1.2.3 空间几何体的直观图
一、基础过关
1．下列结论：
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
其中正确的有 ( )
A．①② B．①④ C．③④ D．①③④
2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC 时，若∠A 的两边分别平行于 x 轴、y 轴，则在直
观图中∠A′等于 ( )
A．45° B．135° C．90° D．45°或 135°
3．下面每个选项的 2 个边长为 1 的正△ABC 的直观图不是全等三角形的一组是 ( )
4．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的 ( )
5．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论中，正确的是______________．(填序号)
6．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知 A′C′＝3，B′C′＝2，则 AB 边
上的中线的实际长度为____________．
7．如图是一梯形 OABC 的直观图，其直观图面积为 S.求梯形 OABC 的面积．
8．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
二、能力提升
9．如图，正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm，它是水平放置的一
个平面图形的直观图，则原图的周长是 ( )
A．8 cm B．6 cm
C．2(1＋ 3) cm D．2(1＋ 2) cm
10．如图所示的是水平放置的△ABC 在直角坐标系的直观图，其中
D′是 A′C′的中点，且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段
BD 的长相等的线段有________条．
11．如图所示，为一个水平放置的正方形 ABCO，它在直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为
(2,2) ， 则 在 用 斜二 测 画 法 画 出 的 正 方 形的 直 观 图 中 ， 顶 点 B′到 x′ 轴 的 距 离 为
________．
12．如图所示，梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，
试画出它的直观图．
三、探究与拓展
13．在水平放置的平面 α 内有一个边长为 1 的正方形 A′B′C′D′，
如图，其中的对角线 A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四
边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求
出其面积．
答案
1．B 2.D 3.C 4.C 5.①② 6.2.5
7．解 设 O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为 2h.
过 C′作 C′D′⊥O′A′于 D′，
则 C′D′＝ 2
2 h.
由题意知 1
2C′D′(C′B′＋O′A′)＝S.
即 2
4 h(C′B′＋O′A′)＝S.
又原直角梯形面积为 S′＝1
2·2h(C′B′＋O′A′)
＝h(C′B′＋O′A′)＝ 4S
2
＝2 2S.
所以梯形 OABC 的面积为 2 2S.
8．解 (1)作出长方体的直观图 ABCD－A1B1C1D1，如图 a 所示；
(2)再以上底面 A1B1C1D1 的对角线交点为原点建立 x′，y′，z′轴，如图 b 所示，在 z′
上取点 V′，使得 V′O′的长度为棱锥的高，连接 V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得
到四棱锥的直观图，如图 b；
(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图 c.
9．A 10.2 11.
2
2
12．解 画法：步骤：
(1)如图 a 所示，在梯形 ABCD 中，
以边 AB 所在的直线为 x 轴，点 A 为原点，
建立平面直角坐标系 xOy.如图 b 所示，
画出对应的 x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图 a 中，过 D 点作 DE⊥x 轴，垂足为 E.在图 b 中，
在 x′轴上取 A′B′＝AB＝4 cm，
A′E′＝AE＝3
2 3≈2.598 cm；
过点 E′ 作 E′D′∥y′ 轴，使 E′D′ ＝1
2ED ＝1
2×3
2＝0.75 cm ，再过点 D′ 作
D′C′∥x′轴，且使 D′C′＝DC＝2 cm.
(3)连接 A′D′、B′C′，并擦去 x′轴与 y′轴及其他一些辅助线，如图 c 所示，则四
边形 A′B′C′D′就是所求作的直观图．
13．解 四边形 ABCD 的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′
＝45°，
∴在原四边形 ABCD 中，
DA⊥AC，AC⊥BC，
∵DA＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝ 2，
∴S 四边形 ABCD＝AC·AD＝2 2.
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