3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
一、基础过关
1.已知点(a,1)到直线 x-y+1=0 的距离为 1,则 a 的值为 ( )
A.1 B.-1 C. 2 D.± 2
2.点 P(x,y)在直线 x+y-4=0 上,O 是原点,则|OP|的最小值是 ( )
A. 10 B.2 2 C. 6 D.2
3.到直线 3x-4y-1=0 的距离为 2 的直线方程为 ( )
A.3x-4y-11=0 B.3x-4y+9=0
C.3x-4y-11=0 或 3x-4y+9=0 D.3x-4y+11=0 或 3x-4y-9=0
4.P、Q 分别为 3x+4y-12=0 与 6x+8y+5=0 上任一点,则|PQ|的最小值为( )
A.9
5 B.18
5 C.29
10 D.29
5
5.已知直线 3x+2y-3=0 和 6x+my+1=0 互相平行,则它们之间的距离是________.
6.过点 A(2,1)的所有直线中,距离原点最远的直线方程为______________.
7.△ABC 的三个顶点是 A(-1,4),B(-2,-1),C(2,3).
(1)求 BC 边的高所在直线的方程;
(2)求△ABC 的面积 S.
8.如图,已知直线 l1:x+y-1=0,现将直线 l 1 向上平移到直线 l2 的位
置,若 l2、l1 和坐标轴围成的梯形面积为 4,求 l2 的方程.
二、能力提升
9.两平行直线 l1,l2 分别过点 P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕 P、Q 旋 转,但始终保持
平行,则 l1,l2 之间的距离的取值范围是 ( )
A.(0,+∞) B.[0,5]
C.(0,5] D.[0, 17]
10.直线 7x+3y-21=0 上到两坐标轴距离相等的点的个数为 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
11.若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2,则 m
的倾斜角可以是________.(写出所有正确答案的序号)
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
12.已知直线 l1 与 l2 的方程分别为 7x+8y+9=0,7x+8y-3=0.直线 l 平行于 l1,直线 l 与 l1
的距离为 d1,与 l2 的距离为 d2,且 d1∶d2=1∶2,求直线 l 的方程.
三、探究与拓展
13.等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 C 和顶点 B 都在直线 2x+3y-6=0 上,顶点 A 的坐标
是(1,-2).求边 AB、AC 所在直线方程.
答案
1.D 2.B 3.C 4.C
5.7 13
26
6.2x+y-5=0
7.解 (1)设 BC 边的高所在直线为 l,
由题意知 kBC=3-(-1)
2-(-2)=1,
则 kl=
-1
kBC =-1,
又点 A(-1,4)在直线 l 上,
所以直线 l 的方程为 y-4=-1×(x+1),
即 x+y-3=0.
(2)BC 所在直线方程为
y+1=1×(x+2),即 x-y+1=0,
点 A(-1,4)到 BC 的距离
d= |-1-4+1|
12+(-1)2
=2 2,
又|BC|= (-2-2)2+(-1-3)2=4 2,
则 S△ABC=1
2·|BC|·d
=1
2×4 2×2 2=8.
8.解 设 l2 的方程为 y=-x+b(b>1),
则图中 A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b).
∴|AD|= 2,|BC|= 2b.
梯形的高 h 就是 A 点到直线 l2 的距离,
故 h=|1+0-b|
2
=|b-1|
2
=b-1
2 (b>1),
由梯形面积公式得 2+ 2b
2 ×b-1
2
=4,
∴b2=9,b=±3.但 b>1,∴b=3.
从而得到直线 l2 的方程是 x+y-3=0.
9.C 10.B
11.①⑤
12.解 因为直线 l 平行 l 1,设直线 l 的方程为 7x+8y+C=0,则 d 1= |C-9|
72+82,d2=
|C-(-3)|
72+82 .
又 2d1=d2,∴2|C-9|=|C+3|.
解得 C=21 或 C=5.
故所求直线 l 的方程为 7x+8y+21=0 或 7x+8y+5=0.
13.解 已知 BC 的斜率为-2
3,因为 BC⊥AC,所以直线 AC 的斜率为3
2,从而方程 y+2=
3
2(x-1),即 3x-2y-7=0,又点 A(1,-2)到直线 BC:2x+3y-6=0 的距离为|AC|=
10
13
,且|AC|=|BC|= 10
13.由于点 B 在直线 2x+3y-6=0 上,可设 B(a,2-2
3a),且点 B
到直线 AC 的距离为
|3a-2(2-2
3a)-7|
32+(-2)2
= 10
13
,|13
3 a-11|=10.
所以 13
3 a-11=10 或 13
3 a-11=-10,所以 a=63
13或 3
13,
所以 B (63
13,-16
13)或 B( 3
13,24
13)
所以直线 AB 的方程为 y+2=
-16
13+2
63
13-1
·(x-1)或 y+2=
24
13+2
3
13-1
(x-1).即 x-5y-11=0 或
5x+y-3=0,
所以 AC 所在的直线方程为 3x-2y-7=0,AB 所在的直线方程为 x-5y-11=0 或 5x+y
-3=0.