于 的特征向量，
则有 ①，
又因为 是矩阵 A 的属于 的特征向量，
则有 ②，
根据①②，则有
0a >
( ) 0g x ≥ [ )3,+∞ ( )3 0g ≥
0a >
[ ]0,
( ) ( )2ln 1 1 bx x x x
− − + − =
2lnb x x x x = + − ( )0,+∞
( ) 2lnh x x x x= + − ( ) ( )( )2 1 11 1 2 x xh x xx x
+ −′ = + − =
0 1x< < ( )h x ( )0,1 1 1x x> > ( )h x ( )1,+∞
( ) ( )1 0h x h≤ = 0x >
( ) 0b xh x= ≤
a bA c d
= d ∈ R
1
1
1 1λ =
1 1 0
1 1 0
a b
c d
− − = − −
1
0
2 2λ =
2 1 0
1 0 0
a b
c d
− − = − −
1 0,
1 0,
2 0,
0,
a b
c d
a
c
− − =
− + − = − =
− =
从而 ， ， ， ，因此 ．
22．选修 4－4：坐标系与参数方程
解：由 得 ，两式平方后相加得 ，
∴曲线 C 是以 为圆心，半径等于的圆．
令 ， ，代入并整理得 ．
即曲线 C 的极坐标方程是 ．
23．解：①若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为 ，
这时准线方程为 ，由抛物线定义知 ，
∴抛物线方程为 ，
这时将点 代入方程，得 ．
②若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为 ，
从 知准线方程可统一成 的形式，于是从题设有 ，
解此方程组可得四组解 ， ， ， ．
∴ ， ； ， ；
， ； ， ．
综上所述：所求结果为： ， ； ， ；
， ； ， ； ， ．
24．证明：连接 AC，BD 交于点 O，以 OA 为 x 轴正方向，以 OB 为 y 轴正方向，OP 为 z 轴建立空间直角
坐标系．
因为 ，
则 ， ， ， ，
2a = 1b = − 0c = 1d = 2 1
0 1A
− =
sin 1
cos
y
x
θ
θ
= +
=
1 sin
cos
y
x
θ
θ
− =
=
( )22 1 1x y+ − =
( )0,1
cosx ρ θ= siny ρ θ= 2sinρ θ=
2sinρ θ=
( )2 2 0x py p= − >
2
py = ( )3 5 42
p p− − = ⇒ =
2 8x y= −
( ), 3A m − 2 6m = ±
( )2 2 0y ax a= ≠
p a=
2
ax = − 52
2 9
a m
am
+ =
=
1
1
1
9
2
a
m
= =
2
2
1
9
2
a
m
= − = −
3
3
9
1
2
a
m
= =
4
4
9
1
2
a
m
= − = −
2 2y x= 9
2m = 2 2y x= − 9
2m = −
2 18y x= 1
2m = 2 18y x= − 1
2m = −
2 2y x= 9
2m = 2 2y x= − 9
2m = −
2 18y x= 1
2m = 2 18y x= − 1
2m = − 2 8x y= − 2 6m = ±
2PA AB= =
( )1,0,0A ( )0,1,0B ( )0, 1,0D − ( )0,0,1P
（1）由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 ， ．
因为 ，
所以 ．
（2）解：因为 M 在 PA 上，可设 ，得 ．
所以 ， ．
设平面 MBD 的法向量 ，
由 ，得 ，
其中一组解为 ， ， ，
所以可取 ．
因为平面 ABD 的法向量为 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
从而 ， ，
所以 ．
1
3BN BD= 10, ,03N
1
3PM PA= 1 2,0,3 3M
1 1 2, ,3 3 3MN = − −
( )1, 1,0AD = − −
0MN AD⋅ =
MN AD⊥
PM PAλ= ( ),0,1M λ λ−
( )= , 1,1BM λ λ− − ( )0, 2,0BD = −
( ), ,n x y z=
0
0
n BD
n BM
⋅ = ⋅ =
( )
2 0
1 0
y
x y zλ λ
− = − + − =
1x λ= − 0y = z λ=
( )1,0,n λ λ= −
( )0,0,1OP =
πcos 4
n OP
n OP
⋅=
( )2 2
2
2 1
λ
λ λ
=
− +
1
2
λ =
1 1,0,2 2M
10, ,03N
2 2 21 1 1 220 0 02 3 2 6MN = − + − + − =
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