第 04 讲 函数的概念
一、 考情分析
1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理
解函数图象的作用；
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
二、 知识梳理
1.函数的概念
设 A，B 是两个非空数集，如果按照确定的法则 f，对 A 中的任意数 x，都有唯一确定的数 y 与
它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)函数 y＝f(x)自变量取值的范围(数集 A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝
f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分
段函数.
(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
[微点提醒]
1.直线 x＝a(a 是常数)与函数 y＝f(x)的图象有 0 个或 1 个交点.
2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要
分类讨论.
三、 经典例题
考点一 求函数的定义域
【例 1-2】函数 y＝ 1－x2＋log2(tan x－1)的定义域为________；【解析】 (1)要使函数 y＝ 1－x2＋log2(tan x－1)有意义，则 1－x2≥0，tan x－1>0，且 x≠kπ＋
π
2(k∈Z).
∴－1≤x≤1 且π
4
＋kπ= − ≤
( ) 21 2 1 3f = − =
( ) 2( (1)) 3 log 8 3f f f= = =
( )f x ( 4) ( )( )f x f x x R+ = ∈ ( 2,2]−
cos ,0 2,2( ) 1 , 2 0,2
x x
f x
x x
π < ≤=
+ − < ≤
( (15))f f【答案】
【解析】由 得函数 的周期为 4，所以
因此
【例 3－3】（2020·天津四中高三二模）已知 ，若对任意 ，不等
式 恒成立，则非零实数 的取值范围是_____.
【答案】 .
【解析】 ，
，
对任意 ， ，不等式 恒成立，
即对任意 ， ，不等式 恒成立，
在 上是增函数，
，即 ，
又 ， ，
当 时， 取最小值 ，
，解得 ，
又 ，即 ，
故 ，
故答案为： ， ．
2
2
( 4) ( )f x f x+ = ( )f x 1 1(15) (16 1) ( 1) 1 ,2 2f f f= − = − = − + =
1 π 2( (15)) ( ) cos .2 4 2f f f= = =
( ) 3 , 0
, 0
x
x
xf x
xπ
≥=
4 20 7a
−<
(0 4 2 ]7
−【例 3－4】（2020·全国高三月考（文））已知 ，则满足
的实数 的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ， ， ，
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的取值范围为 .
故选： .
规律方法 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应
的解析式代入求解.
2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要
注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
[方法技巧]
1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相
同.
2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因
此，我们一定要树立函数定义域优先意识.
3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.
[易错防范]
1.复合函数 f[g(x)]的定义域也是解析式中 x 的范围，不要和 f(x)的定义域相混.
2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函
数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
四、 课时作业
ln 2, 0
( ) 12 , 02
x
x x
f x
x
− >= − ≤
( ) 12 ( ( )) 1 2 f mf f m ++ =
m
( , 1]−∞ − ( 2( , 1] 0,e −∞ − ∪
( ,1]−∞ ( , 1] (0,1]−∞ − ∪
( )t f m= ( ) 12 1 2tf t ++ = ( ) 12 2
tf t∴ = − ( ) 0f m t∴ = ≤
0m > ln 2 0m − ≤ 20 m e< ≤
0m ≤ 12 02
m − ≤ 1m ≤ −
m ( ] ( 2, 1 0,e −∞ −
B1．若函数 的定义域为 M＝{x|－2≤x≤2}，值域为 N＝{y|0≤y≤2},则函数 的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为对 A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；
对 B 满足函数定义，故符合；
对 C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；
对 D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．
故选 B．
2．如图，记图中正方形介于两平行线 与 之间的部分的面积为 ，则 的图
象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
( )y f x= ( )y f x=
x y a+ = 1x y a+ = + ( )S S a= ( )S a①当 时，即 ， ；
②当 时，即 ， .
由此可知，当 时， 且 ，所以 选项不正确.
故选：D
3．函数 的定义域为( )
A．（2，3） B．（3，4] C．（2，4] D．（2，3）∪（3，4]
【答案】D
【解析】依题意 ，解得 .所以函数的定义域为 .
故选：D
4．函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
0 1 1a≤ + < 1 0a− ≤ < 21( ) ( 1)2S a a= +
1 1a + = 0a = 1( ) 2S a =
1 0a− ≤ < 21( ) ( 1)2S a a= + 1(0) 2S = , ,A B C
( ) 21 162y xlg x
= + −−
2
2 0
2 1
16 0
x
x
x
− >
− ≠
− ≥
( ) ( ]2,3 3,4x∈ ( ) ( ]2,3 3,4
( ) ( )23 lg 3 1
1
xf x x
x
= + +
−
1 ,3
− +∞
1 ,13
−
1 1,3 3
−
1, 3
−∞ − 【解析】∵函数 f（x）= +lg（3x+1），
∴ ；
解得﹣ ＜x＜1，
∴函数 f（x）的定义域是（﹣ ，1）．
故选 B．
5．已知函数 f（x） ，则 f[f（2）]＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题 .
故选：B
6．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ．故 C 正确．
7．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 或 ，
解得： 或 ，即 ，故选 D.
23
1
x
x−
1 0
3 1 0
x
x
−
+
＞
＞
1
3
1
3
2
2
3
3
x x
log x x
= ≥
， ＜
，
[ ] 2
2(2) (2 ) (4) log 4 2f f f f= = = =
1 , 0( ) {
2 , 0x
x xf x
x
− ≥=
< ( ( 2))f f − =
1− 1
4
1
2
3
2
( ) 2 12 2 4f −− = = ( )( ) 1 1 1 12 1 14 4 2 2f f f ∴ − = = − = − =
2
2 1, 0( ) log , 0
x xf x x x
+ − ≤= >
( ) 1f a ≤ a
( 4] [2, )−∞ − +∞ [ 1,2]−
[ 4,0) (0,2]− [ 4,2]−
( ) 1f a ≤ ⇔ 0,
2 1 1,
a
a
≤
+ − ≤ 2
0,
log 1,
a
a
>
≤
4 0a− ≤ ≤ 0 2a< ≤ [ 4,2]a ∈ −8．函数 ，若方程 有且只有两个不等的实根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】画出函数图像如下：
当 时，函数 的图像与 的图像有两个交点，
即方程 有且只有两个不等的实根.
故选：A
9．设函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由函数 f（x）＝ 得 即
或 所以
10．函数 的定义域是_______.
【答案】
2 1( 0)( )
( 1)( 0)
x xf x
f x x
− − ≤= − >
( )f x x a= + a
( ,1)−∞ [0,1) ( ,0)−∞ [0, )+∞
1a < ( )y f x= y x a= +
( )f x x a= +
2 4 6, 0( )
6, 0
x x xf x
x x
− + ≥= + f
( 3,1) (3, )− ∪ +∞ ( 3,1) (2, )− +∞
( 1,1) (3, )− +∞ ( , 3) (1,3)−∞ −
2 4 6, 0{
6, 0
x x x
x x
− + ≥
+ < (1) 3 ( ) 3f f x= ∴ >不等式化为
2
0{ 4 6 3
x
x x
≥
− + >
0{ 6 3
x
x
<
+ > 3 0 1 -3 0 3 -3 1x x x x x> ≤ < < ∴ < ln 1a
ea∴
1a 3 1a
0 1a
a [0,1] [ , )e∪ +∞
[0,1] [ , )e∪ +∞
2lg , 0
( ) 1 , 04
x
x x
f x
x
>
=
( ) 21max ln ,2f x x tx x tx e = − − − − e
( ) 2f x ≥ − [ ]1,x e∈ t
2, e
e
−∞
( ) 21max ln ,2g x x x e = − −
( ) 2f x ≥ − [ ]1,x e∈ ( ) 2g x tx≥ − [ ]1,x e∈
1ln 2y x= − 2y x e= −
1ln 2y x= − 2y x e= − ( ),0A e
x e= 2y x e= − x e= ( )2,C e e e−
1x = 1ln 2y x= − 1x = 11, 2D
( )y g x=
2y tx= − ( )0, 2B −
[ ]1,t e∈ 2y tx= − A 2y tx= −
max
2 et e
=
2 et e
≤ ( ) 2f x ≥ − [ ]1,x e∈
t 2, e
e
−∞ 15．求下列函数 的解析式.
（1）已知 ，求 ；
（2）已知一次函数 满足 ，求 .
【解析】（1）（换元法）设 ，则 ，
∴ ，
∴ .
（2）（待定系数法）∵ 是一次函数，∴设 ，则
，
∵ ，∴ ，解得 或 .
∴ 或 .
16．某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维
修服务，每次维修服务费用 200 元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次 50 元．在机器使
用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用 500 元，无需支
付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年
使用期内的维修次数，得下面统计表：
( )f x
( ) 21 2 1f x x x− = − + ( )f x
( )f x ( )( ) 4 1f f x x= − ( )f x
1t x= − 1x t= −
( ) ( ) ( )2 22 1 1 1 2 3 2f t t t t t= − − − + = − +
( ) 22 3 2f x x x= − +
( )f x ( ) ( )0f x ax b a= + ≠
( )( ) ( ) ( ) 2f f x f ax b a ax b b a x ab b= + = + + = + +
( )( ) 4 1f f x x= −
2 4{
1
a
ab b
=
+ = −
2
{ 1
3
a
b
=
= −
2
1
a
b
= −
=
( ) 12 3f x x= − ( ) 2 1f x x= − +维修次数 8 9 10 11 12
频数 10 20 30 30 10
记 表示 1 台机器在三年使用期内的维修次数， 表示 1 台机器在维修上所需的费用（单位：元）， 表示购
机的同时购买的维修服务次数．
（1）若 ，求 与 的函数解析式；
（2）若要求“维修次数不大于 ”的频率不小于 0.8，求 的最小值．
【解析】（1）根据题意得： ，
即 ．
（2）因为“维修次数不大于 10”的频率为 ，
“维修次数不大于 11”频率为 ，
所以若要求“维修次数不大于 ”的频率不小于 0.8，则 的最小值为 11．
x y n
10n = y x
n n
200 10 50 , 10,
250 10 500( 10), 10,
x xy x x
× += × + − >
50 2000, 10
500 2500, 10
x xy xx x
+= ∈ − > N
，
，
10 20 30 0.6 0.8100
+ + = <
10 20 30 30 0.9 0.8100
+ + + = >
n n
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