2020 年 6 月福建省普通高中学业水平合格性考试
数学试题
(考试时间:90 分钟;满分:100 分)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 6 页.
考生注意:
1.答题前,考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴
的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦
擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答.在试题卷上作答,答案无
效.
3.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回.
参考公式:
样本数据 的标准差 锥体体积公式 ,
其中 S 为底面面积,h 为高
其中 为样本平均数 球的表面积公式 ,
柱体体积公式 ,其中 S 为底面面积,h 为高 球的体积公式 ,
台体体积公式 , 其中 R 为球的半径
其中 ,S 分别为上、下底面面积,h 为高
第Ⅰ卷(选择题 45 分)
一、选择题(本大题有 15 小题,每小题 3 分,共 45 分.每小题只有一个选项符合题意)
1.已知集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
2.下图是某圆锥的三视图,则该圆锥底面圆的半径长是( )
A.1 B.2 C.3 D.
1 2, , , nx x x
1
3V Sh=
( ) ( ) ( )2 2 2
1 2
1
ns x x x x x xn
= − + − + + −
x 24πS R=
V Sh= 34 π3V R=
( )1
3V S S S S h′ ′= + +
S′
{ }3A = { }1,2,3B = A B =
{ }1,2,3 { }1,3 { }3 ∅
10
3.若三个数 1,3,a 成等比数列,则实数 ( )
A.1 B.3 C.5 D.9
4.一组数据 的众数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.如图,在正方形上随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.1
6.函数 的最小正周期为( )
A. B. C. D.
7.函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.R
8.不等式 表示的平面区域是( )
a =
3,4,4,4,5,6
1
4
1
2
3
4
cosy x=
π
2 π 3π
2 2π
1
2y x
= −
( ),2−∞ ( )2,+∞
( ) ( )2,,2∞ ∞− +
2 4 0x y+ − ≤
A B C D
9.已知直线 , ,若 ,则实数 ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
10.化简 ( )
A. B. C. D.
11.不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
12.化简 ( )
A. B. C. D.
13.下列函数中,在 上单调递减的是( )
A. B.
C. D.
14.已知 , , ,则 a,b,c 的大小关系是( )
A. B.
C. D.
15.函数 的图象大致为( )
A B
1 : 2l y x= − 2 :l y kx= 1 2//l l k =
MN NP PQ+ + =
MP NQ MQ PM
( )( )2 3 0x x+ − <
{ }2, 3x x x< − >或 { }2 3x x− < <
1 1
2 3x x
− <
或
( )tan π α+ =
sinα cosα sinα− tanα
( )0,+∞
3y x= − 2y x
=
2y x= 2xy =
0.54a = 24b = 4log 0.5c =
a b c< < c b a< <
c a b< < a c b< <
2
1, 2,
log , 2
x
y
x x
α α ( ),P x y
2 2 0r x y= + > sin y
r
α = cos x
r
α = ( )tan 0y xx
α = ≠
( )2, 2P α
sinα cosα
(2)求 的值.
22.(本小题满分 8 分)
如 图 , 四 棱 锥 中 , 底 面 ABCD 是 矩 形 , 平 面 ABCD , 且 ,
.
(1)求四棱锥 的体积;
(2)若 E,F 分别是棱 PC,AB 的中点,则 EF 与平面 PAD 的位置关系是__________.在下面三个选项
中选取一个正确的序号填写在横线上,并说明理由.
① 平面 PAD;
② 平面 PAD;
③EF 与平面 PAD 相交.
23.(本小题满分 8 分)
如图,某报告厅的座位是这样排列的:第一排有 9 个座位,从第二排起每一排都比前一排多 2 个座位,
共有 10 排座位.
(1)求第六排的座位数;
(2)某会议根据疫情防控的需要,要求:同一排的两个人至少要间隔一个座位就坐,且前后排要错位
就坐.那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议?
(提示:每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐,其余的座位不能就坐,就可保证安排的
参会人数最多)
πsin 4
α +
P ABCD− PD ⊥ 3AD =
2PD CD= =
P ABCD−
EF ⊂
//EF
24.(本小题满分 8 分)
已知圆 C 的方程为 .
(1)写出圆心 C 的坐标与半径长;
(2)若直线 l 过点 ,试判断 l 与圆 C 的位置关系,并说明理由.
25.(本小题满分 10 分)
某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验,得到零件数 (单
位:件)与加工时间 (单位:小时)的部分数据,整理如下表:
i 1 2 3 4 5 合计
10 20 40 50 150
62 68 75 89 375
根据表中的数据:
(1)求 和 的值;
(2)画出散点图;
(3)求回归方程 ;并预测,加工 100 件零件所需要的时间是多少?
附:①符号“ ”表示“求和”;
②对于一组数据 ,其回归方程 的斜率和截距的最小二乘
估计分别为: , .
(参考数据: , )
( ) ( )2 22 1 5x y− + − =
( )0,1P
ix
iy
ix 3x
iy 4y
3x 4y
y bx a= +
∑
( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , ,n nx y x y x y y bx a= +
1
22
1
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x nx
=
=
− ⋅
=
−
∑
∑
a y bx= −
5
2
1
5500i
i
x
=
=∑ 5
1
11920i i
i
x y
=
=∑
2020 年 6 月福建省普通高中学业水平合格性考试
数学试题参考答案
一、选择题
1.C 2.A 3.D 4.B 5.A
6.D 7.C 8.A 9.D 10.C
11.B 12.D 13.B 14.C 15.A
二、填空题
16. 17.-4 18.2 19. 20.2
三、解答题
21.解:(1)依题意: ,
所以 , .
(2)由(1)知
.
22.解:(1)因为 平面 ABCD,
所以 .
(2)②
理由如下:
取 PD 的中点 C,连接 GA,CE.
因为 E,G 分别为 PC,PD 的中点,
( )0,4 3
2r =
2sin 2
α = 2cos 2
α =
π π πsin sin cos cos sin4 4 4
α α α + = +
2 2 2 2+ =12 2 2 2
= × ×
PD ⊥
1 1= 2 3 2 43 3ABCDV S PD× × = × × × =矩形
所以 , .
因为 F 为 AB 的中点,
所以 ,
又矩形 ABCD 中, ,且 ,
所以 ,且 ,
所以四边形 AFEG 是平行四边形.
所以 .
又 平面 PAD, 平面 PAD,
所以 平面 PAD.
23.解:(1)依题意,得每排的座位数会构成等差数列 ,
其中首项 ,公差 ,
所以第六排的座位数 .
(2)因为每排的座位数是奇数,为保证同时参会的人数最多,
第一排应坐 5 人,第二排应坐 6 人,第三排应坐 7 人,……,
这样,每排就坐的人数就构成等差数列 ,
首项 ,公差 ,
所以数列前 10 项和 .
故该报告厅里最多可安排 95 人同时参加会议.
24.解:(1)圆心 C 的坐标为 ,半径长 .
(2)当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l 与圆 C 相交.
//GE DC 1
2GE DC=
1
2AF AB=
//AB DC AB DC=
//GE AF GE AF=
//EF GA
EF ⊄ GA ⊂
//EF
{ }na
1 9a = 2d =
( )6 1 6 1 19a a d= + − =
{ }nb
1 5b = 1d′ =
10 1
10 910 952S b d
× ′= + × =
( )2,1 5r =
当直线 l 不垂直于 x 轴时,
设直线 l 的方程为 ,
将 代入 整理,
得 ,
因为 ,且 恒成立,
所以直线 l 与圆 C 相交.
综上所述,直线 l 与圆 C 相交.
25.解:(1)依题意可得: , .
(2)散点图如下图:
(3)由表格数据计算得 , .
,
,
所求的回归方程为: .
当 时, (小时).
所以加工 100 件零件所需要的时间约为 121.9 小时.
1y kx= +
1y kx= + ( ) ( )2 22 1 5x y− + − =
( )2 21 4 1 0k x x+ − − =
21 0k+ ≠ ( )216 4 1 0k∆ = + + >
3 30x = 4 81y =
150 305x = = 375 755y = =
1
222
1
11920 5 30 75 670 0.675500 5 30 1000
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x nx
=
=
− ⋅ − × ×= = = =− ×−
∑
∑
75 0.67 30 54.9a y bx= − = − × =
0.67 54.9y x= +
100x = 0.67 100 54.9 121.9y = × + =