3.3.2 两点间的距离
一、基础过关
1．已知点 A(－3,4)和 B(0，b)，且|AB|＝5，则 b 等于 ( )
A．0 或 8 B．0 或－8
C．0 或 6 D．0 或－6
2．设点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，AB 的中点是 P(2，－1)，则|AB|等于 ( )
A．5 B．4 2 C．2 5 D．2 10
3．已知△ABC 的顶点 A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC 的周长是 ( )
A．2 3 B．3＋2 3 C．6＋3 2 D．6＋2 10
4．已知点 A(1,2)，B(3,1)，则到 A，B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是 ( )
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
5． 已知点 A(x,5)关于点 C(1，y)的对称点是 B(－2，－3)，则点 P(x，y)到原点的距离是
_______．
6．点 M 到 x 轴和到点 N(－4,2)的距离都等于 10，则点 M 的坐标为______________．
7．已知直线 l：y＝－2x＋6 和点 A(1，－1)，过点 A 作直线 l1 与直线 l 相交于 B 点，且|AB|＝
5，求直线 l1 的方程．
8．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
二、能力提升
9．已知 A(－3,8)，B(2,2)，在 x 轴上有一点 M，使得|MA|＋|MB|最短，则点 M 的坐标是( )
A．(－1,0) B．(1,0) C.(22
5 ，0) D.(0，22
5 )
10．设 A，B 是 x 轴上两点，点 P 的横坐标为 2，且|PA|＝|PB|，若直线 PA 的方程为 x－y＋1
＝0，则直线 PB 的方程为 ( )
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0
11．等腰△ABC 的顶点是 A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC 边的中点是 D(5,4)，则此三角形的腰
长为________．
12．△ABC 中，D 是 BC 边上任意一点(D 与 B，C 不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：
△ABC 为等腰三角形．
三、探究与拓展
13．已知直线 l 过点 P(3,1)且被两平行直线 l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0 截得的线段长为
5，求直线 l 的方程．
答案
1．A 2．C 3．C 4．B
5. 17 6.(2,10)或(－10,10)
7．解 由于 B 在 l 上，可设 B 点坐标为(x0，－2x0＋6)．
由|AB|2＝(x0－1)2＋(－2x0＋7)2＝25，
化简得 x20－6x0＋5＝0，解得 x0＝1 或 5.
当 x0＝1 时，AB 方程为 x＝1，
当 x0＝5 时，AB 方程为 3x＋4y＋1＝0.
综上，直线 l1 的方程为 x＝1 或 3x＋4y＋1＝0.
8．证明 如图所示，D，E 分别为边 AC 和 BC 的中点，
以 A 为原点，边 AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系．
设 A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则|AB|＝c，
又由中点坐标公式，
可得 D(m
2，n
2 )，E(c＋m
2 ，n
2)，
所以|DE|＝c＋m
2 －m
2＝c
2，
所以|DE|＝1
2|AB|.
即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
9．B 10．A
11．2 6
12．证明 作 AO⊥BC，垂足为 O，以 BC 所在直线为 x 轴，以 OA 所
在直线为 y 轴，建立直角坐标系(如右图所示)．
设 A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．
因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以，由距离公式可得
b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，
即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．
又 d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c.
所以|AB|＝|AC|，即△ABC 为等腰三角形．
13．解 设直线 l 与直线 l1，l2 分别相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则 x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0，
两式相减，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5①
又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25 ②
联立①②可得
Error!或Error!，
由上可知，直线 l 的倾斜角分别为 0°和 90°，
故所求的直线方程为 x＝3 或 y＝1.
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