四川省内江市2020届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题 含答案详解

内江市高中 2020 届第三次模拟考试题 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题 1．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若钝角三角形 的面积是 ， ， ，则 （ ） A． B．1 C． D． 4．已知正方形 的边长为 2，点 是边 的中点，在正方形 内部随机取一点 ，则满足 的概率为（ ） A． B． C． D． 5．在 的展开式中， 的系数为（ ） A． B． C． D． 6．一动圆与两圆 和 都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A．抛物线 B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆 7．设 ， 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 8．定义在 上的偶函数 满足：对任意的 ， ，有 ，若 ，则 （ ） { }2 1xA y y= = + { }2 3 0B x x= − ≤ A B∩ = 31, 2     31, 2     31, 2    31, 2      z ( )4 3 3 2i z i+ = − i z ABC 1 2 1AB = 2BC = AC = 2 2 2 5 ABCD H AD ABCD P 2PH < 2 4 π+ 2 8 π+ 1 8 π+ 1 4 π+ 61 4x x x  ⋅ −   5 2x 15 32 15 16 5 16 5 16 − 2 2 1x y+ = 2 2 8 12 0x y x+ − + = l m α β l α⊥ l β∥ α β⊥ l α∥ m l⊥ m α⊥ l α∥ m α∥ l m∥ l α∥ mα β∩ = l m∥ R ( )f x 1x [ )2 0,x ∈ +∞ ( ) ( )2 1 2 1 0f x f x x x − F x A P AP F m n m n ( )( ) ( )( )( )( ) 2 2 a b c d ad bcK a b c d a c b d + + + −= + + + + ( )2 0P K k≥ 0k { }na 6 36a a= + 6 1a − 5 1a − 8 1a − { }na { }nb 2n n nb a= ⋅ { }nb n nS nS 1 1 1 1ABCD A B C D− AD BC∥ 90BAD∠ = ° AC BD⊥ 1BC = 1 4AD AA= = （1）证明：面 面 ； （2）求二面角 的余弦值． 20．已知函数 在 处的切线方程为 ． （1）求函数 的解析式； （2）若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围； （3）求证： ． 21．已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）过点 的动直线 交椭圆 于 、 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 ，使得 无论直线 如何转动，以 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． （二）选考题： 22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以原点 为极点， 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 的极坐标方程； （2）已知曲线 的极坐标方程为 （ ， ），点 是曲线 与 的交点，点 是曲 线 与 的交点，且 、 均异于原点 ， ，求实数 的值． 23．已知函数 ，函数 的定义域为 ． 1ACD ⊥ 1BB D 1 1B AC D− − ( ) lna xf x bxx = + 1x = 1y x= − ( )y f x= ( )f x kx≤ ( )0,+∞ k 4 4 4 ln2 ln3 ln 1 2 3 2 n n e + + ⋅⋅⋅+ < ( )2 2 2 2: 1 0y xC a ba b + = > > 2 2 2 2 C 1,03S  −   l C A B T l AB T T xOy 1C 2 2cos 2sin x y ϕ ϕ = +  = ϕ O x 2C 4sinρ θ= 1C 3C θ α= 0 α π< < Rρ ∈ A 3C 1C B 3C 2C A B O 4 2AB = α ( ) 2 4f x x x= + + − ( ) ( )g x f x m= − R （1）求实数 的取值范围； （2）求解不等式 ． 内江市高中 2020 届第三次模拟考试题 数学（理科）参考答案及评分意见 一、选择题 1．B 2．D 3．D 4．B 5．B 6．C 7．A 8．C 9．B 10．A 11．A 12．D 二、填空题 13． 14．3 15．2 16． 三、解答题 17．解：（1）∵调查的 500 位老年人中有 位需要志愿者提供帮助 ∴ 解之得 ， （2） 的观测值 ∵ ∴在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． 18．解：（1）设等差数列 的公差为 ， ，即 ∵ 是 与 的等比中项，∴ ， 即 ，解得 ∴数列 的通项公式为 （2）由（1）问可知 ∴ m ( ) 8f x ≤ [ )5,7 1 ,12    40 m+ 40 270 500 40 14 500 100 m n m + + + = + = 30m = 160n = 2K ( )2500 40 270 30 160 200 300 70 430k × × − ×= × × × 2 2500 40 30 25 3000 9.967200 300 70 430 7 43 × × × = ≈× × × × 9.967 6.635> { }na d 6 3 3 6a a d− = = 2d = 6 1a − 5 1a − 8 1a − ( ) ( )( )2 6 5 81 1 1a a a− = − − ( ) ( )( )2 1 1 19 7 13a a a+ = + + 1 5a = − { }na 2 7na n= − ( )2 2 7 2n n n nb a n= ⋅ = − ⋅ ( ) ( ) ( ) ( )2 3 45 2 3 2 1 2 1 2 2 7 2n nS n= − × + − × + − × + × + ⋅⋅⋅+ − × ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 5 12 5 2 3 2 1 2 1 2 2 7 2n nS n += − × + − × + − × + × + ⋅⋅⋅+ − × 两式相减并化简得 ∵当 时， ，当 时， ∴ 19．解：（1）证明： 平面 ， 平面 ，∴ 又∵ ，且 ，∴ 平面 又∵ 平面 ，∴面 面 （2）易知 、 、 两两垂直，以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图的空间直角坐标系，设 ，则相关各点的坐标为 ， ， ， ， ， ， ． 从而 ， ． ∵ ，∴ 解之得 或 （舍去）． ， 设 是平面 的一个法向量， 则 ，即 令 ，则 同理可求面 的法向量为 ∴ 又∵二面角 是锐二面角， ∴二面角 的余弦多 ． ( ) 118 2 9 2n nS n += + − ⋅ 3n ≤ 0nb < 3n > 0nb > ( ) 3min 30nS S= = − 1BB ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD 1AC BB⊥ AC BD⊥ 1BB BD B∩ = AC ⊥ 1BB D AC ⊆ 1ACD 1ACD ⊥ 1BB D AB AD 1AA A AB AD 1AA x y z AB t= ( )0,0,0A ( ),0,0B t ( )1 ,0,4B t ( ),1,0C t ( )1 ,1,4C t ( )0,4,0D ( )1 0,4,4D ( ),1,0AC t= ( ),4,0BD t= − AC BD⊥ 2 4 0 0AC BD t⋅ = − + + =  2t = 2t = − ( )1 0,4,4AD = ( )2,1,0AC = ( )1 , ,n x y z= 1ACD 1 1 1 0 0 n AC n AD  ⋅ = ⋅ =     2 0 4 4 0 x y y z + =  + = 1x = ( )1 1, 2,2n = − 1ACB ( )2 2,4,1n = − 1 2 1 2 2 8 2 8 21cos 633 21 n n n n θ ⋅ − − += = = ⋅⋅     1 1B AC D− − 1 1B AC D− − 8 21 63 20．解：（1）∵ ，∴ 又∵已知函数 在 处的切线为 ，即切点为 ∴ ，解之得 ， ∴函数 的解析式为 （2）∵ ，∴“不等式 在区间 上恒成立”等价于“不等式 在区间 上恒成立” 令 ， ， 令 ，解得 ；令 ，解得 ． 则 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ∴实数 的取值范围为 （3）由（2）知 ， ∴ …… ( ) lna xf x bxx = + ( ) 2 lna a xf x bx −′ = + ( )f x 1x = 1y x= − ( )1,0 ( )1 1 0 k f a b b ′= = + =  = 1a = 0b = ( )y f x= ( ) ln xf x x = 0x > ( )f x kx≤ ( )0,+∞ 2 ln xk x ≥ ( )0,+∞ ( ) 2 ln xh x x = ( ) 3 1 2ln xh x x −′ = ( ) 0h x′ > 0 x e< < ( ) 0h x′ < x e> ( )h x ( )0, e ( ),e +∞ ( ) ( ) 1 2h x h e e ≤ = k 1 ,2e  +∞  2 ln 1 2 x x e ≤ ( )4 2 ln 1 1 22 x xx e x ≤ ⋅ ≥ 4 2 ln2 1 1 1 1 1 112 2 2 2 1 2 2 2e e e  < ⋅ < ⋅ = − ×   4 2 ln3 1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 2 2 3 2 2 3e e e  < ⋅ < ⋅ = − ×   4 2 ln4 1 1 1 1 1 1 1 4 2 4 2 3 4 2 3 4e e e  < ⋅ < ⋅ = − ×   ( )4 2 ln 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 n n e n e n n e n n  < ⋅ < ⋅ = − − × −  ∴ 21．解：（1）依题意可得 ，解得 ， 从而 ， ．所求椭圆方程为 （2）过点 的动直线 交椭圆 于 、 两点，设 ， ，①动直线 斜率不存 在时，令 ，得 ，此时 ， 即 这说明以弦 为直径的圆过点 ②动直线 斜率存在时，设其方程为 ． 代入椭圆方程 ，整理得： ． ∵点 在椭圆内， ∴此方程必有二实根 ， ，且 ， ． 于是， 可知 ，即以 为直径的圆过点 综上所述，存在定点 ，无论直线 如何转动，以 为直径的圆恒过点 4 4 4 4 ln2 ln3 ln4 ln 1 1 112 3 4 2 2 n n e n e  + + + ⋅⋅⋅+ < −