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课后提升作业 十四
平面与平面垂直的判定
(45 分钟 70 分)[来源:学。科。网 Z。X。X。K]
一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)
1.已知二面角α-l-β的大小为 60°，m，n 为异面直线，且 m⊥α，n⊥
β，则 m，n 所成的角为 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
【解析】选 B.由题可知，因为有 m⊥α，n⊥β，所以 m，n 所成的角与
二面角α-l-β所成的角相等或者互补，因为二面角α-l-β的大小为 60
°，所以异面直线 m，n 所成的角为 60°.
2.(2016·吉安高二检测)在正四面体 P-ABC 中，D，E，F 分别是棱 AB，
BC，CA 的中点，下列结论中不成立的是 ( )
A.BC∥平面 PDF
B.DF⊥平面 PAE
C.平面 PDF⊥平面 PAE
D.平面 PDF⊥平面 ABC
【解析】选 D.D，F 分别为 AB，AC 的中点，DF 为三角形的中位线，则 BC∥DF，依据线面平行判定定理可知，BC∥平面 PDF；又 E 为 BC 的中点，
连接 AE，PE，则 BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直判定定理可知 BC⊥平
面 PAE，因 BC∥DF，则 DF⊥平面 PAE，又 DF⊂平面 PDF，则平面 PDF⊥
平面 PAE，所以只有 D 不成立.
【延伸探究】本题中若将条件“D，E，F 分别是棱 AB，BC，CA 的中点”
改为“PC⊥AB，AC⊥PC”，则下列结论成立的是 ( )
A.平面 PAB⊥平面 PBC B.平面 PAB⊥平面 PAC
C.平面 PAB⊥平面 ABC D.平面 PBC⊥平面 ABC
【解析】选 D.因为 PC⊥AB，PC⊥AC，AB∩AC=A，所以 PC⊥平面 ABC，
又 PC⊂平面 PBC，所以平面 PBC⊥平面 ABC.
3.(2016·太原高二检测)如图，PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，则图
中互相垂直的平面有 ( )
A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对
【解析】选 D.观察图形，根据空间垂直关系的判定方法，可以得出下面
几组互相垂直的平面：平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAB⊥平面 ABCD，平
面 PCD⊥平面 PAD，平面 PBC⊥平面 PAB，平面 PAD⊥平面 PAB，一共 5
对.
4.设 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中
正确的是 ( )
A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则 m⊥n
B.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m∥n
C.若 m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D.若 m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
【解析】选 D.对于选项 A，分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相
交、异面都可能，但未必垂直；对于选项 B，分别在两个平行平面内的
两条直线平行、异面都可能；对于选项 C，两个平面分别经过两垂直直
线中的一条，不能保证两个平面垂直；对于选项 D，m⊥α，m∥n，则 n
⊥α；又因为 n∥β，则β内存在与 n 平行的直线 l，因为 n⊥α，则 l⊥
α，由于 l⊥α，l⊂β，所以α⊥β.
5.如图，在三棱锥 P-ABC 中，已知 PC⊥BC，PC⊥AC，点 E，F，G 分别是
所在棱的中点，则下面结论中错误的是 ( )
A.平面 EFG∥平面 PBC
B.平面 EFG⊥平面 ABC
C.∠BPC 是直线 EF 与直线 PC 所成的角
D.∠FEG 是平面 PAB 与平面 ABC 所成二面角的平面角
【解析】选 D.A 正确，因为 GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE=G，PC∩CB=C，所以平面 EFG∥平面 PBC；
B 正确，因为 PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，
所以 GF⊥BC，GF⊥AC，又 BC∩AC=C，
所以 GF⊥平面 ABC，
所以平面 EFG⊥平面 ABC；
C 正确，易知 EF∥BP，
所以∠BPC 是直线 EF 与直线 PC 所成的角；
D 错误，因为 GE 与 AB 不垂直，所以∠FEG 不是平面 PAB 与平面 ABC 所
成二面角的平面角.
6.(2016·嘉峪关高一检测)三棱锥的顶点在底面的射影为底面正三角
形的中心，高是 ，侧棱长为 ，那么侧面与底面所成的二面角是
( )
A.60° B.30° C.45° D.75°
【解析】选 A.过 B 作 AC 边上的中线 BD，交 AC 于 D，连接 VD，
则 V 在底面 ABC 上的射影 O 点在中线 BD 上，且 BO=2OD，
因为 VO⊥平面 ABC，
所以 BO2=VB2-VO2，
又 VO= ，VB= ，
所以 BO=2，OD=1，[来源:学_科_网 Z_X_X_K]
所以 cos∠VDO= ，所以∠VDO=60°.
即平面 VAC 与平面 ABC 所成二面角为 60°.
7.(2016·赣州高二检测)如图，P 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 BC1 上的动
点，下列说法：
①AP⊥B1C；②BP 与 CD1 所成的角是 60°；③ 为定值；④B1P∥平
面 D1AC；⑤二面角 P-AB-C 的平面角为 45°.
其中正确说法的个数有 ( )
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
【解析】选 C.①AB⊥BC，AB⊥BB1，所以平面 ABP⊥平面 BB1C1C，从而 AP
⊥B1C 正确；②由于 CD1∥A1B，并且 BC1 与 A1B 的夹角是 60°，故 BP 与
CD1 所成的角是
60°正确；③虽然点 P 变化，但 P 到 AD1 的距离始终不变，故 为
定值正确；⑤P 点变化，但二面角 P-AB-C 都是面 AD1C1B 与面 ABCD 所成
的角，故二面角 P-AB-C 的平面角为 45°正确.
8.如图，将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C，有如下四个
结论：
①AC⊥BD；②△ACD 是等边三角形；③AB 与 CD 所成的角为 60°；④AB
与平面 BCD 所成的角为 60°.其中错误的结论是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
【解析】选 D.如图所示，取 BD 的中点 E，
连接 AE，EC，AC，易知 BD⊥面 AEC，所以①正确；[
设正方形的边长为 a，则 AE=EC= a，
由勾股定理可得 AC=a，
所以△ACD 是等边三角形，②正确；
取 BC 的中点 F，AC 的中点 G，
连接 EF，EG，FG，则 EF=FG= a，EG= a，
所以 AB 与 CD 所成的角为 60°，③正确；
AB 与平面 BCD 所成的角为∠ABE=45°，所以④错误.
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
9.(2016·济宁高一检测)如图，AB 为圆 O 的直径，点 C 在圆周上(异于
点 A，B)，直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面，点 M 为线段 PB的中点.有以
下四个命题：①PA∥平面 MOB；②MO∥平面 PAC；
③OC⊥平面 PAC；④平面 PAC⊥平面 PBC.
其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)
【解析】①不正确，因为 PA⊂平面 MOB；
②正确，因为 MO∥PA，而且 MO⊄平面 PAC，
所以 MO∥平面 PAC；
③不正确，OC不垂直于 AC；
④正确，因为 BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA=A，
所以 BC⊥平面 PAC.
答案：②④
【补偿训练】(2016·广州高一检测)如图，已知六棱锥 P-ABCDEF 的底
面是正六边形，PA⊥平面 ABC，PA=2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②
平面 ABC⊥平面 PBC；③直线 BC∥平面 PAE；④∠PDA=45°.
其中正确的有____________(把所有正确的序号都填上).【解析】对于①，由 PA⊥平面 ABC，AE⊂平面 ABC，得 PA⊥AE，又由正
六边形的性质得 AE⊥AB，PA∩AB=A，得 AE⊥平面 PAB，又 PB⊂平面
PAB，所以 AE⊥PB，①正确；对于②，因为平面 PAB⊥平面 ABC，所以平
面 ABC⊥平面 PBC 不成立，②错；对于③，由正六边形的性质得 BC∥
AD，又 AD⊂平面 PAD，所以 BC∥平面 PAD，所以直线 BC∥平面 PAE 也不
成立，③错；对于④，在 Rt△PAD 中，PA=AD=2AB，所以∠PDA=45°，
所以④正确.
答案：①④
10.(2016·台州高二检测)A 是锐二面角α-l-β的α内一点，AB⊥β于
点 B，AB= ，A 到 l 的距离为 2，则二面角α-l-β的平面角大小为
________.
【解析】由题可知，设过点 A 作 l 的垂线，垂足为 C，由于 AB⊥β，则
三角形 ABC 为直角三角形，∠ACB 就是二面角α-l-β的平面角，BC=
=1，因此∠ACB=60°，即二面角α-l-β的平面角是 60°.
答案：60°
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
11.如图所示，已知三棱锥 P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D 为 AB
的中点，且△PDB 是正三角形，PA⊥PC.
(1)求证：平面 PAC⊥平面 ABC.(2)求二面角 D-AP-C 的正弦值.
【解析】(1)因为 D 是 AB 的中点，△PDB 是正三角形，AB=20，所以 PD=
AB=10，所以 AP⊥PB.
又 AP⊥PC，PB∩PC=P，
所以 AP⊥平面 PBC.
又 BC⊂平面 PBC，所以 AP⊥BC.
又 AC⊥BC，AP∩AC=A，所以 BC⊥平面 PAC.
又 BC⊂平面 ABC，所以平面 PAC⊥平面 ABC.
(2)因为 PA⊥PC，且 PA⊥PB，
所以∠BPC 是二面角 D-AP-C 的平面角.
由(1)知 BC⊥平面 PAC，则 BC⊥PC，
所以 sin∠BPC= = .
12.(2016·山东高考)在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆 O
的直径,EF 是上底面圆 O'的直径,FB 是圆台的一条母线.
(1)已知 G,H 分别为 EC,FB 的中点,求证:GH∥平面 ABC.
(2)已知 EF=FB= AC=2 ,AB=BC.求二面角 F-BC-A 的余弦值.[来源:Z#xx#k.Com]
【解析】(1)如图,设 FC 中点为 I,连接 GI,HI,在△CEF 中,GI∥EF,
又 EF∥OB,所以 GI∥OB;在△CFB 中,HI∥BC,
又 HI∩GI=I,所以,平面 GHI∥平面 ABC,
又因为 GH⊂平面 GHI,GH⊄平面 ABC,
所以 GH∥平面 ABC.
(2)如图,连接 OO',过点 F 作 FM 垂直 OB 于点 M,则有 FM∥OO'.又 OO'⊥
平面 ABC,所以 FM⊥平面 ABC,可得 FM= =3.
过点 M作 MN⊥BC,垂足为 N,易得 FN⊥BC,
从而∠FNM 为二面角 F-BC-A 的平面角.
又 AB=BC,AC 为下底面圆的直径,
可得 MN=BMsin45°= .
由勾股定理可得,FN= ,从而 cos∠FNM= .
所以二面角 F-BC-A 的余弦值为 .
【能力挑战题】
如图，四边形 ABCD 是正方形，△PAB 与△PAD 均是以 A 为直角顶点的等
腰直角三角形，点 F 是 PB 的中点，点 E 是边 BC 上的任意一点.(1)求证：AF⊥EF.
(2)求二面角 A-PC-B 的平面角的正弦值.
【解析】(1)因为 F 是 PB 的中点，且 PA=AB，所以 AF⊥PB，
因为△PAB 与△PAD 均是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，
所以 PA⊥AD，PA⊥AB.
因为 AD∩AB=A，AD⊂平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD，所以 PA⊥平面 ABCD.
因为 BC⊂平面 ABCD，所以 PA⊥BC.
因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BC⊥AB.
因为 PA∩AB=A，PA⊂平面 PAB，AB⊂平面 PAB，[来源:学+科+网 Z+X+X+K]
所以 BC⊥平面 PAB.
因为 AF⊂平面 PAB，所以 BC⊥AF.
因为 PB∩BC=B，PB⊂平面 PBC，BC⊂平面 PBC，
所以 AF⊥平面 PBC.
因为 EF⊂平面 PBC，所以 AF⊥EF.
(2)作 FH⊥PC 于点 H，连接 AH，
因为 AF⊥平面 PBC，PC⊂平面 PBC，所以 AF⊥PC.
因为 AF∩FH=F，AF⊂平面 AFH，FH⊂平面 AFH，
所以 PC⊥平面 AFH.
因为 AH⊂平面 AFH，所以 PC⊥AH.所以∠AHF 为二面角 A-PC-B 的平面角.
设正方形 ABCD 的边长为 2，则 PA=AB=2，AC=2 ，
在 Rt△PAC 中，
PC= =2 ，AH= = ，
在 Rt△AFH 中，sin∠AHF= = ，
所以二面角 A-PC-B 的平面角的正弦值为 .
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