第 08 讲-指数与指数函数
一、 考情分析
1.通过对有理数指数幂 a
m
n(a>0，且 a≠1；m，n 为整数，且 n>0)、实数指数幂 ax(a>0，且 a≠1；x
∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；
2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
二、 知识梳理
1.根式
(1)概念：式子n a叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
(2)性质：(n a)n＝a(a 使n a有意义)；当 n 为奇数时，n an＝a，当 n 为偶数时，n an＝|a|＝
{a，a ≥ 0，
－a，a < 0.
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 a
m
n
＝n am(a>0，m，n∈N+，且 n>1)；正数的负分数指数
幂的意义是 a－
m
n
＝ 1
n am(a>0，m，n∈N+，且 n>1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂
没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中 a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a
是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 01；
当 x0).
【解析】 (1)原式＝1＋1
4×(4
9 )
1
2
－( 1
100 )
1
2
＝1＋1
4×2
3－ 1
10＝1＋1
6－ 1
10＝16
15.
(2)原式＝
（a3b2a
1
3
b
2
3
）
1
2
ab2a－
1
3b
＝a
3
2
＋
1
6
－1＋
1
3b1＋
1
3
－2－
1
3＝a
b.
【例 1-2】 化简下列各式：
(1)[(0.064
1
5
)－2.5]
2
3
－3 33
8－π0； (2)5
6a
1
3·b－2·(－3a－
1
2
b－1) ÷(4a
2
3
·b－3)
1
2
.
解 (1)原式＝{[( 64
1 000)
1
5
]－
5
2
}2
3
－(27
8 )
1
3
－1
＝[( 4
10 )3
]
1
5
× (－
5
2
) ×
2
3
－[(3
2 )3
]
1
3
－1
＝5
2－3
2－1＝0.
(2)原式＝－5
2a－
1
6b－3÷(4a
2
3
·b－3)
1
2
＝－5
4a－
1
6b－3÷(a
1
3
b－
2
3
)＝－5
4a－
1
2
·b－
2
3
＝－5
4· 1
ab3＝－5 ab
4ab2 .
规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但
应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
考点二 指数函数的图象及应用
【例 2-1】若函数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是________.
解析 (1)y＝(a－1)2x－a
2＝a(2x－1
2)－2x，令 2x－1
2＝0，得 x＝－1，
故函数 y＝(a－1)2x－a
2恒过定点(－1，－1
2).
(2)在同一平面直角坐标系中画出 y＝|2x－2|与 y＝b 的图象，如图所示.
∴当 00
C.0 1a ≠ [ ]m m
1 1( ) ( )2 2f x f x − + − +
{ }0,1,2 { }1 0− ， { }1,0,1− { }0,1
( ) 1
x
x
af x a
= +
1 1 1 1( ) 2 1 2 2 1
x
x x
af x a a
− = − = −+ +
1 1 1 1( ) 2 1 2 1 2
x
x x
af x a a
−
−− + = + = ++ +
1 1xa + > 10 11xa
< b g x ( , )a−∞ −
( , )a b− ( )g x 2( ) 0− = − =b
( )h x 2
2
0a < 0, ( )
( )( )1 22 1 2 1 0x x+ + > ( ) ( )1 2 0f x f x− > ( ) ( )1 2f x f x>
( )f x ( ),−∞ +∞
( )f x ( ) ( )2 22 2 0f t t f t k− + − <
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2f t t f t k f k t− < − − = −
( )f x ( ),−∞ +∞ 2 22 2t t k t− > −
Rt ∈ 23 2 0t t k− − >
4 12 0k∆ = + < 1
3k < −
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