高中数学人教A版选修1-1学业分层测评19 生活中的优化问题举例 Word版含解析.doc

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．做一个容积为 256 m3 的方底无盖水箱，所用材料最省时，它 的高为(  ) A．6 m         B．8 m C．4 m D．2 m 【解析】 设底面边长为 x m，高为 h m，则有 x2h＝256，所以 h ＝256 x2 .所用材料的面积设为 S m2，则有 S＝4x·h＋x 2＝4x·256 x2 ＋x2＝ 256 × 4 x ＋x2.S′＝2x－256 × 4 x2 ，令 S′＝0 得 x＝8，因此 h＝256 64 ＝ 4(m)． 【答案】 C 2．某公司生产一种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位 的产品，成本增加 100 元，若总收入 R 与年产量 x(0≤x≤390)的关系 是 R(x)＝－ x3 900 ＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产 品单位数是(  ) A．150 B．200 C．250 D．300 【解析】 由题意可得总利润 P(x)＝－ x3 900 ＋300x－20 000， 0≤x≤390. 由 P′(x)＝0，得 x＝300. 当 0≤x＜300 时，P′(x)＞0；当 300≤x≤390 时，P′(x)＜0， 所以当 x＝300 时，P(x)最大．故选 D. 【答案】 D 3．某工厂要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场，一边可 以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙壁所用的材 料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)(  ) A．32,16 B．30,15 C．40,20 D．36,18 【解析】 要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短． 设场地宽为 x 米，则长为512 x 米， 因此新墙总长 L＝2x＋512 x (x＞0)， 则 L′＝2－512 x2 . 令 L′＝0，得 x＝16 或 x＝－16(舍去)． 此时长为512 16 ＝32(米)，可使 L 最小． 【答案】 A 4．某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品．若该商 品零售价定为 P 元，销售量为 Q 件，且销量 Q 与零售价 P 有如下关 系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进 货支出)(  ) A．30 元 B．60 元 C．28 000 元 D．23 000 元 【解析】 毛利润为(P－20)Q， 即 f(P)＝(P－20)(8 300－170P－P2)， f′(P)＝－3P2－300P＋11 700 ＝－3(P＋130)(P－30)． 令 f′(P)＝0，得 P＝30 或 P＝－130(舍去)． 又 P∈[20，＋∞)，故 f(P)max＝f(P)极大值， 故当 P＝30 时，毛利润最大， ∴f(P)max＝f(30)＝23 000(元)． 【答案】 D 5．三棱锥 O－ABC 中，OA，OB，OC 两两垂直，OC＝2x，OA＝ x，OB＝y，且 x＋y＝3，则三棱锥 O－ABC 体积的最大值为(  ) A．4 B．8 C.4 3 D.8 3 【解析】 V＝1 3 ×2x2 2 ·y＝x2y 3 ＝x2(3－x) 3 ＝3x2－x3 3 (0＜x＜3)， V′＝6x－3x2 3 ＝2x－x2＝x(2－x)． 令 V′＝0，得 x＝2 或 x＝0(舍去)． ∴x＝2 时，V 最大为4 3 . 【答案】 C 二、填空题 6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27π，且用料最 省，则圆柱的底面半径为________． 【解析】 设圆柱的底面半径为 R，母线长为 L，则 V＝πR2L＝ 27π，所以 L＝27 R2.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S表＝πR2＋ 2πRL＝πR2＋2π·27 R ，令 S′表＝2πR－54π R2 ＝0，得 R＝3，即当 R＝3 时， S 表最小． 【答案】 3 7．已知某矩形广场面积为 4 万平方米，则其周长至少为________ 米. 【导学号：26160099】 【解析】 设广场的长为 x 米，则宽为40 000 x 米，于是其周长为 y＝2(x＋40 000 x )(x>0)，所以 y′＝2(1－40 000 x2 )，令 y′＝0，解得 x＝ 200(x＝－200 舍去)，这时 y＝800.当 00， x>60 时，L′(x)0 和 x>0，得 0