§4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
一、基础过关
1．直线 3x＋4y＋12＝0 与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝9 的位置关系是 ( )
A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交
2．直线 l 将圆 x2＋y2－2x－4y＝0 平分，且与直线 x＋2y＝0 垂直，则直线 l 的方程为( )
A．y＝2x B．y＝2x－2
C．y＝1
2x＋3
2 D．y＝1
2x－3
2
3．若圆 C 半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x－3y＝0 和 x 轴都相切，则该圆的标准
方程是 ( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
4．若直线 ax＋by＝1 与圆 x2＋y2＝1 相交，则点 P(a，b)的位置是 ( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．都有可能
5．过原点 O 作圆 x2＋y2－6x－8y＋20＝0 的两条切线，设切点分别为 P、Q，则线段 PQ 的
长为________．
6．已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：y＝x－1 被该圆所截得的弦长为
2 2，则圆 C 的标准方程为____________．
7．已知圆 C 和 y 轴相切，圆心 C 在直线 x－3y＝0 上，且被直线 y＝x 截得的弦长为 2 7，
求圆 C 的方程．
8．已知圆 C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为 1 的直线 l，使 l 被圆 C 截得的弦 AB
满足：以 AB 为直径的圆经过原点．
二、能力提升
9．由直线 y＝x＋1 上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1 引切线，则切线长的最小值为 ( )
A．1 B．2 2 C. 7 D．3
10．圆 x2＋y2＋2x＋4y－3＝0 上到直线 l：x＋y＋1＝0 的距离为 2的点有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
11．由动点 P 向圆 x2＋y2＝1 引两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，且∠APB＝60°，则动
点 P 的轨迹方程为__________________．
12．已知 P 是直线 3x＋4y＋8＝0 上的动点，PA、PB 是圆 C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0 的两条
切线，A、B 是切点．
(1)求四边形 PACB 面积的最小值；
(2)直线上是否存在点 P，使∠BPA＝60°，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明
理由．三、探究与拓展
13．圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：不论 m 取什么数，直线 l 与圆 C 恒交于两点；
(2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度，并求此时 m 的值．答案
1．D 2．A 3．A 4．B
5．4
6．(x－3)2＋y2＝4
7．解 设圆心坐标为(3m，m)，∵圆 C 和 y 轴相切，得圆的半径为 3|m|，∴圆心到直线 y＝
x 的距离为|2m|
2
＝ 2|m|.
由半径、弦心距的关系得 9m2＝7＋2m2，
∴m＝±1.∴所求圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
8．解 假设存在且设 l 为：y＝x＋m，圆 C 化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心 C(1，－2)．
解方程组Error!
得 AB 的中点 N 的坐标 N(－m＋1
2 ，m－1
2 )，
由于以 AB 为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|.
又|AN|＝ |CA|2－|CN|2＝ 9－
(m＋3)2
2
，
|ON|＝ (－m＋1
2
)2＋(m－1
2
)2.
所以 9－
(3＋m)2
2 ＝(－m＋1
2 )2＋(m－1
2 )2，解得 m＝1 或 m＝－4.
所以存在直线 l，方程为 x－y＋1＝0 和 x－y－4＝0，并可以检验，这时 l 与圆是相交于
两点的．
9．C 10．C
11．x2＋y2＝4
12．解 (1)如图，连接 PC，由 P 点在直线 3x＋4y＋8＝0 上，可设 P 点坐标为(x，－2－ 3
4
x)．
圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以 S 四边形 PACB＝2S△PAC＝2×1
2×|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以当|PC|2 最小时，|AP|最小．
因为|PC|2＝(1－x)2＋(1＋2＋3
4x)2＝(5
4x＋1)2＋9.
所以当 x＝－4
5时，|PC| 2min＝9.
所以|AP|min＝ 9－1＝2 2.
即四边形 PACB 面积的最小值为 2 2.
(2)假设直线上存在点 P 满足题意．因为∠APB＝60°，|AC|＝1，
所以|PC|＝2.
设 P(x，y)，则有Error!
整理可得 25x2＋40x＋96＝0，
所以 Δ＝402－4×25×96
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