第 03 讲 基本不等式
一、 考情分析
1. 掌握均值不等式 ab≤a＋b
2 (a，b≥0)和基本不等式的性质；
2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.
3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点
与方程根的关系；
4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一
元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；
5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
二、 知识梳理
1.不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒n a＞n b(n∈N，n≥2).
2.均值不等式： ab≤a＋b
2
(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号.
(3)其中a＋b
2
称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正数 a，b 的几何平均数.
3.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号.
(2)ab≤(a＋b
2 )2
(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号.
4.利用均值不等式求最值
已知 x≥0，y≥0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2 p(简记：积定和最小).(2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是s2
4(简记：和定积最大).
5.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的整式不等式叫作一元二次不等式.
6.三个“二次”间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根 x1，
x2(x1＜x2)
有两相等实根 x1
＝x2＝－ b
2a
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
{x|x＞x2
或x＜x1} {x|x ≠ － b
2a} R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2} ∅ ∅
7.(x－a)(x－b)>0 或(x－a)(x－b)0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}
(x－a)·(x－b)0，且 a>b⇔1
a0，b>0).
4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
5.解不等式 ax2＋bx＋c>0(0(0 对任意实数 x 恒成立⇔{a＝b＝0，
c > 0 或{a > 0，
Δ < 0.
(2)不等式 ax2＋bx＋c
2 4 3a b c a+ + > = 4 3 4 2 3a b c< + + +≤ ABC
(4 3,4 2 3]+
3 3log (2 ) 1 loga b ab+ = + 4 2a b+
8
3
16
3
17
3
3 3log (2 ) 1 loga b ab+ = + ( ) ( )3 3 3 3log 2 log 3 log log 3a b ab ab+ = + =所以， ，等式两边同时除以 得 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为 .
故选：C.
规律方法 在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的
形式，主要有两种思路：
(1)对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、
凑因子法、换元法、整体代换法等.
(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.
用函数 y＝x＋m
x(m>0)的单调性.
考点三 一元二次不等式的解法
【例 3-1】（2020·四川省高三二模（文））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，因此， .
故选：A.
【例 3-2】（2020·安徽省高一月考）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解不等式 ，得 或 ；
解不等式 ，得 ，解得 .
， ，则 ，
2 3a b ab+ = ab 2 1 3b a
+ = 0, 0a b> >
1 2 1 1 8 2 1 164 2 (4 2 )( ) (8 ) (8 2 16)3 3 3 3
a ba b a b b a b a
+ = + + = + + ≥ + =
8 2a b
b a
= 2b a= 4 2a b+ 16
3
{ }2, 1,0,1,2A = − − { }2 6 0B x x x= − − < A B =
{ }1,0,1,2- { }2, 1,0,1,2− − { }2, 1,0,1,2,3− − { }2, 1,0,1− −
{ } { }2 6 0 2 3B x x x x x= − − < = − < ( ){ }lg 1 1B x x= + ≤
( )R A B =
{ }1 3x x− ≤ < { }1 9x x− ≤ ≤
{ }1 3x x− < ≤ { }1 9x x− < <
2 2 3 0x x− − > 1x < − 3x >
( )lg 1 1x + ≤ 0 1 10x< + ≤ 1 9x− < ≤
{ }1 3A x x x∴ = − 或 { }1 9B x x= − < ≤ { }1 3R A x x= − ≤ ≤因此， ，故选：C.
【例 3-3】（2020·校高三月考（文））函数 ，若满足
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，且 ，
∴函数 为单调递增的奇函数．
于是， 可以变为 ，
即 ，∴ ，而 ，可知实数 ，
故实数 的取值范围为 ．
故选：C．
【例 3-4】（2014·全国高三专题练习（理））某城市对一种售价为每件 元的电子产品征收附加税，税率为
（即每销售 元征税 元），若年销售量为 万件，要使附加税不少于 万元，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，要使附加税不少于 万元，需 ，
整理得 ，解得 ，因此，实数 的取值范围是 .
故选 A.
【例 3-5】（2020·江苏省高三一模）已知 为正实数，且 ，则 的最小值为
____________.
【答案】
( ) { }1 3R A B x x∩ = − < ≤
( ) 2020 sin2f x x x= +
( )2 (1 ) 0f x x f t+ + − ≥ t
[2, )+∞ [1, )+∞ 3, 4
−∞ ( ,1]−∞
( ) 2020 sin2 ( )f x x x f x− = − − = − ( ) 2020 2cos2 0f x x′ = + >
( )f x
( )2 (1 ) 0f x x f t+ + − ≥ ( )2 (1 ) ( 1)f x x f t f t+ − − = −
2 1x x t+ ≥ − 2 1t x x≤ + +
2
2 1 3 31 2 4 4x x x + + = + + ≥
3
4t ≤
t 3, 4
−∞
160
%R 100 R 5(30 )2 R− 128 R
[4,8] [6,10] [4%,8%] [6%,10%]
128 530 160 % 1282 R R − × × ≥
2 12 32 0R R− + ≤ 4 8R≤ ≤ R [ ]4,8
m n， m n mn+ = 2m n+
3 2 2+【解析】由已知， ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为：
【例 3-6】（2020·河北省高三月考（理））在曲线 的所有切线中，切线斜率的最小值为
________.
【答案】
【解析】由题意得, ，
当且仅当 时取等号.
故答案为： .
[方法技巧]
1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可
以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是
在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.
2.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把 a＜0 的情况转化为 a＞0 时的
情形.
3.在解决不等式 ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切 x∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，
需要对二次项系数 a 进行讨论，并研究当 a＝0 时是否满足题意.
4.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区
间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.
5.当 Δ0(a≠0)的解集为 R 还是∅，要注意区别.
6.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
四、 课时作业
1．若 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】D
1 1 1m n
+ = 2m n+ = ( 2 )m n+ 1 1 2( ) 3 3 2 2m n
m n n m
+ = + + ≥ +
2m n
m n mn
= + =
2 22 1, 2m n
+= + =
3 2 2+
( ) 3 4
3
xf x x
= −
4
( ) 2 2
2 2
4 42 4f x x xx x
′ = + ≥ ⋅ =
2x = ±
4
0a > 0b > 2 3a b+ = 3 6
a b
+【解析】∵ （ ）（a+2b）
＝ (3 12)
≥ ×(15+2 9
等号成立的条件为 ，即 a=b=1 时取等
所以 的最小值为 9．
故选：D．
2．在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，且 ，则
周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，根据三角形的性质可得， ，
又由 得 ，即 ，
故 ，
所以 周长的取值范围是 .
故选：B.
3．函数 （ 且 ）的图像恒过定点 ，若点 在直线 上，其中
，则 的最小值为（）
A．16 B．24 C．50 D．25
【答案】D
【解析】令 x﹣3＝1，解得 x＝4，y＝1，
则函数 y＝loga（x﹣3）+1（a＞0 且 a≠1）的图象恒过定点 A（4，1），
∴4m+n＝1，
∴ （ ）（4m+n）＝16+1
≥17+2 17+8＝25，当且仅当 m＝n 时取等号，
3 6 1
3a b
+ = 3 6
a b
+
1
3
6 6b a
a b
+ + +
1
3
6 6b a
a b
⋅ =）
6 6b a
a b
=
3 6
a b
+
ABC A B C a b c 2 2 2b ac a c+ = + 2a c+ = ABC
( ]2,3 [ )3,4 ( ]4,5 [ )5,6
2a c+ = 2b a c< + =
2 2 2b ac a c+ = +
2
2 2( ) 3 4 3 4 3 12
a cb a c ac ac
+ = + − = − ≥ − × = 1b ≥
1 2b≤ <
ABC 3 4a b c≤ + + <
log ( 3) 1ay x= − + 0a > 1a ≠ A A 1 0mx ny+ − =
· 0m n > 4 1
m n
+
4 1
m n
+ = 4 1
m n
+ 4n 4m
m n
+ +
4n 4m
m n
⋅ = 1
5
=故则 的最小值为 25，
故选 D．
4．已知 ， 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知 , = , >0,
进而得到 .
故答案为 A.
5．在 的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
二项式展开式为：
设系数绝对值最大的项是第 项，
可得
可得 ，解得
4 1
m n
+
1
2
1 2
1ln ,2x x e
−= = 3x 3
3lnxe x− =
1 2 3x x x< < 1 3 2x x x< < 2 1 3x x x< < 3 1 2x x x< <
1
1ln 2 02x ln= = − < 1
2
2x e
−= ( )1 0,1
e
∈ 3
3lnxe x− = 3 1x∴ >
1 2 3x x x< <
10
3
1
2
x
x
−
105
32
5
663
8 x−
5
3105
8 x 5
215x−
10
3
1
2
x
x
−
∴
(10 ) 11
32
1 10
1
2
kk
k
kT C x x
−
−
+
= −
1k +
1
1
10 10
1
1
10 10
1 1
2 2
1 1
2 2
k k
k k
k k
k k
C C
C C
−
−
+
+
≥
≥
11 1 12
10 11 1 2
k
k
k
k
− ≥ − ≥ ⋅ +
8 11
3 3k≤ ≤
*k N∈
∴ 3k =在 的展开式中，
系数的绝对值最大的项为：
故选：D.
6．已知实数 ， 满足 且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由实数 ， 满足 且 .
两边同时除以 ，有： .
所以 ，即 或 .
故选：C
7．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出函数图象：
10
3
1
2
x
x
−
37 11
3
10
5
232
4
1
2 15x xT C x
− = − =
−
x y ( )( )2 1x y x y+ − = 0y ≠ x
y
( )1, 2,2
−∞ − ∪ +∞
( ) ( ), 2 1,−∞ − ∪ +∞
( ) ( ), 1 2,−∞ − +∞ ( )1, 2,2
−∞ +∞
x y ( )( )2 1x y x y+ − = 0y ≠
2y 2
11 2 0x x
y y y
+ − = >
1 2 0x x
y y
+ − >
2x
y
> 1x
y
< −
2
2
, 0( )
log ( 1), 0
x x xf x
x x
− + − ( ) 22 8 14f x a a− ≤ ≤ + + ( )f x ( )g x
2 8 14 2a a+ + ≤ 6 2a− ≤ ≤ −
a 2−9．定义在 上的函数 对任意 都有 ，且函数 的图象关于
成中心对称，若 满足不等式 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为对任意 都有 ，所以 在 上为减函数；
又 的图象关于 成中心对称，所以 关于原点对称，
则 ，所以 ，
整理得 ，解得 .
故选：D.
10．已知函数 ，若 ，使得 成立，则实数 的取值范
围为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为： ,则要考查的不等式转化为：
，解得： ，即实数 的取值范围为 .
本题选择 B 选项.
11．（多选题）已知正数 a，b 满足 ，ab 的最大值为 t，不等式 的解集为 M，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】∵正数 ， 满足 ，
R ( )f x ( )1 2 1 2,x x x x≠ ( ) ( )1 2
1 2
0f x f x
x x
−
2ab ab
a b
<
+
x y 2 4 41xy x y+ + = x y+
8
x y 2 4 41xy x y+ + = 4x ≠ −
∴ 2 41
4
xy x
− += +
∴ ( ) ( )2 41 49 494 6 2 4 6 84 4 4
xx y x x xx x x
− ++ = + = + + − ≥ + ⋅ − =+ + +
3x =的最小值为 .
故答案为： .
14．已知函数 ，则不等式 的解集为____________.
【答案】
【解析】由已知， ， ，
若 ，则 或
解得 或 ，所以不等式 的解集为 .
故答案为：
15．已知正数 、 满足 ，则 的最大值为______.
【答案】
【解析】 正数 、 满足 ， .
，
由基本不等式得
，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
，因此， 的最大值为 .
故答案为： .
16．在面积为 的 中， ，若点 是 的中点，点 满足 ，则
∴ x y+ 8
8
( ) | 4 |f x x x= − ( 2) (3)f a f+ >
( ) ( )1,1 7,− ∪ +∞
2
2
4 , 4( ) 4
4 , 4
x x xf x x x
x x x
− ≥= − = − + = 2
2 4
( 2) 4( 2) 3
a
a a
+ ≥
+ − + > 2
( 2) 4
( 2) 4( 2) 3
a
a a
+
7a > 1 1a− < < ( 2) (3)f a f+ > ( ) ( )1,1 7,− ∪ +∞
( ) ( )1,1 7,− ∪ +∞
a b 2a b+ =
1 2
a b
a b
++ +
7 2 2
5
−
a b 2a b+ = ( ) ( )1 2 5a b∴ + + + =
1 1 2 2 1 2 1 21 1 21 2 1 2 1 2 1 2
a b a b
a b a b a b a b
+ − + − + = + = − + − = − + + + + + + + + +
( ) ( )1 2 1 25 1 21 2 1 2a ba b a b
+ = + + + + + + + +
( ) ( )2 1 2 12 23 3 2 3 2 22 1 2 1
a ab b
b a b a
+ ++ += + + ≥ + ⋅ = ++ + + +
1 2 3 2 2
1 2 5a b
++ ≥+ +
( )2 2 1b a+ = +
3 2 2 7 2 221 2 5 5
a b
a b
+ −∴ + ≤ − =+ + 1 2
a b
a b
++ +
7 2 2
5
−
7 2 2
5
−
6
2
ABC∆ 2 3AB AC⋅ = M AB N 2AN NC= BN CM⋅ 的最大值是______.
【答案】
【解析】由△ABC 的面积为 得 |AB||AC|sin∠BAC= ，
所以|AB||AC|sin∠BAC= ，①
又 ,即|AB||AC|cos∠BAC= ，②
由①与②的平方和得:|AB||AC|= ，
又点 M 是 AB 的中点，点 N 满足 ，
所以
，
当且仅当 时，取等号，
即 的最大值是为 .
故答案为：
17．设集合 ， .
（1）求集合 ；
（2）若不等式 的解集为 ，求实数 、 的值.
【解析】（1）先解不等式 .
①当 时，由 得 ，解得 ，此时 ；
②当 时，由 得 ，成立，此时 ；
8 3 2 63
−
6
2
1
2
6
2
6
2 3AB AC⋅ = 2 3
3 2
2AN NC=
( ) ( ) 2 1
3 2BN CM BA AN CA AM AB AC AC AB ⋅ = + ⋅ + = − + ⋅ − +
2 24 2 1
3 3 2AB AC AC AB= ⋅ − −
2 2 2 28 3 2 1 8 3 2 1 8 32 2 63 3 2 3 3 2 3AC AB AC AB= − − ≤ − ⋅ = −
2 22 1 2 3
3 2 3AC AB AB AC= ⇒ =
BN CM⋅ 8 3 2 63
−
8 3 2 63
−
{ }1 3A x x x= + − ≤ 4 13B x x
= > +
A B
22 0x ax b+ + < B a b
1 3x x+ − ≤
0x ≤ 1 3x x+ − ≤ 1 2 1 3x x x− + − = − + ≤ 1x ≥ − 1 0x− ≤ ≤
0 1x< < 1 3x x+ − ≤ 1 1 3x x+ − = ≤ 0 1x< +
4 11 03 3
x
x x
−− = 1
2y x x
= + −（2）已知 ，求 的最大值.
【解析】（1） ， ，而 ，
当且仅当 ，即当 时，该函数取得最小值 ；
（2） ， ，则 ，
当且仅当 时，即当 时，该函数取得最大值 .
10 2x< < ( )1 1 22y x x= −
2x > 2 0x − > ( )1 1 12 2 2 2 2 42 2 2y x x xx x x
= + = − + + ≥ − + =− − −
( )12 22x xx
− = >− 3x = 4
10 2x<
21
1 12
2 2 16
x x
y x x
+ − = − ≤ =
1
2x x= − 1
4x = 1
16
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