第四章 圆与方程
§4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
一、基础过关
1.(x+1)2+(y-2)2=4 的圆心与半径分别为 ( )
A.(-1,2),2 B.(1,-2),2
C.(-1,2),4 D.(1,-2),4
2.点 P(m2,5)与圆 x2+y2=24 的位置关系是 ( )
A.在圆内 B.在圆外
C.在圆上 D.不确定
3.圆的一条直径的两个端点是(2,0),(2,-2),则此圆的方程是 ( )
A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1
C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x+2)2+(y+1)2=1
4.圆(x-1)2+y2=1 的圆心到直线 y= 3
3 x 的距离为 ( )
A.1
2 B.
3
2 C.1 D. 3
5.圆 O 的方程为(x-3)2+(y-4)2=25,点(2,3)到圆上的最大距离为________.
6.圆(x-3)2+(y+1)2=1 关于直线 x+2y-3=0 对称的圆的方程是________________.
7.求满足下列条件的圆的方程:
(1)经过点 P(5,1),圆心为点 C(8,-3);
(2)经过点 P(4,2),Q(-6,-2),且圆心在 y 轴上.
8.求经过 A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在直线 3x+10y+9=0 上的圆的方程.
二、能力提升
9.方程 y= 9-x2表示的曲线是 ( )
A.一条射线 B.一个圆
C.两条射线 D.半个圆
10.若直线 y=ax+b 通过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1 的圆心位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11.如果直线 l 将圆(x-1)2+(y-2)2=5 平分且不通过第四象限,那么 l 的斜率的取值范围是
________.
12.平面直角坐标系中有 A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一个圆上?
为什么?
三、探究与拓展
13.已知点 A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),点 P 在圆 x2+y2=4 上运动,求|PA|2+|PB|2+
|PC|2 的最值.
答案
1.A 2.B 3.B 4.A
5.5+ 2
6.(x-19
5 )2+(y-3
5 )2=1
7.解 (1)圆的半径 r=|CP|= (5-8)2+(1+3)2=5,
圆心为点 C(8,-3),
∴圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.
(2)设所求圆的方程是 x2+(y-b)2=r2.
∵点 P、Q 在所求圆上,依题意有
Error!⇒Error!
∴所求圆的方程是
x2+(y+5
2 )2=145
4 .
8.解 由题意知线段 AB 的垂直平分线方程为 3x+2y-15=0,
∴由Error!,
解得Error!
∴圆心 C(7,-3),半径 r=|AC|= 65.
∴所求圆的方程为(x-7)2+(y+3)2=65.
9.D 10.D
11.[0,2]
12.解 能.设过 A(0,1),B(2,1),C(3,4)的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
将 A,B,C 三点的坐标分别代入有
Error!
解得Error!
∴圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5.
将 D(-1,2)代入上式圆的方程,得
(-1-1)2+(2-3)2=4+1=5,
即 D 点坐标适合此圆的方程.
故 A,B,C,D 四点在同一圆上.
13.解 设 P(x,y),则 x2+y2=4.
|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3(x2+y2)-
4y+68=80-4y.
∵-2≤y≤2,
∴72≤|PA|2+|PB|2+|PC|2≤88.
即|PA|2+|PB|2+|PC|2 的最大值为 88,最小值为 72.