2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版） 第01讲-集合（解析版）

第 01 讲 集合 一、 考情分析 1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语 言的基础上，用符号语言刻画集合； 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含 义； 3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个 子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的 基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 二、 知识梳理 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系 文字语言 符号语言 相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 A＝B 子集 集合 A 中任意一个元素均为集合 B 中的元素 A⊆B集合间的 基本关系 真子集 集合 A 中任意一个元素均为集合 B 中的元素，且集 合 B 中至少有一个元素不是集合 A 中的元素 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为 U，则集合 A 的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或 x∈B} {x|x∈A，且 x∈B} {x|x∈U，且 x∉A} BA ⊂≠4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(∁UA)＝ ，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. [方法技巧] 1.若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，真子集有 2n－1 个. 2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. 3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 三、 经典例题 考点一　集合的基本概念 【例 1-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合 ，若 中只有一个元素，则实数 的值为（ ） A．0 B．0 或 C．0 或 2 D．2 【答案】C 【解析】若 中只有一个元素，则只有一个实数满足 ， 即抛物线 与 轴只有一个交点， ∴ ，∴ 或 2. 故选：C 【例 1-2】（2020·海南省高三月考）若 S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则 S 的非空真 子集个数是（ ） A．62 B．32 C．64 D．30 【答案】D 【解析】因为“我和我的祖国”中的所有字组成的集合 S 一共有 5 个元素， 所以 S 的非空真子集个数是 个. 故选：D 规律方法　1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集， 还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义. ∅ ∅ ∅ ∅ { }2 2 2 0A x x ax a= + + ≤ A a 2− A 2 2 2 0x ax a+ + ≤ 2 2 2y x ax a= + + x 24 8 0a a= − =△ 0a = 52 2 30− =2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是 否满足互异性. 考点二　集合间的基本关系 【例 2-1】（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合 ，则集合 真子 集的个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由 ，得 所以集合 的真子集个数为 个. 故选：C 【例 2-2】（2020·全国高三月考（文））已知集合 且 ，则 的非空真子集的个数为( ) A．30 B．31 C．62 D．63 【答案】A 【解析】因为集合 且 ， 所以 的非空真子集的个数为 . 故选：A 【例 2-3】（2020·北京高三月考）已知集合 A={-2，3，1}，集合 B={3，m²}.若 B A，则实数 m 的 取值集合为（ ） A．{1} B．{ } C．{1，-1} D．{ ，- } 【答案】C 【解析】集合 A={-2，3，1}，集合 B={3，m²}.若 B A 则 或 ，解得 故选： 规律方法　1.若 B⊆A，应分 B＝ 和 B≠ 两种情况讨论. | 03 xA x Z x  = ∈ ≤ +  A | 03 xA x Z x  = ∈ ≤ +  { }| 3 0 { 2, 1,0}A x Z x= ∈ − < ≤ = − − A 32 1 7− = { | 6A x x= < }*Nx∈ A { | 6A x x= < } { }*N 1,2,3,4,5x∈ = A 52 2 30− = ⊆ 3 3 3 ⊆ 2 1m = 2 2m = − 1m = ± C ∅ ∅2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系， 进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求 解. 考点三　集合的运算　 【例 3-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【解析】由题意 或 ，所以 . 故选：A 【例 3-2】（2020·安徽省高一月考）已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解不等式 ，得 或 ； 解不等式 ，得 ，解得 . ， ，则 ， 因此， ，故选：C. 规律方法　1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运 算. 2.注意数形结合思想的应用. (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助 Venn 图求解. (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心. { }| 1 5A x x= − ≤ ≤ { }2| 2 3B x x x= − > A B = 5}|3{x x< ≤ { | 1 5}x x− ≤ ≤ { | 1x x < − 3}x > R | | 1 B x x= < − 3}x > { | 3 5}A B x x= < ≤ { }2 2 3 0A x x x= − − > ( ){ }lg 1 1B x x= + ≤ ( )R A B = { }1 3x x− ≤ < { }1 9x x− ≤ ≤ { }1 3x x− < ≤ { }1 9x x− < < 2 2 3 0x x− − > 1x < − 3x > ( )lg 1 1x + ≤ 0 1 10x< + ≤ 1 9x− < ≤ { }1 3A x x x∴ = − 或 { }1 9B x x= − < ≤ { }1 3R A x x= − ≤ ≤ ( ) { }1 3R A B x x∩ = − < ≤(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定 义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合， 是解决这类问题的突破口. [思维升华] 1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要 重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中 参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到. 3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助 Venn 图.这是数形结合思想的又一体现. [易错防范] 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化 简. 2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系. 4.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时 要特别注意端点是实心还是空心. 四、 课时作业 1．（2020·全国高三月考（理））已知集合 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，解得 ，即 ， ， . 故选：B. 2．（2020·内蒙古自治区高三二模（文））已知集合 ， 则 （ ） A． B． { }2| 4M x x=  { 2, 1,0,1,2}N = − − M N∩ = ∅ N M⊆ { 1,0,1}M N∩ = − M N = R  2 4x ≤ 2 2x−   { | 2 2}M x x= −   { 2, 1,0,1,2}N = − − N M∴ ⊆ 1| 2A x x = < −   { | 1 0}B x x= − < < A B = { | 0}x x < 1| 2x xì üï ïï ï − 1| 2A x x = < −   { | 1 0}B x x= − < < A B = 1| 1 2x x − < < −   2 6( , ) | 3 x yA x y x y + =  =   − =  { 3, 0}x y= = {(3,0)} {3,0} {0,3} 2 6 3 x y x y + =  − = 3 0 x y =  = {(3,0)}A = 1| 2 A x y x  = = −  { 2, 1,0,1,2,3}B = − − ( )A B =R  { 2, 1,0,1,2}− − {0,1,2,3} {1,2,3} {2,3} 1| 2 A x y x  = = −  ( ,2)= −∞ [2, )R A = +∞ ( ) {2,3}R A B∩ = { }2 3 2 0M x x x= + + > 1= 42 x N x     ≤      M N =A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，解得： 或 . 或 . ，解得： ，即 . . 所以 . 故选：B 6．（2020·福建省高三月考（文））已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ， ，所以 ， 故选：D. 7．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三月考（文））设函数 的定义域为 A， 的定义域为 B， ，则 a 的取值范围是________． 【答案】 【解析】由 ，可得 ， ， 由 ，可得 或 ． 所以 ， ， 或 ， 或 ． 故答案为： 8．（2020·高三月考）已知集合 ， ，则 ______ { }2x x ≥ − { }1x x > − { }2x x ≤ − R 2 3 2 0 ( 2)( 1) 0x x x x+ + > ⇒ + + > 1x > − 2x < − { | 1M x x= > − 2}x < − 21 4 2 22 x x−  ≤ ⇒ ≤   2x− ≤ 2x ≥ − { | 2}N x x= ≥ − { }1M N x x∩ = > − { | 1}A x y x= = + { | lg( 1)}B y y x= = − A B = [ 1, )− +∞ (1, )+∞ [0, )+∞ R { | 1}A x x= − B R= A B R= 2( ) lg( 1)1f x x = −+ 2( ) ( ) 1g x x a= − − A B⊆ ( ] [ ), 2 2,−∞ − +∞ 2 1 01x − >+ 1 1x− < < { }1 1A x x∴ = − < < ( )2 1 0x a− − ≥ 1x a− ≥ 1x a− ≤ − { | 1B x x a= ≥ + ≤或x a- 1} A B⊆ 1 1a∴− ≥ + 1 1a≤ − 2∴ ≤ −a 2a ≥ ( ] [ ), 2 2,−∞ − +∞ { | 0 2}A x x= < < { | 1}B x x= > A B =【答案】 【解析】因为集合 ， ， 所以 . 故答案为： 9．（2020·北京高三月考）对于集合 ，给出如下三个结论： ①如果 ，那么 ； ②若 ，对于 ，则有 ； ③如果 ， ，那么 . ④如果 ， ，那么 其中，正确结论的序号是__________. 【答案】①③ 【解析】对①：对 ， 总是有 ， ，故 ，则①正确； 对② ，若 ，则存在 ，使得 ， 因为当 一个是偶数，一个是奇数时， 是奇数， 也是奇数，故 也是奇数， 而显然 是偶数，故 ，故 ，故②错误； 对③如果 ， ， 不妨设 ， 则 ， 故 ，故③正确； 对④同理，设 ， { |1 2}x x< < { | 0 2}A x x= < < { | 1}B x x= > { |1 2}A B x x= < { }( , ) 1B x y xy x y= + = + A B a a 2 a 2 2+ B 1xy x y+ = + ( )( )1 1 0x y− − = 1x = 1y = A x y a+ = A B AC 22.5° tan 22.5 2 1ACk = ° = − AC ( )2 1y x= − ( )1, 2 1A − 2a = ( )2 1,1C + 2 2a = +11．（2020·全国高三一模（理））已知集合 ，集合 . （1）求集合 ； （2）若 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由 ，即 得 或 ， 所以集合 或 . （2）集合 ， 由 得 或 ，解得 或 ， 所以实数 的取值范围为 . 12．（2020·全国高三其他（文））已知集合 ， . （1）若 ，则 ； （2）若 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）若 ，则 ， 依题意 ， 故 ； （2）因为 ，故 ； 若 ，即 时， ，符合题意； 2 1| 11  − = = − +   xA x y x { | 1 2}= − +B x x a  A B A⊆ a { | 1 2}= < − 或A x x x ( , 3] (3, )−∞ − +∞ 2 1 1 01 − −+ x x  2 01 x x − +  1x < − 2x ≥ { | 1A x x= < − 2}x { | 1 2} { | 1 2 }= − + = − − −B x x a x a x a    B A⊆ 2 1− < −a 1 2− − a 3a > 3a − a ( , 3] (3, )−∞ − +∞ ( ){ }2| log 3 3A x x= + ≤ { }| 2 1 3B x m x m= − < ≤ + 3m = A B A B B= m { }| 3 6x x− < ≤ [ ] [ )1,2 4,− +∞ 3m = { }| 5 6B x x= < ≤ ( ){ } ( ){ }2 2 2| log 3 3 | log 3 log 8A x x x x= + ≤ = + ≤ { }| 3 5x x= − < ≤ { }| 3 6A B x x= − < ≤ A B B= B A⊆ 2 1 3m m− ≥ + 4m≥ B = ∅若 ，即 时， ， 解得 ； 综上所述，实数 的取值范围为 2 1 3m m− < + 4m < 2 1 3 3 5 m m − ≥ −  + ≤ 1 2m− ≤ ≤ m