§4.3 空间直角坐标系
4.3.1 空间直角坐标系
一、基础过关
1．点 P(5,0，－2)在空间直角坐标系中的位置是 ( )
A．y 轴上 B．xOy 平面上
C．xOz 平面上 D．x 轴上
2．设 y∈R，则点 P(1，y,2)的集合为 ( )
A．垂直于 xOz 平面的一条直线
B．平行于 xOz 平面的一条直线
C．垂直于 y 轴的一个平面
D．平行于 y 轴的一个平面
3．已知空间直角坐标系中有一点 M(x，y，z)满足 x>y>z，且 x＋y＋z＝0，则 M 点的位置是
( )
A．一定在 xOy 平面上
B．一定在 yOz 平面上
C．一定在 xOz 平面上
D．可能在 xOz 平面上
4．在空间直角坐标系中，点 P(3,4,5)关于 yOz 平面的对称点的坐标为 ( )
A．(－3,4,5) B．(－3，－4,5)
C．(3，－4，－5) D．(－3,4，－5)
5．在空间直角坐标系中，点 A(1,2，－3)关于 x 轴的对称点为________．
6．点 P(－3,2,1)关于 Q(1,2，－3)的对称点 M 的坐标是________．
7．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1，E、F、G 分别是 DD1、BD、BB1 的中点，且正方体棱长
为 1.请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及 E、F、G 的坐标．
8. 如图所示，长方体 ABCD－A1B1C1D1 的对称中心为坐标原点 O，交于
同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点 A(－2，－3，
－1)，求其它 7 个顶点的坐标．
二、能力提升
9．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是 ( )
A．关于 x 轴对称 B．关于 yOz 平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
10．如图，在正方体 ABCD—A′B′C′D′中，棱长为 1，|BP|＝1
3|BD′|，则 P 点的坐标为
( )A.(1
3，1
3，1
3) B.(2
3，2
3，2
3) C.(1
3，2
3，1
3) D.(2
3，2
3，1
3)
11．连接平面上两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x1＋x2
2 ，y1＋y2
2 )，
那么，已知空间中两点 P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)，线段 P1P2 的中点 M 的坐标为_________．
12. 如图所示，AF、DE 分别是⊙O、⊙O1 的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD＝8.BC
是⊙O 的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，
求出点 A、B、C、D、E、F 的坐标．
三、探究与拓展
13. 如图所示，四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∠BCD＝
60°，E 是 CD 的中点，PA⊥底面 ABCD，PA＝2.试建立适当的空间直角坐标系，求出
A、B、C、D、P、E 的坐标．答案
1．C 2．A 3．D 4．A
5.(1，－2,3) 6.(5,2，－7)
7 ．解 如图所示，建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0) ，B(1,1,0) ，
C(0,1,0) ，D(0,0,0) ，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E(0，0，1
2)， F
(1
2，1
2，0)，G(1，1，1
2).
8．解 长方体的对称中心为坐标原点 O，因为顶点坐标 A(－2，－3，－1)，所以 A 关于原
点的对称点 C1 的坐标为(2,3,1)．
又因为 C 与 C1 关于坐标平面 xOy 对称，
所以 C(2,3，－1)．
而 A1 与 C 关于原点对称，所以 A1(－2，－3,1)．
又因为 C 与 D 关于坐标平面 xOz 对称，所以 D(2，－3，－1)．
因为 B 与 C 关于坐标平面 yOz 对称，所以 B(－2,3，－1)．
B1 与 B 关于坐标平面 xOy 对称，所以 B1(－2,3,1)．
同理 D1(2，－3,1)．
综上可知长方体的其它 7 个顶点坐标分别为：C1(2,3,1)，C(2,3，－1)，A1(－2，－3,1)，
B(－2,3，－1)，B1(－2,3,1)，D(2，－3，－1)，D1(2，－3,1)．
9．C 10．D
11.(x1＋x2
2 ，y1＋y2
2 ，z1＋z2
2 )
12．解 因为 AD 与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以 OE 与两圆所在的平面也都垂
直．
又因为 AB＝AC＝6，BC 是圆 O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且 AF⊥BC，BC
＝6 2.
以 O 为原点，OB、OF、OE 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如
图所示的空间直角坐标系，则原点 O 及 A、B、C、D、E、F 各个点
的坐标分别为 O(0,0,0)、A(0，－3 2，0)、B(3 2，0,0)、C(－3 2，
0,0)、D(0，－3 2，8)、E(0,0,8)、F(0,3 2，0)．
13．解 如图所示，以 A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴，AP 所在直
线为 z 轴，过点 A 与 xAz 平面垂直的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的
坐标分别是 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(3
2， 3
2 ，0)，D(1
2， 3
2 ，0)，P(0,0,2)，
E(1， 3
2 ，0)．
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