人教版高中数学必修二检测：阶段通关训练（二） Word版含解析.doc

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适 的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。 阶段通关训练(二) (60 分钟 100 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 30 分) 1.(2016·吉安高二检测)下列说法中正确的是 (  ) A.三点确定一个平面 B.两条直线确定一个平面 C.两两相交的三条直线一定在同一平面内 D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内 【解析】选 D.选项 A 中，缺条件“不共线”；选项 B 中，须指明这两条 直线的位置关系，比如两条异面直线就不能确定一个平面；选项 C 中， 两两相交的三条直线当相交于同一点时，它们可以不在同一平面内，比 如正方体中同一顶点的三条棱. 2.如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB=90°，M 为 AB 的中点， PM 垂直于△ABC 所在平面，那么 (  ) A.PA=PB>PC B.PA=PBD.PA≠PB≠PC 【解析】选 C.因为 M 为 AB 的中点，△ACB 为直角三角形，所以 BM=AM=CM， 又 PM⊥平面 ABC，所以 Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故 PA=PB=PC. 3.(2016·成都高二检测)如图，已知三条长度相等的线段 AB，BC，CD， 若 AB⊥BC，BC⊥CD，且直线 AB 与 CD 所成角大小为 60°，则直线 AD 与 BC 所成角大小为 (  ) A.90°    B.60°    C.45°    D.30° 【解析】选 C.如图，过 B 作 BE CD，连接 DE，AE，则四边形 BCDE 为正 方形，∠ABE 为直线 AB 与 CD 所成角，∠ADE 为直线 AD 与 BC 所成角.因 为 AB=BC=CD=BE，∠ABE=60°，所以 AB=BE=AE.因为 AB⊥BC，所以 AB⊥ DE，又 BE⊥DE，AB∩BE=B，所以 DE⊥平面 ABE，所以 DE⊥AE，所以△AED 为等腰直角三角形，所以∠ADE= 45°. 【拓展延伸】求异面直线所成角的方法 求异面直线所成角主要是如何通过平移作出其平面角，主要途径有：利 用三角形的中位线、构造平行四边形、利用梯形两底平行、平行线分线 段成比例的性质等，如本题通过利用条件中的垂直关系构造正方形，达 到平移的目的. 【补偿训练】(2016·台州高二检测)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， 异面直线 A1D 与 D1C 所成的角为 (  ) A.30°    B.45°    C.60°    D.90° 【解析】选 C.由题可知，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A1B∥D1C，所以异 面直线 A1D 与 D1C 所成的角与直线 A1D 与 A1B 所成的角相 等，连接 A1B， BD，∠BA1D 为所求角，设正方体的棱长为 1，在△A1DB 中，三条边长均 为 ，故∠BA1D=60°. 4.(2016·北京高二检测)已知直线 m 和平面α，β，则下列四个命题中 正确的是 (  ) A.若α⊥β，m⊂β，则 m⊥α B.若α∥β，m⊥α，则 m⊥β C.若α∥β，m∥α，则 m∥β D.若 m∥α，m∥β，则α∥β 【解析】选 B.若α⊥β，m ⊂β，则直线 m 与平面α相交，或直线 m 在 平面α内，或直线 m 与平面α平行，所以选项 A 不正确；若α∥β，m∥ α，则直线 m 与平面β平行，或直线 m 在平面β内，所以选项 C 不正确. 若 m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，所以选项 D 不正确. 5.(2016·辽宁师大附中高一检测)如图，六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正 六边形，PA⊥平面 ABC，则下列结论不正确的是 (  ) A.CF⊥平面 PAD B.DF⊥平面 PAF C.CF∥平面 PAB D.CD∥平面 PAF 【解析】选 A.因为六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面 ABC. 则 AF∥CD，由线面平行的判定定理，可得 CD∥平面 PAF，故 D 正确；DF ⊥AF，DF⊥PA，由线面垂直的判定定理可得 DF⊥平面 PAF，故 B 正确； CF∥AB，由线面平行的判定定理，可得 CF∥平面 PAB，故 C 正确；CF 与 AD 不垂直，故 A 中，CF⊥平面 PAD 不正确. 6.已知矩形 ABCD，AB=1，BC= ，将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的 直线进行翻折，在翻折过程中 (  ) A.存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置，三对直线“AC 与 BD”，“AB 与 CD”，“AD 与 BC”均不垂 直 【解析】选 B.A 错误.理由如下：过 A 作 AE⊥BD，垂足为 E，连接 CE， 若直线 AC 与直线 BD 垂直，则可得 BD⊥平面 ACE， 于是 BD⊥CE，而由矩形 ABCD 边长的关系可知 BD 与 CE 并不垂直.所以直 线 AC 与直线 BD 不垂直. B 正确.理由：翻折到点 A 在平面 BCD 内的射影恰好在直线 BC 上时，平 面 ABC⊥平面 BCD，此时由 CD⊥BC 可证 CD⊥平面 ABC，于是有 AB⊥CD. 故 B 正确. C 错误.理由如下：若直线 AD 与直线 BC 垂直，则由 BC⊥CD 可知 BC⊥平 面 ACD，于是 BC⊥AC，但是 ABPA 知③正确； 由 E，F 分别是棱 PC，PD 的中点， 可得 EF∥CD，又 AB∥CD， 所以 EF∥AB，故 AE 与 BF 共面，④错. 答案：①③ 10.(2016·西宁高二检测)在四面体 ABCD 中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1， 且平面 ABD⊥平面 BCD，M 为 AB 中点，则 CM 与平面 ABD 所成角的正弦值 为________. 【解析】如图所示，取 BD 中点 O，连接 CO，MO，由已知条件 BC=CD=1， 所以 BD⊥CO，由平面 ABD⊥平面 BCD，且平面 ABD∩平面 BCD=BD，所以 CO ⊥平面 ABD，则∠CMO 即为直线 CM 与平面 ABD 所成的角，由 AB⊥AD，所 以 BD= ，则得到 BC⊥CD，所以 CO= BD= ，MO= AD= ，所以在 Rt△COM 中，CM= = ，所以 sin∠CMO= = = .[来源:Z§xx§k.Com] 答案： 三、解答题(共 4 小题，共 50 分) 11.(12 分)(2016·台州高二检测)如图所示，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是 矩 形 ， PA ⊥ 平 面 ABCD ， 点 M ， N 分 别 是 AB ， PC 的 中 点 ， PA=AD=a. (1)求证：MN∥平面 PAD. (2)求证：平面 PMC⊥平面 PCD. 【证明】(1)设 PD 的中点为点 E，连接 AE，NE，由点 N 为 PC 的中点知 EN DC，又 ABCD 是矩形，所以 DC AB，所以 EN AB，又点 M 是 AB 的中 点，所以 EN AM，所以 AMNE 是平行四边形，所以 MN∥AE，而 AE⊂平面 PAD，NM⊄平面 PAD，所以 MN∥平面 PAD. (2)因为 PA=AD，所以 AE⊥PD，又因为 PA⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， 所以 CD⊥PA，而 CD⊥AD，所以 CD⊥平面 PAD，所以 CD⊥AE，因为 PD∩ CD=D，所以 AE⊥平面 PCD，因为 MN∥AE，所以 MN⊥平面 PCD，又 MN⊂ 平面 PMC，所以平面 PMC⊥平面 PCD. 【补偿训练】(2016·济南高一检测)如图所示，平面四边形 PACB 中，∠ PAB 为直角，△ABC 为等边三角形，现把△PAB 沿着 AB 折起，使得△APB 与△ABC 垂直，且点 M 为 AB 的中点. (1)求证：平面 PAB⊥平面 PCM. (2)若 2PA=AB，求直线 BC 与平面 PMC 所成角的正弦值. 【解析】(1)因为平面 APB⊥平面 ABC 且交线为 AB，又因为∠PAB 为直 角，所以 AP⊥平面 ABC，故 AP⊥CM，又因为△ABC 为等边三角形，点 M 为 AB 的中点，所以 CM⊥AB，又因为 PA∩AB=A，所以 CM⊥平面 PAB，又 CM⊂平面 PCM，所以平面 PAB⊥平面 PCM. (2)假设 PA=a，则 AB=2a，再设 B 到平面 PMC 的距离为 hB.则 VP-MBC=VB-PMC = PA·S△MBC= hB·SPMC，在直角三角形 PAM 中，由 PA=AM=a，得 PM= a， 在等边三角形 ABC 中，AB 边上的高 CM= a，而三角形 PMC 为直角三角 形，故面积为 S△PMC= CM·PM= · a· a= a2. 又 S△MBC= S△ABC= a2.所以 a· a2=hB· a2. 故 hB= a.[ 所以直线 BC 与平面 PMC 所成角的正弦值 sinθ= = = . 12.(12 分) 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，点 D，E 分别在棱 PB，PC 上，且 DE∥BC. (1)求证：BC⊥平面 PAC. (2)是否存在点 E 使得二面角 A-DE-P 为直二面角？并说明理 由. 【解析】(1)因为 PA⊥底面 ABC， 所以 PA⊥BC.又∠BCA=90°， 所以 AC⊥BC. 又因为 AC∩PA=A，所以 BC⊥平面 PAC. (2)因为 DE∥BC， 又由(1)知，BC⊥平面 PAC， 所以 DE⊥平面 PAC. 又因为 AE⊂平面 PAC，PE⊂平面 PAC， 所以 DE⊥AE，DE⊥PE. 所以∠AEP 为二面角 A-DE-P 的平面角. 因为 PA⊥底面 ABC，所以 PA⊥AC， 所以∠PAC=90°. 所以在棱 PC 上存在一点 E， 使得 AE⊥PC.这时∠AEP=90°， 故存在点 E，使得二面角 A-DE-P 为直二面角. 13.(13 分)(2016·杭州高二检测)已知直角梯形 ABCD 和矩形 CDEF 所在 的平面相互垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB=AD=DE=4，DC=8， (1)证明：BD⊥平面 BCF. (2)设二面角 E-BC-D 的平面角为α，求 sinα. (3)M 为 AD 的中点，在 DE 上是否存在一点 P，使得 MP∥平面 BCE？若存 在，求出 DP 的长；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)因为平面 ABCD⊥平面 CDEF，且矩形 CDEF 中 FC⊥DC，所以 FC ⊥ 面 ABCD，FC⊥DB，在直角梯形 ABCD 中易得 DB⊥BC，又 FC∩BC=C，所以 BD⊥ 平面 BCF. (2)因为 FC⊥平面 ABCD，ED∥FC，所以 ED⊥平面 ABCD，又 DB⊥BC，所 以 EB⊥BC，所以∠EBD 为二面角 E-BC-D 的平面角α， 所以 sinα=sin∠EBD= = = . (3)猜想 DP= 1.取 ED，EC 的四等分点 P，Q，使得 ED=4PD，EC=4QC，则 PQ ∥ CD ， PQ= CD=6 ， 取 BC 中 点 N ， 连 接 MN ， NQ ， 则 MN ∥ CD ， MN= (CD+AB)=6，所以 PQ￿MN，所以四边形 PQNM 为平行四边形，所以 MP∥ QN，又因为 MP⊄平面 BCE，QN⊂平面 BCE，所以 MP∥平面 BCE. 14.(13 分)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA 1=AC=2，BC=1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点. (1)求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)求证：C1F∥平面 ABE. (3)求三棱锥 E-ABC 的体积. 【解析】(1)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， BB1⊥底面 ABC， 所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC，BB1∩BC=B， 所以 AB⊥平面 B1BCC1， 又 AB⊂平面 ABE， 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)取 AB 的中点 G，连接 EG，FG. 因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点， 所以 FG∥AC，且 FG= AC. 因为 AC∥A1C1，且 AC=A1C1， 所以 FG∥EC1，且 FG=EC1， 所以四边形 FGEC1 为平行四边形. 所以 C1F∥EG. 又因为 EG⊂平面 ABE，C1F⊄平面 ABE， 所以 C1F∥平面 ABE. (3)因为 AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC， 所以 AB= = . 所以三棱锥 E-ABC 的体积 V= S△ABC·AA1 = × × ×1×2= . 【能力挑战题】 (2016·桂林高二检测)如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ ABC= 90°，平面 PAB⊥平面 ABC，D，E 分别为 AB，AC 的中点. (1)求证：AB⊥PE. (2)求二面角 A-PB-E 的大小. 【解题指南】(1)连结 PD，根据等边三角形三线合一可证得 PD⊥AB，由 中位线可得 DE∥BC，即可得 DE⊥AB，根据线面垂直的判定定理可证得 AB ⊥平面 PDE，从而可证得 AB⊥PE.(2)由面面垂直的性质定理可证得 PD⊥ 平面 ABC，从而可证 DE⊥PD，根据线面垂直的判定定理可证得 DE⊥平面 PAB，过 D 作 DF 垂直 PB 于 F，连接 EF，则 EF⊥PB.根据二面角的定义可 知∠DFE 即为所求，在△DEF 中求∠DFE 即可. 【解析】(1)连结 PD，因为 PA=PB，D 为 AB 的中点，所以 PD⊥AB.因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以 DE∥BC，又因为 BC⊥AB，所以 DE⊥ AB.又 PD∩DE=D，所以 AB⊥平面 PDE，因为 PE⊂平面 PDE，所以 AB⊥ PE. (2)因为平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAB∩平面 ABC=AB，PD⊥AB，所以 PD ⊥平面 ABC，所以 DE⊥PD.又 ED⊥AB，PD∩AB=D，所以 DE⊥平面 PAB， 过 D 作 DF 垂直 PB 于 F，连接 EF，则 EF⊥PB， 所以∠DFE 为所求二面角的平面角，则：DE= ，DF= ，则 tan∠DFE= = ，故二面角 A-PB-E 的大小为 60°. 关闭 Word 文档返回原板块