2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版） 第02讲-常用逻辑用语（解析版）

第 02 讲 常用逻辑用语 一、 考情分析 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充 分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要 条件的关系； 2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义； 3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对存在性命题进行否定. 二、 知识梳理 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 p⇒q 且 q p p 是 q 的必要不充分条件 p q 且 q⇒p p 是 q 的充要条件 p⇔q p 是 q 的既不充分也不必要条件 p q 且 q p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符 号“∀”表示. (2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部 分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 3.全称命题和存在性命题(命题 p 的否定记为 p，读作“非 p”) 　名称 形式　　 全称命题 存在性命题 结构 对 M 中的所有 x，有 p(x)成立 存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 否定 ∃x0∈M， p(x0) ∀x∈M， p(x) [方法技巧] ¬ ¬ ¬1.区别 A 是 B 的充分不必要条件(A⇒B 且 B A)，与 A 的充分不必要条件是 B(B⇒A 且 A B)两 者的不同. 2.A 是 B 的充分不必要条件⇔綈 B 是綈 A 的充分不必要条件. 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 三、 经典例题 考点一　充分条件与必要条件的判断 【例 1-1】（2020·天津市宁河区芦台第一中学高三一模）在 中，“ ”是“ ”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 余弦函数 在区间 上单调递减，且 ， ， 由 ，可得 ， ，由正弦定理可得 . 因此，“ ”是“ ”的充分必要条件. 故选：C. 【例 1-2】（2019·上海市七宝中学高一月考）已知函数 定义域是 ，那么“ 是增函数”是“不等式 恒成立”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】函数 为 上的增函数 不等式 恒成立，反之不成立， “ 是增函数”是“不等式 恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 【例 1-3】（2020·全国高三月考）若数列 的前 项和为 ，则“ ”是“数列 是等差数 列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ABC∆ cos cosA B< sin sinA B>  cosy x= ( )0,π 0 A π< < 0 B π< < cos cosA B< A B> a b∴ > sin sinA B> cos cosA B< sin sinA B> ( )f x R ( )f x ( ) ( 0.001)f x f x< + ( )f x R ⇒ ( ) ( 0.001)f x f x< + ∴ ( )f x ( ) ( 0.001)f x f x< + { }na n nS ( )1 2 n n n a aS += { }naC．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】必要性显然成立；下面来证明充分性， 若 ，所以当 时， ， 所以 ，化简得 ①， 所以当 时， ②， ① ②得 ，所以 ，即数列 是等差数列，充分性得证， 所以“ ”是“数列 是等差数列”的充要条件. 故选：C. 规律方法　充要条件的两种判断方法 (1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断. (2)集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. 考点二　全称量词与存在量词　 【例 2-1】（2019·江苏省高二期中）命题“ ， ”的否定为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】A 【解析】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“ ， ”的否定为“ ， ”． 故选 A． 【例 2-2】（2019·辽宁省高二期中（理））设命题 ， ，则 为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】C ( )1 2 n n n a aS += 2n ( )1 1 1 ( 1) 2 n n n a aS − − − += ( ) ( )1 1 12 ( 1)n n na n a a n a a −= + − − + 1 1( 1) ( 2)n nn a a n a−− = + − 3n 2 1 1( 2) ( 3)n nn a a n a− −− = + − − ( )1 22( 2) ( 2)n n nn a n a a− −− = − + 1 22 n n na a a− −= + { }na ( )1 2 n n n a aS += { }na [ ]1,3x∀ ∈ − 2 3 2 0x x− + ≤ [ ]0 1,3x∃ ∈ − 2 0 03 2 0x x− + > [ ]1,3x∀ ∉ − 2 3 2 0x x− + > [ ]1,3x∀ ∈ − 2 3 2 0x x− + > [ ]0 1,3x∃ ∉ − 2 0 03 2 0x x− + > [ ]1,3x∀ ∈ − 2 3 2 0x x− + ≤ [ ]0 1,3x∃ ∈ − 2 0 03 2 0x x− + > :p x R∃ ∈ 22x x> p¬ x R∀ ∈ 22x x> x R∃ ∈ 22x x< x R∀ ∈ 22x x≤ x R∃ ∈ 22x x≤【解析】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题， 即 ， . 规律方法　1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性 命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定 结论，而一般命题的否定只需直接否定结论. 2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决. 考点三　充分条件、必要条件的应用　 【例 3-1】（2020·山东省高二期末）已知命题 关于 的不等式 的解集为 ， ， ，试判断“ 为真命题”与“ 为真命题”的充分必要关系． 【答案】充分不必要 【解析】若 为真命题：当 时，对于任意 ，则有 恒成立； 当 时，根据题意，有 ，解得 . 所以 ； 若 为真命题： ， ． ， 当且仅当 时，等号成立，所以 .  ，所以，“ 为真命题”是“ 为真命题”的充分不必要条件. 【例 3-2】（2019·浙江省宁波市鄞州中学高二月考）已知命题：“ ，使等式 成立”是真命题． （Ⅰ）求实数 的取值集合 ； （Ⅱ）设不等式 的解集为 ，若 是 的必要条件，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 或 . 【解析】（1）方程在 有解，转化为函数 在 上的值域，实数 的取值集合 可求； x R∀ ∈ 22x x≤ :p x ( ) ( )21 1 2 0k x k x− − − + > R : 2q x∃ > 22 7 2 x kx − 1k ≠ ( ) ( )2 1 0 1 8 1 0 k k k − >∆ = − − − 22 7 2 x kx − ≥− ( ) ( ) ( ) 22 2 2 8 2 12 7 12 2 8 2 2 82 2 2 x xx xx x x − + − +− = = − + + ≥ +− − − 22 2x = + 8 2 2k ≤ + { }1 9k k≤ 1a > 2 2 1 0ax x+ + > 1a > 4 4 0a∆ = − < 2 2 1y ax x= + + 2 2 1 0ax x+ + > 2 2 1 0ax x+ + > 0a = 2 1 0x + > 0a ≠ 2 2 1 0ax x+ + > 0 4 4 0 a a > ∆ = − 1a > 2 2 1 0ax x+ + > 1 : ( 1) 1 0l ax a y+ + + = 2 2: 0l x ay+ + = 2a = − 1 2l l⊥C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】∵直线 ， 当“ ”时，直线 ， 满足 ，∴ . 如果 ，∴ ，解得 或 ， ∴直线 ，则“ ”是“ ”充分不必要条件. 4．（2019·陕西省高二期末（文））已知 O，A，B，C 是不同的四个点，且 ，则“ ”是 “A，B，C 共线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若 得 ， 则由 得 ，即 ， 则 ，即 ，即 A，B，C 共线，即充分性成立 反之若 A，B，C 共线，则存在一个实数 x，满足 ， 即 ，则 ，令 ， 则 ，即必要性成立， 则“ ”是“A，B，C 共线”的充要条件， 故选 C． 5．（2020·辽宁省高三开学考试（理））方程 表示双曲线的一个充分不必要条件是 　　 A． B． C． D． 【答案】B ( )1 2: 1 1 0, : 2 0l ax a y l x ay+ + + = + + = 2a = − 1 2: 2 1 0, : 2 2 0l x y l x y− − + = − + = 1 2 1k k⋅ = − 1 2l l⊥ 1 2l l⊥ ( )1 1 0a a a⋅ + + = 2a = − 0a = ( )1 2: 1 1 0, : 2 0l ax a y l x ay+ + + = + + = 2a = − 1 2l l⊥ =OA xOB yOC+   1x y+ = 1x y+ = 1y x= − OA xOB yOC= +   ( )1OA xOB x OC xOB OC xOC= + − = + −      ( )=OA OC x OB OC− −    CA xCB=  CA xCB=  CA xCB=  ( )=OA OC x OB OC− −    ( ) ( )1OA OC x OB OC xOB x OC+ + − = + −      1y x= − 1x y+ = 1x y+ = 2 2 12 3 x y m m + =+ − ( ) 3 0m− < < 1 3m− < < 3 4m− < < 2 3m− < − > p¬ 3 00 2, 8 0x x∃ > − ≤ 32, 8 0x x∀ > − ≤ 3 0 02, 8 0x x∃ ≤ − ≤ 32, 8 0x x∀ ≤ − ≤ 0: 2p x∃ > 3 0 8 0x − > p¬ 32, 8 0x x∀ > − ≤ B x p x R∀ ∈ 2 2 1 0x x+ + ≥ p p¬ x R∃ ∈ 2 2 1 0x x+ + < p¬ x R∃ ∈ 2 2 1 0x x+ + ≤ p¬ x R∀ ∈ 2 2 1 0x x+ + < p¬ x R∀ ∈ 2 2 1 0x x+ + ≤ p x R∀ ∈ 2 2 1 0x x+ + ≥ p x R∃ ∈ 2 2 1 0x x+ + < 2, 2 0x R x x∈ − ≥ 2, 2 0x R x x∈ − < 2, 2 0x R x x∈ − ≥ 2, 2 0x R x x∈ − < 2, 2 0x R x x∈ − < 2 0 0 0(1,2), +m 4 0x x x∃ ∈ + ≥满足不等式的取值范围为__________。 【答案】 【解析】∵命题“ ”是假命题， ∴ ，不等式 恒成立． 设 ， 则有 ，解得 ， ∴实数 的取值范围为 ． 10．（2019·江苏省高二期末（文））若 ，则“ ”是“ ”的____条件．（从“充分不必要”、“必要不 充分”“充要”、“既不充分又不必要”中选填） 【答案】充分不必要 【解析】“ ”则“ ”，但是“ ”可得“ 或 ”，所以“ ”是“ ”的充分不必要条 件． 11．（2019·江苏省高三期中）若 ， 为实数，则“ ”是“ ”的______ 条件.（在“充分不必 要，必要不充分，充要，既不充分又不必要”中选一个填写） 【答案】充分不必要 【解析】“ ” 若“ ”成立，则“ ”成立，则“ ” 反之，若“ ”成立，不一定有“ ” 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 12．（2020·湖州市菱湖中学高二期中）已知 ： ； ： ． （1）若 是 的必要条件，求 的取值范围； （2）若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ） . 5m ≤ − ( ) 2 0 0 01,2 , +m 4 0x x x∃ ∈ + ≥满足不等式 ( )x 1,2∀ ∈ 2 4 0x mx+ + < ( )2( ) 4, 1,2f x x mx x= + + ∈ (1) 5 0 ( ) 2 8 0 f m f x m = + ≤  = + ≤ 5m ≤ − m ( , 5]−∞ − x∈R 3x > 2 9x > 3x > 2 9x > 2 9x > 3x > 3x < − 3x > 2 9x > x y 0xy > x y x y+ = + | | | | | |x y x y+ = + | | 0xy xy xy⇔ = ⇔  0xy > 0xy | | | | | |x y x y+ = + | | | | | |x y x y+ = + 0xy > 0xy > | | | | | |x y x y+ = + p 2 8 20 0x x− − ≤ q 2 21 1m x m− ≤ ≤ + p q m p¬ q¬ m 3, 3 −  ( , 3] [3, )−∞ − +∞【解析】由 x2﹣8x﹣20≤0 得﹣2≤x≤10，即 P：﹣2≤x≤10， 又 q：1﹣m2≤x≤1+m2． （1）若 p 是 q 的必要条件， 则 ，即 ，即 m2≤3，解得 ， 即 m 的取值范围是 ． （2）∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴q 是 p 的必要不充分条件． 即 ，即 m2≥9，解得 m≥3 或 m≤﹣3 即 m 的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）． 13．（2019·高三月考）记函数 的定义域、值域分别为集合 A，B. （1）当 时，求 ； （2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1） 时， ，由 得 ，即 ， 由 得 ， ∴ ； （2）“ ”是“ ”的必要不充分条件，则 是 的真子集，若 ， 则由 得 ，即 ，与（1）类似得 ，不合题意， 若 ，则 ，即 ，满足题意， 若 ，则 ， ， ，满足题意． 综上 的取值范围是 ． 14．（2020·全国高三月考（理））设 为实数， ， ，不等式 恒成立. 2 2 1 2 1 10 m m  − ≥ −  + ≤ 2 2 3 9 m m  ≤  ≤ 3 3m− ≤ ≤ 3 3 − ， 2 2 1 2 1 10 m m  − ≤ −  + ≥ ( )2( ) lg 1f x ax= − 1a = A B x A∈ x B∈ ( 1,0]− ( ,0]−∞ 1a = 2( ) lg(1 )f x x= − 21 0x− > 1 1x− < < ( 1,1)A = − 20 1 1x< − ≤ ( ,0]B = −∞ ( 1,0]A B = − x A∈ x B∈ B A 0a > 21 0ax− > 1 1xa a − < < 1 1( , )A a a = − ( ,0]B = −∞ 0a = ( ) lg1 0f x = = , {0}A R B= = 0a < 21 1ax− ≥ A R= [0, )B = +∞ a ( ,0]−∞ a 1 2 1 2: 2 2 2 2 2 0aa ap ++− − + < : (0, )q x∀ ∈ +∞ 2 1 0x ax− + ≥（1）若 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若 为真命题，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由命题 为真命题，即 ， 解得 ，可得 ，即实数 的取值范围是 . （2）若命题 为真命题，由 ，不等式 恒成立， 即 在 上恒成立，即 对 恒成立， 当 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 为真命题时，可得 ， 又因为 为真命题，则 为假命题且 为真命题， 所以 ，解得 或 . 所以实数 的取值范围是 . P a ( )p q− ∧ a 1 ,12      1, [1,2]2  −∞ ∪   P ( )( )1 2 1 22 2 2 2 2 2 2 2 2 0aa a a a++− − + = − − < 2 2 2a< < 1 12 a< < a 1 ,12      q (0, )x∀ ∈ +∞ 2 1 0x ax− + ≥ 2 1x ax+  (0, )x∈ +∞ 1a x x ≤ + (0, )x∈ +∞ (0, )x∈ +∞ 1 12 2x xx x + ≥ ⋅ = 1x x = 1x = q 2a ≤ ( )p q¬ ∧ p q 1 12 2 a a a  ≤ ≥  ≤ 或 1 2a 1 2a  a 1, [1,2]2  −∞ ∪  