第 06 讲-函数的奇偶性与周期性
一、 考情分析
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；
2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.
二、 知识梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
奇函数
设函数 y＝f(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个
x，都有－x∈D，且 f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做
奇函数
关于原点对称
偶函数
设函数 y＝g(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一
个 x，都有－x∈D，且 g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做
偶函数
关于 y 轴对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，
都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫
做 f(x)的最小正周期.
[微点提醒]
1.(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)＝0.
(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数周期性常用结论
对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：
(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0).
(2)若 f(x＋a)＝ 1
f（x），则 T＝2a(a>0).
(3)若 f(x＋a)＝－ 1
f（x），则 T＝2a(a>0).
4.对称性的三个常用结论(1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称.
(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对
称.
(3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)关于点(b，0)中心对称.
三、 经典例题
考点一 判断函数的奇偶性
【例 1-1】(1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3；
(2)f(x)＝lg (1－x2)
|x－2|－2
；
(3)f(x)＝{x2＋x，x < 0，
－x2＋x，x > 0.
【解析】 (1)由{3－x2 ≥ 0，
x2－3 ≥ 0，得 x2＝3，解得 x＝± 3，
即函数 f(x)的定义域为{－ 3， 3}，
从而 f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0.
因此 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)，
∴函数 f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由{1－x2 > 0，
|x－2| ≠ 2，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
∴x－20 时，－x ⇒ < <
( ) 0 0 3f x x
π′ < ⇒ < <
∴ ( )f x (0, )π C
A
( )y f x= R
( ,0]−∞ 0a > m n a+ = ( ) ( ) ( )f m f a f n+ > m
( ,0)a− (0, )+∞ ( , )a− +∞ ( ,0)−∞
(0) 0f = m
( )y f x= R ( ,0]−∞
(0) 0f = ( )y f x= R
0m ≠ ( ) ( ) ( )f m f a f n+ >
0m > n a m a= − <
( ) ( )f n f a∴ < ( ) 0f m >
( ) ( ) ( )f n f a f m∴ < +
0m > ( ) ( ) ( )f m f a f n+ >
0m < n a m a= − >
( ) ( )f n f a∴ > ( ) 0f m <
( ) ( ) ( )f n f a f m∴ > +
0m < ( ) ( ) ( )f m f a f n+ >综上所述，
【例 3－3】（2020·湖南省雅礼中学高三月考（理））定义在实数集 上的偶函数 满足
，则 ____________.
【答案】
【分析】
，令
，则 ，进一步可得函数 的周期为 4，
，解方程即可.
【详解】
因为 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
令 ，则 ，
所以
故函数 的周期为 4，
所以 ，
又因为 是偶函数，则 为偶函数，
又因为 ，所以 ，即 ，
解得 ，
又 ，
即 ，即 .
故答案为：
(0, )m∈ +∞
R ( )f x
2( 2) 2 4 ( ) ( )f x f x f x+ = + − (2021)f =
2 2+
2( 2) 2 4 ( ) ( )f x f x f x+ = + − ⇒ 2 2( 2) 4 ( 2) ( ) 4 ( ) 4f x f x f x f x + − + = − − −
2( ) ( ) 4 ( )g x f x f x= − ( 2) ( ) 4g x g x+ = − − ( )g x
(2021) (4 505 1) (1) 2g g g= × + = = − ⇒ 2 (2021) 4 (2021) 2f f− = −
2( 2) 2 4 ( ) ( )f x f x f x+ = + −
2( 2) 2 4 ( ) ( )f x f x f x+ − = −
2 2( ( 2) 2) 4 ( ) ( )f x f x f x+ − = −
2 2( 2) 4 ( 2) ( ) 4 ( ) 4f x f x f x f x + − + = − − −
2( ) ( ) 4 ( )g x f x f x= − ( 2) ( ) 4g x g x+ = − −
( 4) ( 2) 4 ( )g x g x g x+ = − + − =
( )g x
(2021) (4 505 1) (1)g g g= × + =
( )f x 2( ) ( ) 4 ( )g x f x f x= −
(1) ( 1) 4g g= − − − (1) 2g = − 2 (2021) 4 (2021) 2f f− = −
(2021) 2 2f = ±
2( 2) 2 4 ( ) ( ) 2f x f x f x+ = + − ≥
(2021) 2f ≥ (2021) 2 2f = +
2 2+规律方法 1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象
的对称性.
2.本题充分利用偶函数的性质 f(x)＝f(|x|)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.
规律方法 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将
所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决
此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
[方法技巧]
1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数
具有奇偶性的一个必要条件.
2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：
(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.
3.在解决具体问题时，要注意结论“若 T 是函数的周期，则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期”
的应用.
[易错防范]
1.f(0)＝0 既不是 f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.
2.函数 f(x)满足的关系 f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数 f(x)满足的关系 f(a＋x)
＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
四、 课时作业
1．函数 ( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．是非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【答案】C
【解析】
函数的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数 f(x)是非奇非偶函数．
2．关于函数 ，下列说法错误的是（ ）
2( )f x x x= +
( ) sinf x x x= +A． 是奇函数 B． 是周期函数
C． 有零点 D． 在 上单调递增
【答案】B
【解析】对于 A，函数 定义域为 ，且 ，
则 为奇函数，故 A 正确；
对于 B，若 是周期函数，设其最小正周期为 ，则 ，
即 ，变形得， ，对任意 恒成立，令 ，可得，
，设 ，而 ，
，所以 只有唯一的解 ，故由
，由此可知它不是周期函数，故 B 错误；
对于 C，因为 ， 在 上有零点，故 C 正确；
对于 D，由于 ，故 在 上单调递增，故 D 正确.
3．下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由基本函数的性质得： 为偶函数， 为非奇非偶函数， 为非奇非偶函数，
为奇函数，且在区间 上单调递减.
4．函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足 的 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 在 为奇函数．若 ，满足
则：
( )f x ( )f x
( )f x ( )f x 0, 2
π
( ) sinf x x x= + R ( ) ( )sinf x x x f x− = − − = −
( )f x
( )f x ( )0T T ≠ ( ) ( )f x T f x+ =
( )sin sinx T x T x x+ + + = + ( )sin sinT x T x+ + = x∈R 0x =
sin 0T T+ = ( ) sing x x x= + ( ) 1 cos 0g x x′ = + ≥
( )0 0g = ( ) sin 0g x x x= + = 0x = sin 0 0T T T+ = ⇒ =
( )0 0 sin 0 0f = + = ( )f x ,2 2
π π −
( )' 1 cos 0f x x= + ≥ ( )f x ( ),−∞ +∞
( )0, ∞+
2 2y x= − + 2 xy −= lny x= 1y x
=
2 2y x= − + 2 xy −= lny x=
1y x
= ( )0, ∞+
( )f x ( , )−∞ +∞ (2) 2f = − 2 ( 2) 2f x− ≤ − ≤ x
[ ]2 2− , [ ]1,3 [ ]1,1− [ ]0,4
( )f x ( , )−∞ +∞ (2) 2f = − 2 ( 2) 2f x− ≤ − ≤
(2) ( 2) ( 2)f f x f≤ − ≤ −函数 在 单调递减
即：
5．已知函数 为奇函数,且当 时, ,则 ( )
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为 是奇函数，所以 ，故选 A.
6．已知 是定义在 上的偶函数，且 ，如果当 时， ，则
（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】C
【解析】由 ，得 ，所以 是周期为 8 的周期函数，当 时，
，所以 ，又 是定义在 R 上的偶函数所以
.
7．已知定义在 上的函数 满足： ，当 时，有 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，
则 ， ，则 ，则
，即 ；
故选：B
8．已知函数 的定义域为 的奇函数，当 时， ，且 ， ，
( )f x ( , )−∞ +∞
2 2 2 0 4x x− ≤ − ≤ ⇒ ≤ ≤
( )f x 0x > ( ) 2 1f x x x
= + ( )1f − =
( )f x ( 1) (1) (1 1) 2f f− = − = − + = −
( )f x R ( 5) ( 3)f x f x+ = − [0,4)x∈ 2( ) log ( 2)f x x= +
(766)f =
( ) ( )5 3f x f x+ = − ( ) ( )8f x f x+ = ( )f x [ )0,4x∈
( ) ( )2log 2f x x= + ( ) ( ) ( )766 96 8 2 2f f f= × − = − ( )f x
( ) ( ) 22 2 log 4 2f f− = = =
R ( )f x 1( 1) ( )f x f x
+ = (0,1]x∈ ( ) 2−= xf x ( )2log 9f
16
25
9
8
8
9
25
16
( )1 1( 1) ( 2) 2( ) ( 1)f x f x f x Tf x f x
+ = ⇒ + = = ⇒ =+
( ) ( )2 2 2
9log 9 log 9 4 log 16f f f = − =
( )2
9log 1,016
∈ − ( )2
91 log 0,116
+ ∈
2
2
9 1(1 log ) 916 (log )16
f
f
+ =
22
2 89 log1 log 9162
9 1 1 1(log ) 9 816 (1 l 2
9
og ) 216
f
f
− +
= = = =
+
( )f x R [ ]0,1x∈ ( ) 3f x x= x R∀ ∈ ( ) ( )2f x f x= −则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以函数图像关于 对称
因为 的定义域为 的奇函数，所以函数的周期为 T=4
所以
因为函数图像关于 对称
所以
所以选 B
9．（多选）已知函数 ，则下列对于 的性质表述正确的是（ ）
A． 为偶函数
B．
C． 在 上的最大值为
D． 在区间 上至少有一个零点
【答案】ABCD
【解析】因为 ，所以其的定义域为 ，
A 选项， ，所以函数 为偶函数，故 A 正确；
B 选项， ，故 B 正确；
C 选项，因为 ，当 ， 单调递增，所以 单
( )2017.5f =
1
8
− 1
8 0 1
( ) ( )2f x f x= − 1x =
( )f x R
( ) ( ) ( )2017.5 504 4 1.5 1.5f f f= × + =
1x =
( ) ( )1.5 0.5f f= = 1
8
( ) 2
2
1
1
xf x x
−= +
( )f x
( )f x
( )1f f xx
= −
( )f x [ ]2,3 3
5-
( ) ( )g x f x x= + ( )1,0−
( ) 2
2
1
1
xf x x
−= + R
( ) 2 2
2 2
1 ( ) 1 ( )1 ( ) 1
− − −− = = =+ − +
x xf x f xx x
( )f x
2
2
2 2
111 1 ( )111
− − = = = − + +
xxf f xx x
x
( ) 2
2 2
1 211 1
−= = − ++ +
xf x x x
[ ]2,3x∈ 21y x= + ( ) 2
21 1
= − + +f x x调递减，因此 ，故 C 正确；
D 选项，因为 ，所以 ， ，
即 ，由零点存在性定理可得： 在区间 上存在零点，故 D 正确；
10．（多选）已知函数 是 上的奇函数，对于任意 ，都有 成立，当
时， ，给出下列结论，其中正确的是( )
A．
B．点 是函数 的图象的一个对称中心
C．函数 在 上单调递增
D．函数 在 上有 3 个零点
【答案】AB
【解析】在 中，令 ，得 ，又函数 是 上的奇
函数，所以 ， ，故 是一个周期为 4 的奇函
数，因 是 的对称中心，所以 也是函数 的图象的一个对称中心，
故 A、B 正确；作出函数 的部分图象如图所示，
易知函数 在 上不具单调性，故 C 不正确；函数 在 上有 7 个零点，故 D 不
正确.
11．（多选）已知函数 是定义在 R 上的奇函数，对 都有 成立，当
( ) ( )max
2 32 1 1 4 5
= = − + = −+f x f
( ) ( )g x f x x= + ( ) ( )1 1 1 1− = − − = −g f ( ) ( )0 0 0 1= + =g f
( )1 (0) 0− ⋅ (1,2)x∈ ( ) 0f x < 1x =
( )f x R ( 1)f x + (1) 2f =
(3) 2f = − ( 2) ( ) f x f x+ =
(5) 2f = − ( 4) ( ) f x f x+ =
( )f x R ( 1)f x +故可得 ，
则 ，故 选项正确；
由上述推导可知 ，故 错误；
又因为 ，故 选项正确.
又因为 ，故 错误.
故选：AD.
13．已知 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 ，则
___________.
【答案】1
【解析】∵ ，∴ ，又∵ ， 分别是定义在 上
的偶函数和奇函数，∴ ， ，∴ ，
∴ ．
14．若函数 为偶函数，则 ．
【答案】1
【解析】由函数 为偶函数 函数 为奇函数，
．
15．已知奇函数 满足：对一切 ， 且 时，
，则 __________.
【答案】
【解析】由题可知：因为对一切 ， ，
故 关于 对称；
又因为 是奇函数，
则可得 ，
( ) ( ) ( ) ( ), 1 1f x f x f x f x= − − + = − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2f x f x f x f x f x+ = − − = − + = − − = D
( ) ( ) ( )2 2f x f x f x= − + ≠ + B
( ) ( ) ( )3 1 1 2f f f= − = − = − A
( ) ( )5 1 2 2f f= = ≠ − C
( )f x ， ( )g x 3 2( ) ( ) 1f x g x x x− = + + (1) (1)f g+ =
3 2( ) ( ) 1f x g x x x− = + + ( 1) ( 1) 1 1 1 1f g− − − = − + + = ( )f x ( )g x R
(1) ( 1)f f= − (1) ( 1)g g= − − ( 1) ( 1) (1) (1)f g f g− − − = +
(1) (1) 1f g+ =
2( ) ln( )f x x x a x= + + a =
2( ) ln( )f x x x a x= + + ⇒ 2( ) ln( )g x x a x= + +
(0) ln 0 1g a a= = ⇒ =
( )( )y f x x R= ∈ x∈R ( ) ( )1 1f x f x+ = − [ ]0,1x∈
( ) 1xf x e= − ( )2019f f =
31 ee −−
x R∈ ( ) ( )1 1f x f x+ = −
( )f x 1x =
( )f x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 1f x f x f x f x f x+ = + + = − − = − = −故可得 ，
故函数 是周期为 的函数.
则 ，
又当 ， ，故 ，
则 .
故答案为： .
16．定义在 上的函数 对任意 ，都有 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 是周期为 4 的周期函数，
故 ，
由已知可得 ，
所以 .
17．已知 是定义域为 R 的奇函数，满足 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求式子 的值．
【解析】（1）证明：根据题意， 是定义域为 的奇函数，则 ，
又由 满足 ，则 ，则有 ，
( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 2f x f x f x f x+ = + + = − + =
( )f x 4
( ) ( ) ( )2019 1 1f f f= − = −
[ ]0,1x∈ ( ) 1xf x e= − ( ) ( )2019 1 1f f e= − = −
( )( ) ( ) ( ) ( ) 32019 1 1 3 1 ef f f e f e f e e −= − = − − = − − = −
31 ee −−
R ( )f x x∈R ( ) ( )
( )
12 1
f xf x f x
−+ = + ( ) 12 4f = ( )2020f =
3
5
( ) ( )
( )
12 1
f xf x f x
−+ = +
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
111 2 14 11 2 1 1
f x
f x f xf x f xf xf x
f x
−−− + ++ = = =−+ + + +
( )f x
( ) ( )2020 4f f=
( ) ( )
( )
1 2 34 1 2 5
ff f
−= =+
( ) 32020 5f =
( )f x ( ) ( )1 1f x f x− = +
( ) ( )4f x f x+ =
( )1 2f = ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 50f f f f+ + +…+
f x（ ） R f x f x( - ）＝-（ ）
f x（ ） 1 1f x f x+（ ）＝（ - ） 2f x f x− +（ ）＝（ ） ( 2)f x f x+ ＝- ( )变形可得： ，
即可得证明；
（2）由（1）的结论， ，
又由 是定义域为 的奇函数，则 ，
则 ，
则 ，
则有
．
18．已知函数 .
（1）求 的定义域；
（2）判断 的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式 的解集.
【解析】（1）要使函数 有意义．则 ，
解得 .故所求函数 的定义域为 ．
（2）由（1）知 的定义域为 ，设 ，则 ．
且 ， 故 为奇函数．
（3）因为 在定义域 内是增函数， 因为 ，所以 ，解得 ．
所以不等式 的解集是 ．
19．已知定义域为 的函数 是奇函数.
（1）求 的值；
（2）用定义证明： 在 上为减函数.
4f x f x+（ ）＝（ ）
4f x f x+（ ）＝（ ）
f x（ ） R 0 0f（ ）＝
2 0 0 3 1 2 4 0 0f f f f f f（ ）＝-（ ）＝ ，（ ）＝-（）＝- ，（ ）＝（ ）＝
1 2 3 4 2 0 2 0 0f f f f+ + + + + +（） （ ） （ ） （ ）＝ （- ） ＝
1 2 3 50f f f f+ + +…+（） （ ） （ ） （ ）
1 2 3 4 12 49 50 1 2 2[ ]f f f f f f f f+ + + × + + +＝ （） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）＝（） （ ）＝
( ) ( ) ( )lg 2 lg 2f x x x= + − −
( )f x
( )f x
( ) 1f x >
( )f x 2 0{2 0
x
x
+ >
− >
2 2x− < < ( )f x ( )2,2−
( )f x ( )2,2− ( )2,2x∀ ∈ − ( )2,2x− ∈ −
( ) ( ) ( ) ( )lg 2 lg 2f x x x f x− = − + − + = − ( )f x
( )f x ( )2,2− ( ) 1f x > 2 102
x
x
+ >−
18
11x >
( ) 1f x > 18 ,211
R 2( ) 2
x
x
bf x a
−= +
a b，
( )f x ( ),−∞ ∞【解析】 为 R 上的奇函数，
，
解得： ．
又 ，
解得 ．
经检验 ， 符合题意．
证明：任取 ， ，且，
则
．
，
，
又
，
在 上为减函数．
20．已知函数 是定义在 上的奇函数.
（1）求 a 的值：
（2）求函数 的值域；
( )f x
( )0 (0)f f∴ − = −
1(0) 01
bf a
−∴ = =+
1b =
( ) ( )1 1f f− = −
11 1 22
1 2
2
aa
− −∴ = − ++
1a =
1a = 1b =
( )2 1x 2x R∈
( ) ( ) 1 2
1 21 2
1 2 1 2
2 1 2 1
x x
x xf x f x
− −− = −+ +
( )( ) ( )( )
( )( )
1 2 2 1
1 2
1 2 2 1 1 2 2 1
2 1 2 1
x x x x
x x
− + − − +
=
+ +
( )
( )( )
2 1
1 2
2 2 2
2 1 2 1
x x
x x
−
=
+ +
1 2x x
( )( )1 22 1 2 1 0x x+ + >
( ) ( )1 2 0f x f x∴ − >
( )f x∴ ( ),−∞ +∞
2 4( ) ( 0, 1)2
x
x
a af x a aa a
− += > ≠+ R
( )f x（3）当 时， 恒成立，求实数 m 的取值范围.
【解析】（1）∵ 是 R 上的奇函数，
∴
即： .
即
整理可得 .
（2） 在 R 上递增
∵ ，
,
∴函数 的值域为 .
（3）由
可得， ， .
当 时，
令 ），
则有 ，
函数 在 1≤t≤3 上为增函数，
∴ ，
，
故实数 m 的取值范围为
[ ]1,2x∈ ( )2 2 0xmf x+ − >
( )f x
( ) ( )f x f x− = −
2 4 2 4
2 2
x x
x x
a a a a
a a a a
−
−
− + − += −+ +
2 ( 4 ) 2 4
2 2
x x
x x
a a a a
a a a a
+ − + ⋅ − + −=+ ⋅ +
2a =
2 2 2 2 1 2( ) 12 2 2 2 1 2 1
x x
x x xf x
⋅ − −= = = −⋅ + + +
2 1 1x + >
22 02 1x
∴− < − − 2 1( ) 2 22 1
x
x
xmf x m
−= > −+
[ ]1,2x∈ (2 1)(2 2)
2 1
x x
xm
+ −> −
(2 1 1 3)x t t− = ≤ ≤
( 2)( 1) 2 1t tm tt t
+ −> = − +
2 1y t t
= − +
max
2 10( 1) 3t t
− + =
10
3m∴ >
(10 ,3 )+∞
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