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课时提升作业 二十一
导数的运算法则
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.关于 x 的函数 f(x)=cosx+sina,则 f′(0)等于 ( )
A.0 B.-1 C.1 D.±1
【解析】选 A.f′(x)=-sinx,f′(0)=0.
2.(2016·临沂高二检测)若曲线 f(x)=xsinx+1 在 x= 处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂
直,则实数 a 等于 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】选 D.f′(x)=sinx+xcosx,f′ =1,
由题意得- =-1,
即 a=2.
3.(2016·德州高二检测)函数 y= (a>0)在 x=x0 处的导数为 0,那么 x0 等
于 ( )
A.a B.±a C.-a D.a2
【解析】选 B.y′=
= = .
由 =0,得 x0=±a.
4.已知直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点(1,3),则 b 的值为 ( )
A.3 B.-3 C.5 D.-5
【解析】选 A.由点(1,3)在直线 y=kx+1 上,得 k=2,
由点(1,3)在曲线 y=x3+ax+b 上,得 1+a+b=3,
即 a+b=2,
y′=3x2+a,
由题意得 3×12+a=2.
所以 a=-1.
所以 b=3.
5.(2016·武汉高二检测)正弦曲线 y=sinx 上一点 P,以点 P 为切点的切线为直线 l,则直线
l 的倾斜角的范围是 ( )
A. ∪ B.[0,π)
C. D. ∪
【解析】选 A.因为(sinx)′=cosx,
因为 kl=cosx,所以-1≤kl≤1,
所以αl∈ ∪ .
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.(2016·滨州高二检测)在曲线 y= 上求一点 P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为 135
°,则 P 点坐标为 .
【解析】设点 P(x0,y0),y′= ′=(4x-2)′=-8x-3,
所以 tan135°=-1=-8 ,
所以 x0=2.所以 y0=1.所以 P 点坐标为(2,1).
答案:(2,1)
7.(2016·天津高考)已知函数 f(x)=(2x+1)e x,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(0)的值
为 .
【解题指南】求出 f′(x),代入 x=0 即可.
【解析】因为 f′(x)=(2x+3)ex,所以 f′(0)=3.
答案:3
8.曲线 y=xlnx 在点(e,e)处的切线方程为 .
【解析】因为 y′=lnx+1,y′ =2,
所以切线方程为 y-e=2(x-e),即 2x-y-e=0.
答案:2x-y-e=0
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 过点(1,5),其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,求 f(x)的解
析式.
【解题指南】本题主要考查利用导数求解参数问题,观察 y=f′(x)的图象可知 y=f′(x)过
点(1,0),(2,0),即 f′(1)=0,f′(2)=0.
【解析】f′(x)=3ax2+2bx+c,
又 f′(1)=0,f′(2)=0,f(1)=5,故
解得 a=2,b=-9,c=12.
故 f(x)的解析式是 f(x)=2x3-9x2+12x.
10.已知函数 f(x)= 的图象在点 M(-1,f(-1))处的切线的方程为 x+2y+5=0,求函数的解
析式.
【解析】由于(-1,f(-1))在切线上,
所以-1+2f(-1)+5=0,所以 f(-1)=-2.
因为 f′(x)= ,
所以
解得 a=2,b=3(因为 b+1≠0,所以 b=-1 舍去).
故 f(x)= .
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.(2016·临沂高二检测)已知函数 f(x)=x3+(b-|a|)x2+ (a2-4b)x 是奇函数,则
f′(0)的最小值是 ( )
A.-4 B.0 C.1 D.4
【解析】选 A.由 f(x)是奇函数,
得 b-|a|=0,即 b=|a|,
所以 f(x)=x3+(b2-4b)x(b≥0),
f′(x)=3x2+(b2-4b),f′(0)=b2-4b=(b-2)2-4,
当 b=2 时,f′(0)取最小值-4.
2.(2016·广州高二检测)已知 f(x)= x2+cosx,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(x)的大致图
象是 ( )
【解析】选 A.因为 f(x)= x2+cosx,所以 f′(x)= -sinx.又因为 f′(-x)=
-sin(-x)=- =-f′(x),
故 f′(x)为奇函数,故函数 f′(x)的图象关于原点对称,排除 B、D,又因为
f′ = × -sin = -