四川省内江市2020届高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题 含答案详解

内江市高中 2020 届第三次模拟考试题 数学（文科） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题 1．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3． 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ， ， ，则 （ ） A． B． C．2 D．3 4．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校 ， ， 的相关人员中，抽取若干组成研究小 组、有关数据见下表（单位：人） 高校 相关人数 抽取人数 18 36 2 54 若从高校 、 抽取的人中选 2 人作专题发言，则这二人都来自高校 的概率为（ ） A． B． C． D． 5．执行如图所示的程序框图，若输入的实数 ，则输出结果为（ ） { }2 1xA y y= = + { }2 3 0B x x= − ≤ A B∩ = 31, 2     31, 2     31, 2    31, 2      z ( )4 3 3 2i z i+ = − i z ABC△ A B C a b c 5a = 2c = 2cos 3A = b = 2 3 A B C A x B C y B C C 1 5 3 10 1 10 3 5 4x = A． B．2 C．3 D．4 6．已知点 ， ，动点 满足 ，则点 的轨迹是（ ） A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆 7．设 ， 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 8．函数 的图像大致为（ ） A． B． C． D． 9．设平画上向量 ， ，若 ，则角 的大 小为（ ） A． B． C． 或 D． 或 10．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径 ， ， ， 为半圆弧的中点，若异面直线 和 所成角的余弦值为 ，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 11．坐标原点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 、 两点．若点 ，则 面积的最大值为（ ） l m α β l α⊥ l β∥ α β⊥ l α∥ m l⊥ m α⊥ l α∥ m α∥ l m∥ l α∥ mα β∩ = l m∥ ( )( )cos ,sin 0a α α α π= ≤ > 2 2 2 2 C k l C A B 1,03S  −   l l AB ( )1,0T 22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以原点 为极点， 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 的极坐标方程； （2）已知曲线 的极坐标方程为 （ ， ），点 是曲线 与 的交点，点 是曲 线 与 的交点，且 、 均异于原点 ， ，求实数 的值． 23．已知函数 ，函数 的定义域为 ． （1）求实数 的取值范围； （2）求解不等式 ． 内江市高中 2020 届第三次模拟考试题 数学（文科）参考答案及评分意见 一、选择题 1．B 2．D 3．D 4．B 5．B 6．C 7．A 8．C 9．B 10．A 11．A 12．D 二、填空题 13． 14．3 15．2 16．2 三、解答题 17．解：（1）∵调查的 500 位老年人中有 位需要志愿者提供帮助 ∴ 解之得 ， （2） 的观测值 ∵ ∴在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． 18．解：（1）设等差数列 的公差为 ， ，即 xOy 1C 2 2cos 2sin x y ϕ ϕ = +  = ϕ O x 2C 4sinρ θ= 1C 3C θ α= 0 α π< < Rρ ∈ A 3C 1C B 3C 2C A B O 4 2AB = α ( ) 2 4f x x x= + + − ( ) ( )g x f x m= − R m ( ) 8f x ≤ [ )5,7 40 m+ 40 270 500 40 14 500 100 m n m + + + = + = 30m = 160n = 2K ( )2500 40 270 30 160 200 300 70 430k × × − ×= × × × 2 2500 40 30 25 3000 9.967200 300 70 430 7 43 × × × = ≈× × × × 9.967 6.635> { }na d 6 3 3 6a a d− = = 2d = ∵ 是 与 的等比中项，∴ ， 即 ，解得 ∴数列 的通项公式为 （2）由（1）问可知 ∴ 两式相减并化简得 19．解：（1）证明： 平面 ， 平面 ，∴ 又∵ ，且 ，∴ 平面 又∵ 平面 ，∴面 面 （2）单独画出底面 ，建立如图坐标系，设 ，则 ， ， ， ， 即 ， ∵ ，∴ ，又 ，】 则 ，即 多面体 的体积 20．解：（1）∵ ，∴ 又∵已知函数 在 处的切线为 ，即切点为 6 1a − 5 1a − 8 1a − ( ) ( )( )2 6 5 81 1 1a a a− = − − ( ) ( )( )2 1 1 19 7 13a a a+ = + + 1 5a = − { }na 2 7na n= − ( )2 2 7 2n n n nb a n= ⋅ = − ⋅ ( ) ( ) ( ) ( )2 3 45 2 3 2 1 2 1 2 2 7 2n nS n= − × + − × + − × + × + ⋅⋅⋅+ − × ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 5 12 5 2 3 2 1 2 1 2 2 7 2n nS n += − × + − × + − × + × + ⋅⋅⋅+ − × ( ) 118 2 9 2n nS n += + − ⋅ 1BB ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD 1AC BB⊥ AC BD⊥ 1BB BD B∩ = AC ⊥ 1BB D AC ⊆ 1ACD 1ACD ⊥ 1BB D ABCD AB t= ( )0,0A ( )0,4D ( ),0B t ( ),1C t ( ),1AC t= ( ),4BD t= − AC BD⊥ 2 4 0t− + = 0t > 2t = 2AB = 1 1 1 1ABC A B C D− 1 1 1 1 1 1ABCD A B D C D D ACDV V V− −= −棱柱 三棱柱 1 1 1 3 ACDABCDS AA S DD= × − × ×梯形 △ ( )1 1 1 441 4 2 4 4 2 42 3 2 3 = + × × − × × × × = ( ) lna xf x bxx = + ( ) 2 lna a xf x bx −′ = + ( )f x 1x = 1y x= − ( )1,0 ∴ ，解之得 ， ∴函数 的解析式为 （2）对一切 ， 恒成立，可化为 对一切 恒成立． 令 ， 则 ， 当 时， ，即 在 上递减 当 时， ，即 在 上递增， ∴ ∴ ，即实数 的取值范围是 21．解：（1）依题意可得 ，解得 ， 从而 ， ．所求椭圆方程为 （2）证：直线 的方程为 ，设 ， ，则代入椭圆方程 ，整理 得： ． ∵点 在椭圆内， ∴此方程必有二实根 ， ，且 ， ． 于是， ( )1 1 0 k f a b b ′= = + =  = 1a = 0b = ( )y f x= ( ) ln xf x x = ( )0,x ∈ +∞ ( ) ( )2 f x g x≥ 32lnm x x x ≤ + + ( )0,x ∈ +∞ ( ) 32lnh x x x x = + + ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 3 12 3 2 31 0x xx xh x xx x x x + −+ −′ = + − = = > ( )0,1x ∈ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0,1 ( )1,x ∈ +∞ ( ) 0h x′ > ( )h x ( )1,+∞ ( ) ( )min 1 4h x h= = 4m ≤ m ( ],4−∞ 2 2 2 2 2 2 2 2 ce a a a b c  = =  =  = +  2a = 1c = 2 2a = 2 2 2 1b a c= − = 2 2 12 y x+ = l 1 3y k x = +   ( )1 1,A x y ( )1 2,B x y 2 2 12 y x+ = ( ) 2 2 2 2 2 182 03 9 k kk x x −+ + + = S 1x 2x ( ) 2 1 2 2 2 3 2 kx x k + = − + ( ) 2 1 2 2 18 9 2 kx x k −⋅ = + ( )( ) ( )( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 11, 1, 1 1 3 3TA TB x y x y x x k x k x   ⋅ = − − = − − + + ⋅ +         可知 ，即以 直径的圆过点 ． 22．解：（1）由 ，消去参数 可得 普通方程为 ∴ ，故曲线 的极坐标方程为 （2）由题意设 ， ，则 ∴ ，∴ ∵ ，∴ 23．解：（1）∵函数 的定义域为 ∴ 恒成立 ∵ ， ∴ 的取值范围为 （2）不等式 即为 ∴ 或 或 即 或 或 ∴ ，即原不等式的解集为 ． ( ) ( )( ) ( )2 2 2 1 2 1 2 1 11 3 93 9k x x k x x k= + + − + + + ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 1 1 18 2 3 9 2 0 9 2 k k k k k k k  = + − − − + + + = + TA TB⊥  AB T 2 2cos 2sin x y ϕ ϕ = +  = ϕ 1C ( )2 22 4x y− + = 2 24 0x x y− + = 1C 4cosρ θ= ( )1,A ρ α ( )2,B ρ α 1 2 4 sin cos 4 2 sin 4 24AB πρ ρ α α α = − = − = − =   sin 14 πα − = ±   4 2 k π πα π− = + 0 α π< < 3 4 πα = ( ) ( )g x f x m= − R 2 4x x m+ + − ≥ ( ) ( ) ( )2 4 2 4 6f x x x x x= + + − ≥ + − − = m ( ],6−∞ ( ) 8f x ≤ 2 4 8x x+ + − ≤ 4 2 2 8 x x ≥  − ≤ 2 4 2 4 8 x x x − <