高中数学人教A版选修1-1学业分层测评13 变化率问题 导数的概念 Word版含解析.doc

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．如果函数 y＝ax＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为 3，则 a＝ (  ) A．－3          B．2 C．3 D．－2 【解析】 根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝(2a＋b)－(a＋b) 2－1 ＝ a＝3.故选 C. 【答案】 C 2．若函数 f(x)＝－x 2 ＋10 的图象上一点 (3 2 ，31 4 )及邻近一点 (3 2 ＋Δx，31 4 ＋Δy)，则Δy Δx ＝(  ) A．3 B．－3 C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3 【解析】 ∵Δy＝f(3 2 ＋Δx)－f(3 2 )＝－3Δx－(Δx)2， ∴Δy Δx ＝－3Δx－(Δx)2 Δx ＝－3－Δx.故选 D. 【答案】 D 3．若质点 A 按照规律 s＝3t 2 运动，则在 t＝3 时的瞬时速度为 (  ) A．6 B．18 C．54 D．81 【解析】 因为 Δs Δt ＝3(3＋Δt)2－3 × 32 Δt ＝18Δt＋3(Δt)2 Δt ＝18 ＋ 3Δt，所以lim Δt→0 Δs Δt ＝18. 【答案】 B 4.如图 3－1－1，函数 y＝f(x)在 A，B 两点间的平均变化率是(  ) 图 3－1－1 A．1 B．－1 C．2 D．－2 【解析】 Δy Δx ＝f(3)－f(1) 3－1 ＝1－3 2 ＝－1. 【答案】 B 5．已知函数 f(x)＝13－8x＋ 2x2，且 f′(x0)＝4，则 x0 的值为(  ) A．0 B．3 C．3 2 D．6 2 【解析】 f′(x0)＝ lim Δx→0 Δy Δx ＝ lim Δx→0 [13－8(x0＋Δx)＋ 2(x0＋Δx)2]－(13－8x0＋ 2x20) Δx ＝ lim Δx→0 －8Δx＋2 2x0Δx＋ 2(Δx)2 Δx ＝ lim Δx→0 (－8＋2 2x0＋ 2Δx) ＝－8＋2 2x0＝4，所以 x0＝3 2. 【答案】 C 二、填空题 6．一物体的运动方程为 s＝7t2＋8，则其在 t＝________时的瞬 时速度为 1. 【解析】 Δs Δt ＝7(t0＋Δt)2＋8－(7t20＋8) Δt ＝7Δt＋14t0， 当lim (7Δt＋14t0)＝1 时，t0＝ 1 14 . 【答案】  1 14 7．已知曲线 y＝1 x －1 上两点 A(2，－1 2)，B(2＋Δx，－1 2 ＋Δy)， 当 Δx＝1 时，割线 AB 的斜率为________． 【解析】 Δy＝( 1 2＋Δx －1)－(1 2 －1) ＝ 1 2＋Δx －1 2 ＝2－(2＋Δx) 2(2＋Δx) ＝ －Δx 2(2＋Δx)， ∴Δy Δx ＝ －Δx 2(2＋Δx) Δx ＝－ 1 2(2＋Δx)， 即 k＝Δy Δx ＝－ 1 2(2＋Δx). ∴当 Δx＝1 时，k＝－ 1 2 × (2＋1)＝－1 6 . 【答案】 －1 6 8．已知函数 f(x)＝1 x ，则 f′(2)＝________. 【解析】 lim f(2＋Δx)－f(2) Δx ＝lim －Δx 2(2＋Δx) Δx ＝lim －1 2(2＋Δx)＝－1 4 . 【答案】 －1 4 三、解答题 9．求 y＝x2＋1 x ＋5 在 x＝2 处的导数． 【解】 ∵Δy＝(2＋Δx)2＋ 1 2＋Δx ＋5－(22＋1 2 ＋5) ＝4Δx＋(Δx)2＋ －Δx 2(2＋Δx)， ∴Δy Δx ＝4＋Δx－ 1 4＋2Δx ， ∴y′|x＝2＝ lim Δx→0 Δy Δx ＝ lim Δx→0 (4＋Δx－ 1 4＋2Δx) ＝4＋0－ 1 4＋2 × 0 ＝15 4 . 10．若函数 f(x)＝－x2＋x 在[2,2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不 大于－1，求 Δx 的范围. 【导学号：26160069】 【解】 因为函数 f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f(2＋Δx)－f(2) Δx ＝－(2＋Δx)2＋(2＋Δx)－(－4＋2) Δx ＝－4Δx＋Δx－(Δx)2 Δx ＝－3－Δx， 所以由－3－Δx≤－1，得 Δx≥－2. 又因为 Δx＞0， 即 Δx 的取值范围是(0，＋∞)． [能力提升] 1．函数 y＝x2 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率为 k1，在 x0－Δx 到 x0 之间的平均变化率为 k2，则 k1 与 k2 的大小关系为(  ) A．k1>k2 B．k1