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课时提升作业 十二
双曲线及其标准方程
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.设θ∈ ,则关于 x,y 的方程 - =1 所表示的曲线是 ( )
A.焦点在 y 轴上的双曲线 B.焦点在 x 轴上的双曲线
C.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 x 轴上的椭圆
【解析】选 C.方程即 + =1,因为θ∈ ,所以 sinθ>0,cosθsinθ,故方程表示焦点在 y 轴上的椭圆.
【补偿训练】在方程 mx2-my2=n 中,若 mn1)的两焦点为 F1,F2,P 在双曲线上,且满足
|PF1|+|PF2|=2 ,则△PF1F2 的面积为 ( )
A. B.1 C.2 D.4
【解析】选 B.不妨设 F1,F2 是双曲线的左、右焦点,
P 为右支上一点,
|PF1|-|PF2|=2 ,①
|PF1|+|PF2|=2 ,②
由①②解得:
|PF1|= + ,|PF2|= - ,
得:|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2,
所以 PF1⊥PF2,
又由①②分别平方后作差得:
|PF1||PF2|=2,
所以 = |PF1|·|PF2|=1.
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.(2016·唐山高二检测)已知 P 是双曲线 - =1 上一点,F 1,F2 是双曲线的两个焦点,若
|PF1|=17,则|PF2|的值为 .
【解析】由条件知 a2=64,即 a=8,c2=b2+a2=100,c=10,
所以双曲线右支上的点到左焦点 F1 的最短距离 a+c=18>17,故点 P 在双曲线左支上.
所以|PF2|-|PF1|=2a=16,
即|PF2|=16+|PF1|=33.
答案:33
【误区警示】本题易直接利用定义求解,忽视右支上的点到左焦点的最短距离为 a+c,而出现
错误结论|PF2|=1 或|PF2|=33.
【补偿训练】在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-6,0)和 C(6,0),若顶点 B 在双
曲线 - =1 的左支上,则 = .
【解题指南】由正弦定理可将 转化为边的比,而△ABC 的顶点 A,C 已知,故边 AC
长可求,B 在双曲线上,由定义可求|BC|-|BA|.
【解析】由条件可知|BC|-|BA|=10,且|AC|=12,又在△ABC 中,有 = = =2R,从而
= = .
答案:
7.(2016·烟台高二检测)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为 F1(- ,0),点 P 位于
该双曲线上,线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是 .
【解析】设双曲线方程为 - =1,因为 c= ,c2=a2+b2,所以 b2=5-a2,所以 - =1.由
于线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则 P 点的坐标为( ,4).代入双曲线方程得 - =1,解
得 a2=1 或 a2=25(舍去),所以双曲线方程为 x2- =1.
答案:x2- =1
8.已知双曲线 - =1 上一点 M 的横坐标为 5,则点 M 到左焦点的距离是 .
【解题指南】利用双曲线的定义求解.
【解析】由于双曲线 - =1 的右焦点为 F(5,0),将 xM=5 代入双曲线方程可得|yM|= ,即
为点 M 到右焦点的距离,由双曲线的定义知 M 到左焦点的距离为 +2×3= .
答案:
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.已知双曲线与椭圆 + =1 有相同的焦点,且与椭圆的一个交点的纵坐标为 4,求双曲线
的方程.
【解析】椭圆的焦点为 F1(0,-3),F2(0,3),故可设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),且
c=3,a2+b2=9.由条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为 4,可得两交点的坐标为
A( ,4),B(- ,4),
由点 A 在双曲线上知, - =1.
解方程组 得
所以所求双曲线的方程为 - =1.
10.如图,在△ABC 中,已知|AB|=4 ,且三内角 A,B,C 满足 2sinA+sinC=2sinB,建立适当的
坐标系,求顶点 C 的轨迹方程.
【解析】以 AB 边所在的直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系如图所示,
则 A(-2 ,0),B(2 ,0).
由正弦定理,得 sinA= ,sinB= ,sinC= (R 为△ABC 的外接圆半径).
因为 2sinA+sinC=2sinB,
所以 2a+c=2b,即 b-a= ,
从而有|CA|-|CB|= |AB|=2 )
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.(2016·合肥高二检测)已知双曲线 - =1 的焦点为 F1,F2,点 M 在双曲线上,且 MF1⊥x
轴,则 F1 到直线 F2M 的距离为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选 C.设 F1 到直线 F2M 的距离为 d,
不妨设点 F1(-3,0),容易计算得出
|MF1|= ,
|MF2|-|MF1|=2 .
解得|MF2|= .
而|F1F2|=6,在直角三角形 MF1F2 中,
由 |MF1|·|F1F2|= |MF2|·d,
求得 F1 到直线 F2M 的距离 d 为 .
2.(2016·沈阳高二检测)已知点 P 在曲线 C1: - =1 上,点 Q 在曲线 C2:(x-5)2+y2=1 上,
点 R 在曲线 C3:(x+5)2+y2=1 上,则|PQ|-|PR|的最大
值是 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
【解析】选 C.由双曲线的知识可知:C1: - =1 的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0),且
|PF1|-|PF2|=8,
而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1 和(x-5)2+y2=1 的圆心,两圆(x+5)2+y2=1 和(x-5)2+y2=1 的
半径分别是 r1=1,r2=1,
所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,
所以|PQ|-|PR|的最大值为:(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10.
【补偿训练】(2016·太原高二检测)设 F1,F2 分别是双曲线 x2- =1 的左、右焦点.若点 P 在
双曲线上,有 · =0,则| + |= ( )
A. B.2 C. D.2
【解析】选 B.因为 · =0,所以 PF1⊥PF2,
即△PF1F2 为直角三角形,
所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2 )2=40,
| + |=
=
= =2 .
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.(2016·黄冈高二检测)已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),点 P 是双曲线右支上
的动点,则|PF|+|PA|的最小值是 .
【解析】由双曲线 - =1,得 c=4,
所以左焦点 F(-4,0),右焦点 F′(4,0),
由双曲线的定义得:|PF|-|PF′|=2a=4,
所以|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|=4+ =9,此时 P 为
AF′与双曲线的交点,即|PF|+|PA|的最小值为 9.
答案:9
4.(2016·杭州高二检测)已知双曲线的两个焦点为 F 1(- ,0),F2( ,0),M 是此双曲线
上一点,若 · =0,| |·| |=2,则该双曲线的方程是 .
【解析】设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),
由题意得||MF1|-|MF2||=2a,
|MF1|2+|MF2|2=(2 )2=20,
又因为| |·| |=2,
所以|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|=4a2,
即 20-2×2=4a2,所以 a2=4,b2=c2-a2=5-4=1,
所以双曲线的方程为 -y2=1.
答案: -y2=1
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
5.当 0°≤α≤180°时,方程 x2cosα+y2sinα=1 表示的曲线怎样变化?
【解析】(1)当α=0°时,方程为 x2=1,它表示两条平行直线 x=1 和 x=-1.
(2)当 0°
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