2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）第05讲-函数的单调性与最值（解析版）

第 05 讲-函数的单调性与最值 一、 考情分析 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意 义． 二、 知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 M⊆A，如果取区间 M 中任 意两个值 x1，x2，改变量 Δx＝x2－x1>0，则当 定义 Δy＝f(x2)－f(x1)>0 时，就称 函数 y＝f(x)在区间 M 上是 增函数 Δy＝f(x2)－f(x1)0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 1 f（x）的单调性相反. 3.“对勾函数”y＝x＋a x(a>0)的增区间为(－∞，－ a)，( a，＋∞)；单调减区间是[－ a，0)， (0， a]. 三、 经典例题 考点一　确定函数的单调性(区间) 【例 1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数 f(x)在[a，b]上是增函数， 对于任意的 x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是( ) A． >0 B．f(a)0， 均成立，因为不能确定 的大小，因此 f(a) 1 2x x + ≥ 0 2x< ≤ 1x x − 0x > 1x ≠ 1lg 2lgx x + ≥ 1 x 1x x + 5 2对于 B，当 x＞0 时， ，当且仅当 x=1 时，等号成立，故 B 成立； 对于 C， 在（0，2]上单调增，所以 x=2 时， 取得最大值，故 C 不成立； 对于 D，当 0＜x＜1 时，lgx＜0， ＜0，结论不成立； 规律方法　求函数最值的四种常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最 值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 考点三　函数单调性的应用 【例 3－1】（2020·高三月考（理））若函数 有最 小值，则实数 的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 分别求出两段的范围，结合图象即可得到实数 的取值范围. 【详解】 作出 的图象： 1 2x x + ≥ 1x x − 1x x − 1 lgx 3 2 , 1( ) 3 , 1 xe a xf x x x x  − >= − + ≤ a ( ,1]−∞ (– ],e∞ (01]， (0, ]e a 3 2 , 1( ) 3 , 1 xe xf x x x x  >= − + ≤当 时， ， 当 时， 在 上 在 上 则 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ∴ ， 函数 有最小值，则 ， 即 ，故选：B 【例 3－2】（2020·江苏省高一期末）函数 （e 是自然对数的底数）的图象大致为 （ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用分离常数的方法，将式子化简，可得 ，根据单调性以及值域，可得结果. 【详解】因为 所以 ， 可知 是递增的函数， 所以 为递减的函数， 1x > ( )f x = xe a e a− > − 1x ≤ ' 2( ) 3 6 3 ( 2),f x x x x x= − + = − − ( ),0−∞ ' ( ) 0,