高中数学人教A版选修1-1学业分层测评8 椭圆方程及性质的应用 Word版含解析.doc

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．点 A(a,1)在椭圆x2 4 ＋y2 2 ＝1 的内部，则 a 的取值范围是(  ) A．－ 2＜a＜ 2      B．a＜－ 2或 a＞ 2 C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1 【解析】 ∵点 A(a,1)在椭圆x2 4 ＋y2 2 ＝1 内部， ∴a2 4 ＋1 2 ＜1.∴a2 4 ＜1 2 . 则 a2＜2，∴－ 2＜a＜ 2. 【答案】 A 2．已知直线 y＝kx＋1 和椭圆 x2＋2y2＝1 有公共点，则 k 的取值 范围是(  ) A．k＜－ 2 2 或 k＞ 2 2 B．－ 2 2 ＜k＜ 2 2 C．k≤－ 2 2 或 k≥ 2 2 D．－ 2 2 ≤k≤ 2 2 【解析】 由Error! 得(2k2＋1)x2＋4kx＋1＝0. ∵直线与椭圆有公共点． ∴Δ＝16k2－4(2k2＋1)≥0， 则 k≥ 2 2 或 k≤－ 2 2 . 【答案】 C 3．(2016·重庆高二检测)过椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1 的一个焦点 F 作垂直于 长轴的弦，则此弦长为(  ) A.3 4 B．3 C．2 3 D.8 3 3 【解析】 因为 F(±1,0)，所以过椭圆的焦点 F 且垂直于长轴的 弦与椭圆的交点坐标为( ± 1， ± 3 2)，所以弦长为 3. 【答案】 B 4．直线 y＝x＋1 被椭圆 x2 4 ＋y2 2 ＝1 所截得线段的中点的坐标是 (  ) A.(2 3 ，5 3) B.(4 3 ，7 3) C.(－2 3 ，1 3) D.(－13 2 ，－17 2 ) 【解析】 联立方程Error!消去 y，得 3x2＋4x－2＝0.设交点 A(x1， y1)，B(x2，y2)，中点 M(x0，y0)． ∴x1＋x2＝－4 3 ，x0＝x1＋x2 2 ＝－2 3 ，y0＝x0＋1＝1 3 ， ∴中点坐标为(－2 3 ，1 3). 【答案】 C 5．经过椭圆x2 2 ＋y2＝1 的右焦点作倾斜角为 45°的直线 l，交椭圆 于 A、B 两点，O 为坐标原点，则 OA→ ·OB→ ＝(  ) 【导学号： 26160041】 A．－3 B．－1 3 C．－1 3 或－3 D．±1 3 【解析】 椭圆右焦点为(1,0)， 设 l：y＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 把 y＝x－1 代入x2 2 ＋y2＝1， 得 3x2－4x＝0. ∴A(0，－1)，B(4 3 ，1 3)， ∴OA→ ·OB→ ＝－1 3 . 【答案】 B 二、填空题 6．直线 l 过定点 A(－3,0)，则过点 A 的直线与椭圆x2 9 ＋y2 4 ＝1 的 交点个数为________． 【解析】 ∵A(－3,0)为椭圆长轴一个顶点， ∴当过点 A 作椭圆切线时，直线与椭圆有一个公共点(即切点)； 当过点 A 作与椭圆相交的直线时，二者有两个交点，故填 1 或 2. 【答案】 1 或 2 7．已知动点 P(x，y)在椭圆x2 25 ＋y2 16 ＝1 上，若 A 点坐标为(3,0)， |AM→ |＝1，且 PM→ ·A M→ ＝0，则|PM→ |的最小值是________． 【解析】 易知点 A(3,0)是椭圆的右焦点． ∵PM→ ·A M→ ＝0， ∴AM→ ⊥PM→ . ∴|PM→ |2＝|A P→ |2－|AM→ |2＝|A P→ |2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点 A 的距离最小，故|A P→ |min＝2， ∴|PM→ |min＝ 3. 【答案】  3 8．过椭圆x2 5 ＋y2 4 ＝1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________． 【解析】 由题意知，右焦点坐标为(1,0)，直线的方程为 y＝2(x －1)，将其与x2 5 ＋y2 4 ＝1 联立，消去 y，得 3x2－5x＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝5 3 ，x1x2＝0， 所以|AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 1＋22· (5 3 )2－4 × 0＝5 5 3 . 设原点到直线的距离为 d，则 d＝ |2| 12＋22 ＝ 2 5 . 所以 S△OAB＝1 2 |AB|·d＝1 2 ×5 5 3 × 2 5 ＝5 3 . 【答案】 5 3 三、解答题 9．已知椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1，直线 l：y＝4x＋1 2 ，若椭圆上存在两点 P、Q 关于直线 l 对称，求直线 PQ 的方程． 【解】 法一：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 kPQ＝－1 4 . 设 PQ 所在直线方程为 y＝－x 4 ＋b. 由Error!消去 y，得 13x2－8bx＋16b2－48＝0. ∴Δ＝(－8b)2－4×13×(16b2－48)＞0. 解得 b2＜13 4 ，x1＋x2＝8b 13 ， 设 PQ 中点为 M(x0，y0)，则有 x0＝x1＋x2 2 ＝4b 13 ，y0＝－1 4 ·4b 13 ＋b＝12b 13 . ∵点 M (4b 13 ，12b 13 )在直线 y＝4x＋1 2 上， ∴12b 13 ＝4·4b 13 ＋1 2 ，∴b＝－13 8 . 直线 PQ 的方程为 y＝－1 4 x－13 8 ， 即 2x＋8y＋13＝0. 法二：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， M(x0，y0)是 PQ 的中点． 则有Error!两式相减，得 3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0. ∵x1≠x2，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0， ∴3x0 4y0 ＝－y1－y2 x1－x2 ＝－kPQ. ∵kPQ＝－1 4 ，∴y0＝3x0. 代入直线 y＝4x＋1 2 ， 得 x0＝－1 2 ，y0＝－3 2 ， 则直线 PQ 的方程为 y＋3 2 ＝－1 4(x＋1 2)， 即 2x＋8y＋13＝0. 10．设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋y2 b2 ＝1(0＜b＜1)的左、右焦点， 过 F1 的直线 l 与 E 相交 A，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数 列． (1)求|AB|； (2)若直线 l 的斜率为 1，求 b 的值． 【解】 (1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4， 又 2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝4 3 . (2)直线 l 的方程为 y＝x＋c，其中 c＝ 1－b2. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点坐标满足方程组Error! 化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0. 则由根与系数的关系，得 x1＋x2＝ －2c 1＋b2 ，x1x2＝1－2b2 1＋b2 . 因为直线 AB 的斜率为 1， 所以|AB|＝ 2|x1－x2|， 即4 3 ＝ 2|x1－x2|. 所以(x1＋x2)2－4x1x2＝8 9 ， 即4(1－b2) (1＋b2)2 －4(1－2b2) 1＋b2 ＝ 8b4 (1＋b2)2 ＝8 9 ， 解得 b2＝1 2 或 b2＝－1 4 (舍去)， 又 b＞0，∴b＝ 2 2 . [能力提升] 1．已知椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的左焦点为 F，A(－a,0)，B(0，b) 为椭圆的两个顶点，若点 F 到 AB 的距离为 b 7 ，则椭圆的离心率为 (  ) A.7－ 7 7          B.7－2 7 7 C.1 2 D.4 5 【解析】 直线 AB 的方程是 x －a ＋y b ＝1，即 bx－ay＋ab＝0.因为 点 F 的坐标为(－c,0)，所以|－bc＋ab| a2＋b2 ＝ b 7 ，化简，得 8c2－14ac＋5a2 ＝0，两端同除以 a2，得 8e2－14e＋5＝0，解得 e＝1 2(e＝5 4 舍去). 【答案】 C 2．已知椭圆 C：x2 2 ＋y2＝1 的右焦点为 F，直线 l：x＝2，点 A∈ l，线段 AF 交椭圆 C 于点 B，若 F A→ ＝3F B→ ，则|A F→ |＝(  ) A. 2 B．2 C. 3 D．3 【解析】 设点 A(2，n)，B(x0，y0)． 由椭圆 C：x2 2 ＋y2＝1 知 a2＝2，b2＝1， ∴c2＝1，即 c＝1，∴右焦点 F(1,0)． 由 F A→ ＝3F B→ ，得(1，n)＝3(x0－1，y0)． ∴1＝3(x0－1)且 n＝3y0. ∴x0＝4 3 ，y0＝1 3 n. 将 x0，y0 代入x2 2 ＋y2＝1，得 1 2 ×(4 3 )2＋(1 3n )2＝1.解得 n2＝1， ∴|A F→ |＝ (2－1)2＋n2＝ 1＋1＝ 2. 【答案】 A 3．若直线 y＝kx＋1 与曲线 x＝ 1－4y2有两个不同的交点，则 k 的取值范围是________． 【解析】 由 x＝ 1－4y2，得 x2＋4y2＝1(x≥0)， 又∵直线 y＝kx＋1 过定点(0,1)， 故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在 y 轴右侧的部分有两 个公共点，当直线与椭圆(右侧部分)相切时， k＝－ 3 2 ，则相交时 k＜－ 3 2 . 【答案】 (－∞，－ 3 2 ) 4．设椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的右焦点为 F，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60°，A F→ ＝2F B→ . (1)求椭圆 C 的离心率； 【导学号：26160042】 (2)如果|AB|＝15 4 ，求椭圆 C 的标准方程． 【解】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中 y10. (1)直线 l 的方程为 y＝ 3(x－c)， 其中 c＝ a2－b2. 联立，得Error! 消去 x，得(3a2＋b2)y2＋2 3b2cy－3b4＝0. 解得 y1＝－ 3b2(c＋2a) 3a2＋b2 ，y2＝－ 3b2(c－2a) 3a2＋b2 因为 A F→ ＝2F B→ ，所以－y1＝2y2， 即 3b2(c＋2a) 3a2＋b2 ＝2·－ 3b2(c－2a) 3a2＋b2 ， 得离心率 e＝c a ＝2 3 . (2)因为|AB|＝ 1＋1 3 |y2－y1|， 所以 2 3 ·4 3ab2 3a2＋b2 ＝15 4 . 由c a ＝2 3 ，得 b＝ 5 3 a，所以 5 4 a＝15 4 ，所以 a＝3，b＝ 5. 所以椭圆 C 的标准方程为x2 9 ＋y2 5 ＝1.