2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）第09讲-对数与对数函数（解析版）

第 09 讲-对数与对数函数 一、 考情分析 　1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数； 2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象， 探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3.知道对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax 互为反函数(a>0，且 a≠1)． 二、 知识梳理 1.对数的概念 一般地，对于指数式 ab＝N，我们把“以 a 为底 N 的对数 b”记作 logaN，即 b＝logaN(a>0，且 a≠1).其中，数 a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以 a 为底 N 的对数”. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且 a≠1). (2)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga M N ＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④loga mMn＝n mlogaM(m，n∈R，且 m≠0). (3)换底公式：logbN＝logaN logab(a，b 均大于零且不等于 1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，＋ ∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 00； 当 00，且 b≠1，m，n∈R. 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 3.对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，(1 a ，－1)，函数图象只在 第一、四象限. 三、 经典例题 考点一　对数的运算 【例 1-1】 (1)计算：(lg1 4－lg 25)÷100－1 2＝________. (2)计算： （1－log63）2＋log62·log618 log64 ＝________. 【解析】　(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×1001 2＝lg( 1 22 × 52)×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. (2)原式＝ 1－2log63＋(log63)2＋log6 6 3·log6(6 × 3) log64 ＝1－2log63＋(log63)2＋1－(log63)2 log64 ＝2(1－log63) 2log62 ＝log66－log63 log62 ＝log62 log62＝1. 规律方法　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最 简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、 幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且 a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 考点二　对数函数的图象及应用　 【例 2-1】 (1)若函数 f(x)＝ax－a－x(a>0 且 a≠1)在 R 上为减函数，则函数 y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　) (2)当 x∈(1，2)时，不等式(x－1)2b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b (2)若 loga(a2＋1)log2e＝a>1，所以 c>a>b. 法二　log 1 2 1 3＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数 y＝log2x，y＝ln x 的图象，由图知 c>a>b. (2)由题意得 a>0 且 a≠1，故必有 a2＋1>2a， 又 loga(a2＋1)0 恒成立. ∴3－2a>0.∴a0 且 a≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪(1，3 2 ). (2)t(x)＝3－ax，∵a>0， ∴函数 t(x)为减函数. ∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat 为增函数， ∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为 3－2a，f(x)最大值为 f(1)＝loga(3－a)， ∴{3－2a > 0， loga（3－a）＝1，即{a < 3 2， a＝3 2. 故不存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为 1. 规律方法　1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误. 3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单 调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. [方法技巧] 1.对数值取正、负值的规律 当 a>1 且 b>1 或 0 1ab = ( ) xf x a= ( ) logbg x x= − ,a b 1ab = ( ) ( ) 1, log b f x g x x= B ( ) 1 2 3 2 , 2 ( ) log 1 , 2 xe x f x x x − 3x < − 1x > ( )f x ( ) ( ), 3 1,−∞ − ∪ +∞ ( )2(2) log 2 2 2 3 log 5 0a af = + × − = > 1a > ( )22 2 3 1 4t x x x= + − = + − ( )( ) log 1af x t a= > ( )21 4t x= + − ( )21 4t x= + − ( )1,+¥ ( )f x ( )1,+¥ R ( )f x [ )0,+∞ ( )1y f x= − 1x = a ( )1 2 log 2f a f   < −    a 10, 4      1 ,4  +∞   1 ,44      ( )4,+∞ ( )1y f x= − 1 ( )y f x= ( )1y f x= − 1x = ( )y f x= y ( )y f x= ( )1 2 log 2f a f   < −    ( ) ( )2log 2f a f<  ( )y f x= [ )0,+∞ 2log 2a < 22 log 2− < + 1010 01010 x x − 2 ( ) 1 1 2 309 88.64 27 −   − − −       7log 2 3lg 25 lg 4 7 2log 3+ + + 1 2 31 3 23 2 3 3[ ] 1 1 12 3 2 2 −    = − − = − − = −          ( ) ( )2 3 3 3lg 25 4 2 log lg100 2 log 3 2 2 1 5= × + + = + + = + + = 3 3( ) log (9 ) log (3 )f x x x= ⋅ 1 99 x≤ ≤ (3)f 3logt x= ( )f x ( )f x 3 3(3) log 27 log 9 3 2 6f = × = × = 3logt x= 1 99 x≤ ≤ 32 log 2x∴− ≤ ≤ 2 2t− ≤ ≤ 2 2 3 3 3 3( ) (log 2) (log 1) (log ) 3log 2 3 2f x x x x x t t= + ⋅ + = + + = + + 2 23 1( ) 3 2 ( )2 4g t t t t= + + = + − [ ]2,2t ∈ − 3 2t = − min 1( ) 4g t = − 3 3log 2x = − 3 2 33 9x −= = min 1( ) 4f x∴ = − 3 9x = 2t = max( ) (2) 12g t g= = 3log 2x = 9x =，此时 ． 17．（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）已知函数 ． （1）当 时，函数 恒有意义，求实数 的取值范围； （2）是否存在这样的实数 ，使得函数 f（x）在区间 上为减函数，并且最大值为 ？如果存在，试求出 的值；如果不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意，函数 且 ，设 ， 因为当 时，函数 恒有意义，即 对任意 时恒成立， 又由 ，可得函数 在 上为单调递减函数， 则满足 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 ． （2）不存在，理由如下： 假设存在这样的实数 ，使得函数 f（x）在区间 上为减函数，并且最大值为 ， 可得 ，即 ，即 ，解得 ，即 ， 又由当 时， ，此时函数 为意义， 所以这样的实数 不存在． 18．（2020·高一月考）已知函数 ． （1）当 时，求 的定义域； （2）试判断函数 在区间 上的单调性，并给出证明； （3）若 在区间 上恒取正值，求实数 的取值范围． 【解析】（1）当 时， ， ，即 ， ，即 ， max( ) 12f x∴ = 9x = ( ) ( ) ( )3 0 1af x log ax a a− ≠＝ ＞ 且 [ ]0 2x∈ ， ( )f x a a [ ]1 2， 1 a ( ) ( )log 3 ( 0af x ax a= − > 1)a ≠ ( ) 3g x ax= − [ ]0,2x∈ ( )f x 3 0ax− > [ ]0,2x∈ 0a > ( ) 3g x ax= − [ ]0,2 ( )2 3 2 0g a= − > 3 2a < a 3(0,1) (1, )2 a [ ]1 2， 1 ( )1 1f = log (3 ) 1a a− = 3 a a− = 3 2a = ( ) 3 2 3log (3 ) 2f x x= − 2x = 3 33 3 2 02 2x− = − × = ( )f x a ( )( ) lg 2 (0 1)x xf x m m= − < < 1 2m = ( )f x ( )f x ( ,0)−∞ ( )f x ( , 1]−∞ − m 1 2m = 1( ) 22lg x xf x  = −   1 2 02 x x ∴ − >   2 2x x− > x x∴− > 0x 2 1 0x x∴ − > ( ) 2x xg x m= − ( ) ( ) 2 11 1 1 22 2 2 1 2 2 2 2x xx x x xx xx xg g m m m m− − + − += −∴ − = 1 20 1, 0m x x< < < ( , 1]−∞ − min( ) 0f x∴ > ( )1 1( 1) lg 2 0f m− −∴ − = − > 1 12 1m− −− > 1 1 31 2 2m ∴ > + = 0 1m< 2 0x+ > 2x > − { | 2}x x > − (2) 2f = 2 log 4, 2a a= ∴ = 2( ) log (2 )f x x∴ = + ( )f x ( 2, )− +∞ 1 2, ( 2, )x x ∈ − +∞ 1 22 x x− < < 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2( ) ( ) log (2 ) log (2 ) log 2 xf x f x x x x +− = + − + = + 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 22 , 0 2 2 1 log 02 2 x xx x x x x x + +− < < ∴ < + < + ∴ < ∴ log (2 ) log 1a ax+ > 0 1a< < 2 2 1 x x > −  + 2 2 1 x x > −  + > 1x > − 0 1a< < { | 2 1}x x− < < − 1a > { | 1}x x > − ( ) ( )2 23 2log , logf x x g x x= − = [ ]1,4x∈ ( ) ( ) ( )1h x f x g x = + ⋅  [ ]1,4x∈ ( ) ( ) ( )2f x f x k g x⋅ > ⋅ k 2log x 2log x 2log x 2log x 2( ) 2( 1) 2h x t= − − + x 2log x 2log x 2log x 2logt x= 2log x所以(3－4t)(3－t)＞k·t 对一切 t∈[0,2]恒成立， ①当 t＝0 时，k∈R； ②当 t∈(0,2]时， 恒成立， 即 ， 因为 ，当且仅当 ，即 时取等号， 所以 的最小值为－3.所以 k＜－3. 综上，实数 k 的取值范围为(－∞，－3)． ( )( )3 4 3t tk t − −< 94 15k t t < + − 94 12t t +  94t t = 3 2t = 94 15t t + −