第 25 讲-等比数列及其前 n 项和
一、 考情分析
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式；
2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
3.体会等比数列与指数函数的关系.
二、 知识梳理
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列
叫做等比数列.
数学语言表达式： an
an－1
＝q(n≥2，q 为非零常数).
(2)如果三个数 x，G，y 组成等比数列，则 G 叫做 x 和 y 的等比中项，其中 G＝± xy.
2.等比数列的通项公式及前 n 项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前 n 项和公式：当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝a1（1－qn）
1－q
＝a1－anq
1－q .
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn 是数列{an}的前 n 项和.
(1)若 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有 ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak，
ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 qm.
(3)当 q≠－1，或 q＝－1 且 n 为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为 qn.
[微点提醒]
1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，{ 1
an }也是等比数列.
2.由 an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证 a1≠0.
3.在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q＝1 与 q≠1 分类讨论，防止因忽略 q＝1 这
一特殊情形而导致解题失误.
三、 经典例题考点一 等比数列基本量的运算
【例 1-1】 （2020·湖南省高三三模（理））已知数列 的前 项和 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知 ，可得 .
两式相减得 ，即 .
∵ ，∴
∴ 是首项为 6，公比为 3 的等比数列
从而 .
【例 1-2】（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高三三模（文））等差数列 的首项为 1，公差不为 0，若 ，
， 成等比数列，则数列 的前 8 项的和 为（ ）
A．64 B．22 C．-48 D．-6
【答案】C
【解析】等差数列 的首项为 ，设公差 （ ）．
若 ， ， 成等比数列，
所以 ，即 ， 解得 ，
所以 的前 8 项和为 ．
【例 1-3】（2020·陕西省高三二模（文））等比数列 ， 且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等比数列的性质得 ，所以 ，
所以 ，
{ }na n nS 2 3 6n nS a= − 6a =
62 3× 72 3× 66 2× 76 2×
2 3 6n nS a= − 1 12 3 6n nS a+ += −
1 12 3 3n n na a a+ += − 1 3n na a+ =
1 12 3 6S a= − 1 6a =
{ }na
5 6
6 6 3 2 3a = × = ×
{ }na 2a
3a 6a { }na 8S
{ }na 1 d 0d ≠
2a 3a 6a
2
3 2 6a a a= ( ) ( )( )21 2 1 1 5d d d+ = + + 2d = −
{ }na ( )8
8 78 1 2 482S = ×× + × − = −
{ }na 0na > 5 6 3 8 54a a a a+ =
3 1 3 2 3 10log log loga a a+ + + =
12 15 8 32 log 5+
5 6 3 8 5 62 54a a a a a a+ = = 5 6 27a a =
1 10 2 9 3 8 4 9 27a a a a a a a a= = = =则 ，故选：B.
规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量 a1，n，
q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q＝1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝na1；当
q≠1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝a1(1－qn)
1－q
＝a1－anq
1－q .
考点二 等比数列的判定与证明
【例 2-1】 （2020·上海高三专题练习）已知数列 满足 .
(1)证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)证明： .
【解析】（1）证明：由 得 ，所以 ，所以 是等比数列，首
项为 ，公比为 3，所以 ，解得 .
（2）由（1）知： ，所以 ，
因为当 时， ，所以 ，于是 =
，
所以 .
【例 2-2】（2020·安徽省高三月考（文））已知正项数列 的前 n 项和为 ，若数列 是
公差为 的等差数列，且 是 的等差中项.
（1）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
( )5
3 1 3 2 3 10 3 5 6 3log log log log 5log 27 15a a a a a+ + + = = =
{ }na 1 11, 3 1n na a a+= = +
1
2na +
{ }na
1 2
1 1 1 3... 2na a a
+ + + <
1 3 1n na a+ = + 1
1 13( )2 2n na a+ + = + 1
1
2 31
2
n
n
a
a
+ +
=
+
1
2na +
1
1 3
2 2a + = 1
2na + = 13 32
n−⋅ na = 3 1
2
n −
na = 3 1
2
n − 1 2
3 1n
na
= −
1n ≥ 13 1 2 3n n−− ≥ ⋅ 1
1 1
3 1 2 3n n−≤− ⋅ 1
1
a
+
2
1
a
+
1
na 1
1 11 3 3n−≤ + + +
3 1(1 )2 3n
−
3
2
<
1
1
a
+
2
1
a
+
1
na
3
2
<
{ }na nS 1
3
log na
1− 2 2a + 1 3,a a
{ }na { }na（2）若 是数列 的前 n 项和，若 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为数列 是公差为 的等差数列，
所以 ，故 ，所以 ；
所以数列 是公比为 3 的等比数列，
因为 是 的等差中项，所以 ，
所以 ，
解得 ；
数列 的通项公式为 ；
（2）由（1）可知 ，
故数列 是以 1 为首项， 为公比的等比数列，
，
因为 恒成立，
所以 ，
即实数 的取值范围为 .
规律方法 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空
题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对 n＝1 的情形进行验证.
nT 1
na
nT M< M
1
3
log na
1−
1 1 1
3 3
log log 1n na a+ − = − 1
1
3
log 1n
n
a
a
+ = − 1 3n
n
a
a
+ =
{ }na
2 2a + 1 3,a a ( )2 1 32 2a a a+ = +
( )1 1 12 3 2 9a a a+ = +
1 1a =
{ }na 13 −= n
na
1
1 1
3n
na −=
1
na
1
3
1
1 2 3
1 1 1 1 1 11 3 3n n
n
T a a a a −= + + +…+ = + +…+
11 3 1 33 11 2 3 21 3
n
n
− = = − 5 4a =
2 1 2 2 2 9log log loga a a+ + +
( )2 1 2 9log a a a=
( )( )( )( )2 1 9 2 8 3 7 4 6 5log a a a a a a a a a= ⋅
9
2 5log a=
29log 4=
18=
{ }na { }nb 20201 27a a+ =
1 2020 2bb ⋅ = ( )f x ( ) ( )2f x f x+ = − ( ) xf x e= [ ]0, 2x ∈ 1010 1011
1010 10111
a af b b
+ = +
2e 1e− 9e【答案】A
【解析】因为数列 为等差数列，且 ，所以 ；
又 为等比数列，且 ，所以 ，所以 ；
又 ，所以 ，
所以函数 的最小正周期为 4，
又 ，
所以 ，即 .
【例 3-1】（2020·高三其他（文））已知正项等比数列 的前 项和为 ， ，
则公比 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ．
，
化为： ，解得 ．
规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若
m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.
2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时
注意设而不求思想的运用.
[方法技巧]
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一
般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.
(2)分类讨论思想：如求和时要分 q＝1 和 q≠1 两种情况讨论，判断单调性时对 a1 与 q 分类讨论.
3.特别注意 q＝1 时，Sn＝na1 这一特殊情况.
{ }na 20201 27a a+ = 1010 1011 27a a+ =
{ }nb 1 2020 2bb ⋅ = 1010 1011 2b b = 1010 1011
1010 1011
27 91 3
a a
b b
+ = =+
( ) ( )2f x f x+ = − ( ) ( ) ( )4 2f x f x f x+ = − + =
( )f x
( ) xf x e= [ ]0, 2x ∈
( ) ( ) ( )9 2 4 1 1f f f e= × + = = 1010 1011
1010 10111
a af eb b
+ = +
{ }na n nS ( )4 1 23S a a= +
q
2 3 5 2
4 1 23( )S a a= + 1q ≠
∴ 4
1
1
( 1) 3 (1 )1
a q a qq
− = +− 1 0a ≠ 2 1 3q∴ + =
2 2q = 2q =4.Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 未必成等比数列(例如：当公比 q＝－1 且 n 为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n
不成等比数列；当 q≠－1 或 q＝－1 时且 n 为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等比数列)，但等
式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立.
四、 课时作业
1．（2020·黑龙江省高三其他（文））数列 的前 项和为 ，首项 ，若
，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ，得
当 时，由 得 ，
所以 ，即 ，
所以数列 是以 2 为公比，2 为首项的等比数列，
所以 ，
所以 ，故选：B
2．（2020·海东市教育研究室高三其他（文））设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A．1023 B．511 C． D．
【答案】A
【解析】设数列 的公比为 ，由题意可得 ，所以 ，
由题得 .
故 .
3．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高三月考（文））等比数列 不具有单调性，且 是 和
的等差中项，则数列 的公比 （ ）
{ }na n nS 1 2a =
( )*
1 2n nS a n N+= − ∈ 2020a =
20192 20202 20212 20222
1n = 1 2 2S a= − 2 1 12 4 2a a a= + = =
2n ≥ ( )*
1 2n nS a n N+= − ∈ 1 2n nS a− = −
1 1n n n nS S a a− +− = − 1n n na a a+= − 1 2n na a+ =
{ }na
2n
na =
2020
2020 2a =
{ }na n nS 2 52, 16a a= = 10 =S
1023− 511−
{ }na q 3 5
2
8aq a
= = 2q =
1 12 2, 1a a× = ∴ =
( ) ( )10 10
1
10
1 1 1 2
10231 1 2
a q
S q
− × −
= = =− −
{ }na 5a 4a 33a
{ }na q =A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】等比数列 不具有单调性， 或 ，
是 和 的等差中项，所以 ，
或 （舍去）.
4．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，
每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，
每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（ ）
A． 人 B． 人
C． 人 D． 人
【答案】D
【解析】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为 8，公比也是
8，
所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有：
,故选 D.
5．（2020·全国高三（文））在等比数列 中， ， 是方程 的两根，则 等于（ ）
A．1 B．-1 C． D．不能确定
【答案】B
【解析】∵ ， 是方程 的两根，∴ ， ，∴ ，
又 是等比数列，∴ ，而等比数列 中所有偶数项同号，∴ 。
6．（2020·全国高三（文））已知等比数列 满足 ， ，则数列 前 项的和
( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由等比数列 满足 ， ，
1− 3
2
− 3
2
{ }na 1q = 0q <
5a 4a 33a 5 4 32 3a a a= +
22 3 0, 1q q q− − = ∴ = − 3
2q =
( )71 8 87
− ( )91 8 87
−
( )718 8 87
+ − ( )9 418 8 87
+ −
( ) ( )4 5
4 5 6 7 8 9 48 1 8 18 8 8 8 8 8 8 8 8 81 8 7
−
+ + + + + = + = + −−
{ }na 4a 12a 2 3 1 0x x+ + = 8a
±1
4a 12a 2 3 1 0x x+ + = 4 12 3a a+ = − 4 12 1a a = 4 120, 0a a< <
{ }na 2
8 4 12 1a a a= = { }na 8 1a = −
{ }na 1 2 6a a+ = 4 5 48a a+ = { }na 8 8S =
510 126 256 512
{ }na 1 2 6a a+ = 4 5 48a a+ =则等比数列 ，即 ，
代入 可得 ，
则数列 前 8 项的和 ，故选：A.
7．（2020·海南省高三月考）已知正项等比数列 ，满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 可得 ，
所以 ， ，
所以 .
8．（2020·广西壮族自治区高三二模（文））若等差数列 和等比数列 满足 ， ，
则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由题意可得 ，
∴ ，
∴ ．选 A．
9．（2020·四川省泸县第四中学高三二模（文））已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ，
成等差数列，则公比 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
3 4 5
1 2
48 86
a aq a a
+= = =+ 2q =
1 2 6a a+ = 1 2a =
{ }na
8
8
2(1 2 ) 5101 2S
−= =−
{ }na 2
2 7 2020 16a a a⋅ ⋅ = 1 2 1017a a a⋅ ⋅ =
10174 10172 10184 10182
2
2 7 2020 16a a a⋅ ⋅ = ( )2
7 1011 16a a =
7 1011 4a a = 509 2a =
( )508 1017
1 2 1017 7 1011 509 2a a a a a a⋅ ⋅ = ⋅ =
{ }na { }nb 1 1 1a b= = − 4 4 8a b= =
2
2
a
b
1 1− 2 2−
{ }na d { }nb q
4 1 43
1
3, 23
a a bd q b
−= = = = −
2 22, 2a b= =
2
2
1a
b
=
{ }na q 1a 3a 2a
q
1
2
− 2− 1− 1
2 1 1
2
−【答案】D
【解析】由题意 ，∴2a q2=a q+a ，∴2q2=q+1，∴q=1 或 q=
10．（2020·黑龙江省铁人中学高三其他（理））元代数学家朱世杰在“算学启蒙”中提及如下问题：今有银一
秤一斤十两,1 秤=10 斤，1 斤=10 两，令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：“现有银
一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”若银的数量不
变，按此法将银依次分给 5 个人，则得银最少的 3 个人一共得银（ ）
A． 两 B． 两 C． 两 D． 两
【答案】C
【解析】一秤一斤十两共 120 两，将这 5 人所得银两数量由小到大记为数列 ，则 是公比 的等
比数列，于是得 ，
解得 ，故得银最少的 3 个人一共得银数为 （两）.
11．（2020·全国高三其他（理））已知等比数列 满足 ， ，则 （ ）
A．-48 B．48 C．48 或-6 D．-48 或 6
【答案】D
【解析】由题意， ，得 或 1，
当 时， ，
当 时， ，故选 D。
12．（2020·黑龙江省高三月考（理））已知数列 是等比数列， ， ，则
（ ）
A． B．48 C．192 D．768
【答案】B
【解析】 ， ，即 ，解得 ， ，
.
13．（2020·江西省高一月考）设等比数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则
3 1 22a =a +a 1 1 1
1- 2
266
127
889
127
840
31
1111
31
{ }na { }na 2q =
( ) ( )5 5
1 1
5
1 1 2
1201 1 2
a q a
S q
− −
= = =− −
1
120
31a = ( )2
1 2 3
120 8401 2 231 31a a a+ + = + + =
{ }na 1 2a = 2 3 4a a+ = 4 5 6a a a+ + =
( ) ( )2 2
2 3 1 2 4a a a q q q q+ = + = + = 2q = −
2q = − 4 5 6 16 32 64 48a a a+ + = − + − = −
1q = 4 5 6 2 2 2 6a a a+ + = + + =
{ }na 3 12a = 5 6 116a a a= 9a =
24 2
2
3 1 12a a q= = 5 6 116a a a= 4 5 10
1 1 1. 6a q a q a q= 1 6a q= 3 2q =
8 9
9 1 6 48a a q q= = =
{ }na nS 3 9S = 6 36S =
A．144 B．81 C．45 D．63
【答案】B
【解析】由等比数列性质可知： ， ， ，……成等比数列，设公比为
由题意得：
14．（2020·海东市教育研究室高三其他（理））在等比数列 中， ，且 、 、 成等差数列，
则公比 （ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】C
【解析】在等比数列 中， ，则其公比 ，
由题意可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 或 （舍去）.
15．（2020·高一期中）设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn．若 S2=3，S4=15，
则 S6=（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
【答案】C
【解析】S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，
所以 S2，S4﹣S2，S6﹣S4 成等比数列，
即 3，12，S6﹣15 成等比数列，
可得 122=3（S6﹣15），
解得 S6=63
16．（2020·全国高三其他（文））等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
7 8 9 (a a a+ + = )
3S 6 3S S− 9 6S S− q
6 3 36 9 27S S− = − = 27 39q⇒ = =
7 8 9 9 6 27 3 81a a a S S∴ + + = − = × =
{ }na 0na > 7a 6a 53a−
q =
1 1 3− 3 3 1−
{ }na 0na > 0q >
6 7 52 3a a a= − 7 6 52 3 0a a a− − =
6 5 4
1 1 12 3 0a q a q a q− − = 2 2 3 0q q− − = 3q = 1q = −
{ }na n 1
1, 2nS a = − 6
3
7
8
S
S
= 2 4a a⋅ =
1
64
1
32
1
16
1
8【解析】
17．（2020·高一期中）等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
18．（2020·全国高三其他（文））在等比数列 中， ，则 的值是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为 ，由题意可得 ，
则 ，两式相除可得 ，所以 ，
所以 .
19．（2020·全国高三其他（文））已知正项等比数列 满足 ，若存在两项 ，使得
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
( )
( )
6
1
36
3
3 1
1
7 7 7 111, 18 8 8 21
1
a q
S qq q qS a q
q
−
−= ∴ ≠ = ∴ + = ∴ = −
−
−
2 4
2 4
2 4 1
1 1 1
2 2 64a a a q ∴ ⋅ = = − − =
{ }na n nS 2 3 0a S+ = q =
1− 1 2− 2
( )2 3 1 1 2 3 0a S a a a a+ = + + + =
( ) ( )22
1 2 3 1 12 1 2 1 0a a a a q q a q+ + = + + = + =
1 0a ≠
1q = −
{ }na 4 81, 3S S= = 17 18 19 20a a a a+ + +
q 1q ≠
( )
( )
4
1
4
8
1
8
1
11
1
31
a q
S q
a q
S q
−
= =−
− = = −
41 3q+ = 4 2q =
( )16 16
17 18 19 20 1 2 3 4 4 16a a a a q a a a a q S+ + + = + + + = =
{ }na 7 6 52a a a= + ,m na a
2
164m na a a= 1 9
m n
+
3
2
8
3
11
4【解析】设正项等比数列 的公比为 q，且 ，由 ，得 ，
化简得 ，解得 或 （舍去）.
因为 ，所以 ，则 ，解得 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，此时 解得 所以 的最小值为 2.
20．（2020·全国高三其他（理））已知公比不为 的等比数列 满足 ，若 ，则
（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】由等比数列性质得：
21．（2020·全国高三其他（文））已知数列 满足 ，等比数列 满足
，则 的前 6 项和为
A． B． C．63 D．126
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，则 ，
，
等比数列 的首项为 2，公比为 2，
则 的前 6 项和 ，故选 D.
22．（2020·广东省湛江二十一中高三月考（文））已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，
{ }na 0q > 7 6 52a a a= + 6
6 6
2aa q a q
= +
2 2 0q q− − = 2q = 1q = −
2
164m na a a= ( )( )1 1 2
1 1 164m na q a q a− − = 2 64m nq + − = 8m n+ =
1 9 1 1 9 1 9 1 9( ) 10 10 2 28 8 8
n m n mm nm n m n m n m n
+ = + + = + + ≥ + ⋅ =
9n m
m n
=
9 ,
8,
n m
m n
m n
=
+ =
2,
6.
m
n
=
=
1 9
m n
+
1 { }na 15 5 14 6 20a a a a+ = 2 10ma = m =
2 2 2
15 5 14 6 10 10 102 20a a a a a a a+ = + = =
2
10 10a∴ = 10m∴ =
{ }na ( ) 1 21 , 4n nn a na a++ = = { }nb
1 1 2 2,b a b a= = { }nb
63− 126−
( ) 11 n nn a na ++ =
1 22 4a a= = 1 2a =
1 1 2 22, 4b a b a= = = =
∴ { }nb
{ }nb
( )6
7
6
2 1 2
2 2 1261 2S
−
= = − =−
{ }na n nS 4
1
8a =，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】正项等比数列 的前 项和为 ， ， ，
， ，且 ，
解得 ，
．
23．（2020·高三月考）已知 是各项均为正的等比数列， 是它的前 项和，若 ，且
与 的等差中项为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为 ，由题意知， ，即 ，
因为数列各项均为正数，解得 ，所以
24．（2020·黑龙江省高三其他（理））等比数列 的前 n 项和为 ，公比为 q，若 ， ，
则满足 的最小的 n 值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由已知 ，由 ，得 ，解得 ，
3 1
3
4
− =S a 4S =
1
16
1
8
31
16
15
8
{ }na n nS 4
1
8a = 3 1
3
4
− =S a
∴
3
1
3
1
1
1
8
(1 ) 3
1 4
a q
a q aq
= − − = −
0q > 1q ≠
1
11, 2a q= =
4
4
11 (1 ) 152
1 81 2
S
× −
∴ = =
−
{ }na nS n 2 3 4a a a⋅ = 1a
5a 17
32 5S =
31
16
31
32
17
16
17
32
q
2 3 4
1 5
172 32
a a a
a a
⋅ = + = ×
2 3
1 1 1
4
1 5 1 1
17
16
a q a q a q
a a a a q
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + = + =
1 1
1
2
a
q
= =
( )5
5
5
1
11 1 2 3
1
1
1 11 2
1
6
a
S
q
q
× − = =
−
−
= −
{ }na nS 10 533S S= 6 63S =
10( )n n n na S a S> +
1q ≠ 10 533S S=
10 5
1 1(1 ) (1 )331 1
a q a q
q q
− −= ×− − 2q =又 .∴ ， ，∴ ， ，
∴ 化为 ，∵ ，∴ ，
n 的最小值为 5.
25．（2020·黑龙江省校高三一模（理））设 为正项递增等比数列 的前 项和，且
，则 的值为（ ）
A．63 B．64 C．127 D．128
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
即 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
所以 .
26．（2020·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第 70 中高一期末）已知 为等比数列, , ,则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 或 .
由等比数列性质可知
6 63S = 6
1
6
(1 2 ) 631 2
aS
−= =− 1 1a = 12 −= n
na 2 1n
nS = −
10( )n n n na S a S> + 22 31 2 20 0n n− × + > 2 2n ≥ 31 8812 2
n +>
nS { }na n
3 2 4 1 52 2 , 16a a a a a+ = + = 6S
1 3
2
5 16a a a ==
3 4a =
3 2 42 2 ,a a a+ = +
48 2 4qq
+ = +
22 5 2 0q q− + =
2q =
1
2q =
3
1 2 1aa q
= =
( ) ( )6 6
1
6
1 1 1 2
631 1 2
a q
S q
− × −
= = =− −
{ }na 4 7 2a a+ = 5 6 8a a = −
1 10a a+ =
7 5 5− 7−
5 6 4 7 4 7 4 78 2 2, 4a a a a a a a a= = − + = ∴ = − = 4 74, 2a a= = −或
27．（2020·四川省成都市郫都区第四中学高一期末）设{an}是有正数组成的等比数列， 为其前 n 项和．已
知 a2a4＝1，S3＝7，则 S5＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 a2a4＝a32＝1，∴a3＝1，
设{an}的公比为 q，则 q＞0，
∴S3 1＝7，解得 q 或 q （舍去），
∴a1 4，∴S5
28．（多选题）（2020·海南省高三其他）已知正项等比数列 满足 ， ，若设其公比为 q，
前 n 项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意 ，得 ，解得 （负值舍去），选项 A 正确；
，选项 B 正确；
，所以 ，选项 C 错误；
，而 ，选项 D 正确．
29．（2020·山东省曲阜一中高三月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步
不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ）
A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的
2 2
7 4
10 1
4 7
8, 1a aa aa a
= = − = =
2 2
7 4
10 1
4 7
1, 8a aa aa a
= = = = −
1 10 7a a∴ + = −
nS
15
2
31
4
33
4
17
2
2
1 1
q q
= + + 1
2
= 1
3
= −
2
1
q
= = 5
14 1 312
1 41 2
× − = =
−
{ }na 1 2a = 4 2 32a a a= +
nS
2q = 2n
na = 10 2047S = 1 2n n na a a+ ++ <
3 22 4 2q q q= + 2 2 0q q− − = 2q =
12 2 2n n
na −= × =
( ) 12 2 1
2 22 1
n
n
nS +
× −
= = −− 10 2046S =
1 3n n na a a++ = 2 4 3n n na a a+ = >
1
8C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了 42 里路
【答案】ACD
【解析】设此人第 天走 里路，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
因为 ，所以 ，解得 ，
对于 A，由于 ，所以此人第二天走了九十六里路，所以 A 正确；
对于 B，由于 ，所以 B 不正确；
对于 C，由于 ，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以 C 正
确；
对于 D，由于 ，所以 D 正确，故选：ACD
30．（2020·山东省高二期末）若 为数列 的前 项和，且 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．
C．数列 是等比数列 D．数列 是等比数列
【答案】AC
【解析】因为 为数列 的前 项和，且 ，
所以 ，因此 ，
当 时， ，即 ，
所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，故 C 正确；
因此 ，故 A 正确；
又 ，所以 ，故 B 错误；
因为 ，所以数列 不是等比数列，故 D 错误.
31．（2020·眉山市东坡区永寿高级中学高一期中）等比数列 中， ．
n na { }na 1a 1
2q =
6 378S = 1 6
6
1(1 )2= 37811 2
a
S
−
=
− 1 192a =
2
1192 962a = × =
3
1 48 1192 48,4 378 8a = × = >
378 192 186,192 186 6− = − =
4 5 6
1 1 1192 428 16 32a a a + + = × + + =
nS { }na n 2 1,( *)n nS a n N= + ∈
5 16a = − 5 63S = −
{ }na { }1nS +
nS { }na n 2 1,( *)n nS a n N= + ∈
1 12 1S a= + 1 1a = −
2n ≥ 1 12 2n n n n na S S a a− −= − = − 12n na a −=
{ }na 1− 2
4
5 1 2 16a = − × = −
2 1 2 1n
n nS a= + = − + 5
5 2 1 31S = − + = −
1 1 0S + = { }1nS +
{ }na 1 5 31 4a a a= =，（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和．若 ，求 ．
【解析】（1）设 的公比为 ，由题设得 ．
由已知得 ，解得 （舍去）， 或 ．
故 或 ．
（2）若 ，则 ．由 得 ，此方程没有正整数解．
若 ，则 ．由 得 ，解得 ．
综上， ．
32．（2020·山东省嘉祥县萌山高级中学高三其他）已知等比数列 的公比 ，且 的等差中项为
10， .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ， 求数列 的前 项和 .
【解析】（Ⅰ）由题意可得： ，
∴
∵ ，∴ ，∴数列 的通项公式为 .
（Ⅱ） ， ∴
上述两式相减 可得
∴ =
{ }na
nS { }na n 63mS = m
{ }na q 1n
na q −=
4 24q q= 0q = 2q = − 2q =
( ) 12 n
na −= − 12n
na −=
( ) 12 n
na −= − ( )1 2
3
n
nS
− −= 63mS = ( )2 188m− = −
12n
na −= 2 1n
nS = − 63mS = 2 64m = 6m =
6m =
{ }na 1q > 1 3,a a
2 8a =
{ }na
n
n
nb a
= { }nb n nS
( )2
1
1
1 20
8
a q
a q
+ =
=
22 5 2 0q q− + =
1q > 1 4
2
a
q
=
=
{ }na ( )12n
na n N+ ∗= ∈
12n n
nb += 2 3 4 1
1 2 3
2 2 2 2n n
nS += + + + +
1
2 nS = 3 4 1 2
1 2 1
2 2 2 2n n
n n
+ +
−+ + + +
2 3 4 1 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2n n n
nS + += + + + −
1 2 3 1
1 1 1 1+2 2 2 2 2n n n
nS += + + −
1
1 1
1 1
22 2 11 2 2
2
n
n n
n n+
+ +
− +− = −33．（2020·全国高三其他（理））设数列 的前 项和为 ，已知 ， .
（1）证明： 为等比数列；
（2）记 ，数列 的前 项和为 .若 ，求 的取值范围.
【解析】（1）由已知，得 ， ，
当 时， ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，所以 是首项 ，公比 的等比数列.
（2）由（1）可知 ，
所以 .
，
，
因为 ，所以 ，从而 ，
因为 ，
所以 的取值范围为 .
34．（2020·海南省高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
{ }na n nS 1 2S = 1 2n na S+ = +
{ }na
2logn nb a=
1n nb b
λ
+
n nT 10nT ≥ λ
1 1 2a S= = 2 1 2 4a S= + =
2n ≥ 1 2n na S −= +
( ) ( )1 12 2n n n na a S S+ −− = + − + na=
( )1 2 2n na a n+ = ≥
2 12a a=
( )1 2 1n
n
a na
+ = ≥ { }na 1 2a = 2q =
2n
na =
nb n=
( )1
1 1
1 1n nb b n n n n
λ λ λ
+
= = − + +
1 1 1 1 11 2 2 3 1nT n n
λ = − + − + + − +
11 1n
λ = − +
10nT ≥ 101
n
n
λ ≥+
( )10 1n
n
λ +≥
( )10 1 110 1 20n
n n
+ = + ≤
λ 20λ ≥
1 { }na 2 4 320, 8a a a+ = =
{ }na
1
1 2 2 3 1( 1)n
n na a a a a a−
+− +…+ −【解析】(1) 设等比数列 的公比为 q(q>1)，则 ，
整理可得： ，
，
数列的通项公式为： .
(2)由于： ，故：
.
35．（2020·全国高三其他（理））已知数列 的前 n 项和 满足 ，其中 .
（Ⅰ）证明：数列 为等比数列；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 n 项和 .
【解析】（Ⅰ） ，①
∴当 时， ，解得 ；
当 时， ，②
由①-②得 ，
∴ ，
∴ ，
由 得 ，
故 是首项为 ，公比为 的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
{ }na
3
2 4 1 1
2
3 1
20
8
a a a q a q
a a q
+ = + =
= =
22 5 2 0q q− + =
11, 2, 2q q a> = =
12 2 2n n
na −= ⋅ =
( ) ( ) ( )1
1 2 11 1 11 2 21 1 2n nn n nn
n na a − −+ +−
+ = − × × = −−
1
1 2 2 3 1( 1)n
n na a a a a a−
+− +…+ −
3 5 7 9 1 2 12 2 2 2 ( 1) 2n n− += − + − +…+ − ⋅
( )
( )
3 2
2 3
2
2 1 2 8 2( 1)5 51 2
n
n
n
+
− − = = − −
− −
{ }na nS 4 3 2n na S− = n ∗∈N
{ }na
1 42n nb a n= − { }nb nT
4 3 2n na S− =
1n = 1 14 3 2a S− = 1 2a =
2n ≥ 1 14 3 2n na S− −− =
( )1 14 4 3 0n n n na a S S− −− − − =
14 4 3 0n n na a a−− − =
14n na a −=
1 2a = 0na ≠
{ }na 2 4
12 4n
na −= ×∴ ，
则 的前 项和，
．
11 4 4 42
n
n nb a n n−= − = −
{ }nb n
( ) ( )0 1 2 14 4 4 4 4 1 2 3n
nT n−= + + + + − + + + +
( )11 4 41 4 2
n n n +−= − ×−
24 12 23 3
n
n n= − − −
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