学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．下列是函数 f(x)在[a，b]上的图象，则 f(x)在(a，b)上无最大值
的是( )
【解析】 在开区间(a，b)上，只有 D 选项中的函数 f(x)无最大
值．
【答案】 D
2．函数 f(x)＝2 x＋1
x
，x∈(0,5]的最小值为( )
A．2 B．3
C.17
4
D．2 2＋1
2
【解析】 由 f′(x)＝ 1
x
－1
x2
＝
x
3
2
－1
x2
＝0，得 x＝1，
且 x∈(0,1]时，f′(x)0，
∴x＝1 时，f(x)最小，最小值为 f(1)＝3.
【答案】 B
3．函数 f(x)＝x3－3x2＋2 在区间[－1,1]上的最大值为 M，最小值
为 m，则 M－m 的值为( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
【解析】 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2.
因为 f(0)＝2，f(－1)＝－2，f(1)＝0，
所以 M＝2，m＝－2.
所以 M－m＝4.
【答案】 C
4．函数 f(x)＝x3－3ax－a 在(0,1)内有最小值，则 a 的取值范围为
( )
A．0≤a＜1 B．0＜a＜1
C．－1＜a＜1 D．0＜a＜1
2
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－3a，令 f′(x)＝0 得 x2＝a.
∴x＝± a.
又∵f(x)在(0,1)内有最小值，
∴0＜ a＜1，∴0＜a＜1.故选 B.
【答案】 B
5．已知函数 f(x)＝ax3＋c，且 f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值
为 20，则 c 的值为( )
A．1 B．4
C．－1 D．0
【解析】 ∵f′(x)＝3ax2，
∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2.
当 x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2＞0，即 f(x)在[1,2]上是增函数，
∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，
∴c＝4.
【答案】 B
二、填空题
6．函数 f(x)＝3x＋sin x 在 x∈[0，π]上的最小值为________．
【解析】 f′(x)＝3xln 3＋cos x.
∵x∈[0，π]时，3xln 3＞1，－1≤cos x≤1，
∴f′(x)＞0.
∴f(x)递增，∴f(x)min＝f(0)＝1.
【答案】 1
7．已知函数 f(x)＝x3－3
2
ax2＋b(a，b 为实数，且 a＞1)在区间[－
1,1]上的最大值为 1，最小值为－1，则 a＝________，b＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)，
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝a.
∵a＞1，
∴当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x －1 (－1,0) 0 (0,1) 1
f′(x) ＋ 0 －
f(x)
－1－3
2
a
＋b
极大
值 b
1－3
2
a
＋b
由题意得 b＝1.
f(－1)＝－3a
2
，f(1)＝2－3a
2
，
f(－1)＜f(1)，
∴－3a
2
＝－1，∴a＝2
3
.
【答案】 2
3
1
8．设函数 f(x)＝ax 3－3x＋1(x∈R)，若对任意的 x∈(0,1]都有
f(x)≥0 成 立 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为 ________. 【 导 学 号 ：
26160094】
【解析】 ∵x∈(0,1]，
∴f(x)≥0 可化为 a≥3
x2
－1
x3.
设 g(x)＝3
x2
－1
x3
，则 g′(x)＝3(1－2x)
x4 .
令 g′(x)＝0，得 x＝1
2
.
当 0
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