高中数学人教A版选修1-1学业分层测评6 椭圆及其标准方程 Word版含解析.doc

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．椭圆x2 16 ＋y2 25 ＝1 的焦点坐标是(  ) A．(±4,0)        B．(0，±4) C．(±3,0) D．(0，±3) 【解析】 根据椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在 y 轴上，所 以对应的焦点坐标为(0，±3)，故选 D. 【答案】 D 2．如果方程x2 a2 ＋ y2 a＋6 ＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的 取值范围是(  ) A．a>3 B．a3 或 a3 或－60，得Error! 所以Error!所以 a>3 或－60)， 且可知左焦点为 F′(－2,0)． 从而有Error! 解得Error! 又 a2＝b2＋c2，所以 b2＝12，故椭圆 C 的标准方程为x2 16 ＋y2 12 ＝1. 法二：依题意，可设椭圆 C 的方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)， 则Error!解得 b2＝12 或 b2＝－3(舍去)，从而 a2＝16，所以椭圆 C 的标准方程为x2 16 ＋y2 12 ＝1. 【答案】 x2 16 ＋y2 12 ＝1 8．椭圆x2 9 ＋y2 2 ＝1 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆上．若|PF1|＝4， 则|PF2|＝________，∠F1PF2 的大小为________． 【解析】 由|PF1|＋|PF2|＝6，且|PF1|＝4，知|PF2|＝2. 在△PF1F2 中， cos ∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1||PF2| ＝－1 2 . ∴∠F1PF2＝120°. 【答案】 2 120° 三、解答题 9．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆上一点 P(3,2)到两焦点的距离之和为 8； (2)椭圆两焦点间的距离为 16，且椭圆上某一点到两焦点的距离 分别等于 9 或 15. 【解】 (1)①若焦点在 x 轴上，可设椭圆的标准方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝ 1(a>b>0)． 由题意知 2a＝8，∴a＝4， 又点 P(3,2)在椭圆上， ∴ 9 16 ＋ 4 b2 ＝1，得 b2＝64 7 . ∴椭圆的标准方程为x2 16 ＋y2 64 7 ＝1. ②若焦点在 y 轴上，设椭圆标准方程为 y2 a2 ＋x2 b2 ＝1(a>b>0)． ∵2a＝8，∴a＝4， 又点 P(3,2)在椭圆上， ∴ 4 16 ＋ 9 b2 ＝1，得 b2＝12. ∴椭圆的标准方程为y2 16 ＋x2 12 ＝1. 由①②知椭圆的标准方程为x2 16 ＋y2 64 7 ＝1 或y2 16 ＋x2 12 ＝1. (2)由题意知，2c＝16,2a＝9＋15＝24， ∴a＝12，c＝8，b2＝80. 又焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上， ∴所求方程为 x2 144 ＋y2 80 ＝1 或 y2 144 ＋x2 80 ＝1. 10．已知 B，C 是两个定点，|BC|＝8，且△ABC 的周长为 18， 求这个三角形顶点 A 的轨迹方程． 【解】 以过 B，C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的中点为原点， 建立平面直角坐标系． 由|BC|＝8，可知点 B(－4,0)，C(4,0)． 由|AB|＋|BC|＋|AC|＝18， 得|AB|＋|AC|＝10＞|BC|＝8. 因此，点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与 两个焦点的距离之和为 2a＝10，即 a＝5，且点 A 不能在 x 轴上． 由 a＝5，c＝4，得 b2＝9. 所以点 A 的轨迹方程为x2 25 ＋y2 9 ＝1(y≠0)． [能力提升] 1．已知 P 为椭圆 C 上一点，F1，F2 为椭圆的焦点，且|F1F2|＝ 2 3，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆 C 的标准方程为(  ) A.x2 12 ＋y2 9 ＝1 B.x2 12 ＋y2 9 ＝1 或x2 9 ＋y2 12 ＝1 C.x2 9 ＋y2 12 ＝1 D.x2 48 ＋y2 45 ＝1 或x2 45 ＋y2 48 ＝1 【解析】 由已知 2c＝|F1F2|＝2 3， ∴c＝ 3. ∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4 3， ∴a＝2 3，∴b2＝a2－c2＝9. 故椭圆 C 的标准方程是x2 12 ＋y2 9 ＝1 或x2 9 ＋y2 12 ＝1. 故选 B. 【答案】 B 2．(2016·银川高二检测)已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆x2 4 ＋y2＝ 1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上， 则△ABC 的周长是(  ) A．2 B．4 C．8 D．16 【解析】 设 A 为椭圆的左焦点，而 BC 边过右焦点 F，如 图．可知|BA|＋|BF|＝2a，|CA|＋|CF|＝2a，两式相加得|AB|＋|BF|＋|CA| ＋|CF|＝|AB|＋|AC|＋|BC|＝4a.而椭圆标准方程为x2 4 ＋y2＝1，因此 a＝ 2，故 4a＝8，故选 C. 【答案】 C 3．(2016·苏州高二检测)P 为椭圆 x2 100 ＋y2 64 ＝1 上一点，左、右焦 点分别为 F1，F2，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2 的面积为________． 【解析】 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由椭圆定义，得 r1＋r2＝20.① 由余弦定理，得(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cos 60°， 即 r21＋r22－r1r2＝144，② 由①2－②，得 3r1r2＝256， ∴S△PF1F2＝1 2 r1r2sin 60°＝1 2 ×256 3 × 3 2 ＝64 3 3 . 【答案】 64 3 3 4．(2016·南京高二检测)设 F1，F2 分别是椭圆x2 4 ＋y2＝1 的两焦点， B 为椭圆上的点且坐标为(0，－1)． (1)若 P 是该椭圆上的一个动点，求|PF1→ |·|PF2→ |的最大值； (2)若 C 为椭圆上异于 B 的一点，且BF1→ ＝λCF1→ ，求 λ 的值； (3)设 P 是该椭圆上的一个动点，求△PBF1 的周长的最大值. 【导学号：26160033】 【解】 (1)因为椭圆的方程为x2 4 ＋y2＝1， 所以 a＝2，b＝1，c＝ 3， 即|F1F2|＝2 3， 又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， 所以|PF1|·|PF2|≤(|PF1|＋|PF2| 2 )2＝(4 2 )2＝4， 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2 时取“＝”， 所以|PF1|·|PF2|的最大值为 4，即|PF1→ |·|PF2→ |的最大值为 4. (2)设 C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－ 3，0)，由BF1→ ＝λ CF1→ 得 x0＝ 3(1－λ) λ ，y0＝－1 λ . 又x20 4 ＋y20＝1，所以有 λ2＋6λ－7＝0， 解得 λ＝－7 或 λ＝1，又BF1→ 与CF1→ 方向相反，故 λ＝1 舍去，即 λ ＝－7. (3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|， 所以△PBF1 的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8， 所以当 P 点位于直线 BF2 与椭圆的交点处时，△PBF1 的周长最 大，最大值为 8.