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课时提升作业 十六
抛物线的简单几何性质
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.(2016 · 吉 安 高 二 检 测 ) 已 知 F 是 抛 物 线 y2=x 的 焦 点 ,A,B 是 该 抛 物 线 上 的 两
点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 ( )
A. B.1 C. D.
【 解 析 】 选 C. 由 抛 物 线 的 定 义 , 有 |AF|+|BF|= + =xA+xB+p=3, 故
xA+xB=3-p= ,故线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 .
【延伸探究】若将上题改为 F 是抛物线 x2=2y 的焦点,A,B 是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=6,
则线段 AB 的中点到 x 轴的距离为 .
【解析】|AF|+|BF|=6,由抛物线的定义可得|AD|+|BE|=6,又线段 AB 的中点到抛物线准线
y=- 的距离为 (|AD|+|BE|)=3,所以线段 AB 的中点到 x 轴的距离为 .
答案:
2.(2016·温州高二检测)已知抛物线 y2=6x 的焦点为 F,准线为 1,点 P 为抛物线上一点,且
在第一象限,PA⊥l,垂足为 A,|PF|=2,则直线 AF 的倾斜角为 ( )
A. B. C. D.
【解题指南】可先画出图形,得出 F ,由抛物线的定义可以得出|PA|=2,从而可以得
出 P 点的横坐标,代入抛物线方程便可求出 P 点的纵坐标,这样即可得出 A 点的坐标,从而求
出直线 AF 的斜率,根据斜率便可得出直线 AF 的倾斜角.
【解析】选 D.如图,由抛物线方程得 F ;|PF|=|PA|=2,所以 P 点的横坐标为 2- = ;
所以 y2=6· ,P 在第一象限,所以 P 点的纵坐标为 ;所以 A 点的坐标 ;所以
AF 的斜率为 =- ;所以 AF 的倾斜角为 .
3.已知直线 l 经过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,且与抛物线交于 P,Q 两点,由 P,Q 分别向准
线 引 垂 线 PK,QS, 垂 足 分 别 为 K,S, 如 果 |PF|=a,|QF|=b,M 为 KS 的 中 点 , 则 |MF| 的 值 为
( )
A.a+b B. (a+b)
C.ab D.
【解析】选 D.如图,根据抛物线的定义,有|PF|=|PK|,|QF|=|QS|,易知△KFS 为直角
三角形,故要求的是直角三角形斜边上的中线长.在直角梯形 PKSQ 中,容易求得
|KS|=2 .
故|FM|= |KS|= .
4.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直, l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为
C 的准线上一点,则△ABP 的面积为 ( )
A.18 B.24 C.36 D.48
【解析】选 C.如图所示,
设抛物线方程为 y2=2px(p>0).
因为当 x= 时,|y|=p,
所以 p= = =6.
又 P 到 AB 的距离始终为 p,
所以 S△ABP= ×12×6=36.
5.(2015·浙江高考)如图,设抛物线 y 2=4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的
点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选 A. = = = = = .
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.设抛物线 y2=mx 的准线与直线 x=1 的距离为 3,则抛物线的方程为 .
【解析】当 m>0 时,准线方程为 x=- =-2,所以 m=8,
此时抛物线方程为 y2=8x;
当 m0)上,且一直角边
的方程是 y=2x,斜边长是 5,求此抛物线的方程.
【解析】如图,设直角三角形为 AOB,直角顶点为 O,AO 边的方程为 y=2x,
则 OB 边的方程为 y=- x.
由 得 A 点坐标为 .
由 得 B 点坐标为(8p,-4p).
因为|AB|=5,
所以 =5.
因为 p>0,解得 p= ,
所以所求抛物线方程为 y2= x.
10.(2016·淮安高二检测)如图,已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 P(2,0)的直线交抛物线
于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线 AF,BF 分别与抛物线交于点 M,N.
(1)求 y1y2 的值.
(2)记直线 MN 的斜率为 k1,直线 AB 的斜率为 k2,证明: 为定值.
【解题指南】(1)设出直线 AB 的方程,把直线方程代入抛物线方程中整理化简,然后根据一
元二次方程根与系数的关系可求.(2)表示出斜率,根据根与系数的关系代入化简可求得定值.
【解析】(1)依题意,设 AB 的方程为 x=my+2,代入 y2=4x,得 y2-4my-8=0,从而 y1y2=-8.
(2)设 M(x3,y3),N(x4,y4),
= × = × = ,
设直线 AM 的方程为 x=ny+1,代入 y2=4x 消去 x 得:y2-4ny-4=0,所以 y1y3=-4,
同理 y2y4=-4, = = = ,
由(1)y1y2=-8,所以 =2 为定值.
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.(2016·成都高二检测)设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为抛物线上不同的三点,点 F
是△ABC 的重心,O 为坐标原点,△OFA,△OFB,△OFC 的面积分别为 S 1,S2,S3,则 + +
= ( )
A.9 B.6 C.3 D.2
【解析】选 C.设 A,B,C 三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),
因为抛物线 y2=4x 的焦点 F 的坐标为(1,0),
所以 S1= |y1|,S2= |y2|,S3= |y3|,
所以 + + = ( + + )=x1+x2+x3,
因为点 F 是△ABC 的重心,
所以 x1+x2+x3=3,所以 + + =3.
2.抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是 ( )
A. B. C. D.3
【 解 析 】 选 A. 设 抛 物 线 y=-x2 上 一 点 为 (m,-m2), 该 点 到 直 线 4x+3y-8=0 的 距 离 为
,当 m= 时,取得最小值为 .
【一题多解】选 A.设与 4x+3y-8=0 平行的直线 l 的方程为 4x+3y+m=0,
由 消去 y 得,3x2-4x-m=0,
由Δ=0 得,16+12m=0,解得 m=- .
所以 l 的方程为 4x+3y- =0.
因此抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 的距离的最小值是 d= = .
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.已知点 P 是抛物线 y2=4x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A(4,6),则|PA|+|PM|的
最小值是 .
【解题指南】将 P 到 y 轴的距离,转化为点 P 到焦点的距离,当 A,P,F 共线时,|PA|+|PM|最
小.
【解析】由 y2=4x,得 p=2,
所以 F(1,0),
如图,|PM|=|PF|-
=|PF|-1,
所以|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1
= -1=3 -1.
答案:3 -1
4.(2016·南昌高二检测)已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相
交于点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|∶|MN|= .
【解析】因为抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F(0,1),点 A 坐标为(2,0),所以抛物线的准线方程为
l:y=-1,直线 AF 的斜率为 k= =- .过 M 作 MP⊥l 于 P,根据抛物线的定义得|FM|=|PM|.
因为 Rt△MPN 中,tan∠MNP=-k= ,
所以 = ,
可得|PN|=2|PM|,
得|MN|= = |PM|.
所以 = ,可得|FM|∶|MN|=|PM|∶|MN|=1∶ .
答案:1∶
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
5.(2016·长春高二检测)点 M(m,4)(m>0)为抛物线 x 2=2py(p>0)上一点,F 为其焦点,已知
|FM|=5.
(1)求 m 与 p 的值.
(2)以 M 点为切点作抛物线的切线,交 y 轴于点 N,求△FMN 的面积.
【解析】(1)由抛物线定义知,|FM|= +4=5,所以 p=2.所以抛物线的方徎为 x2=4y,
又由 M(m,4)在抛物线上,所以 m=4.
故 p=2,m=4.
(2)设过 M 点的切线方程为 y-4=k(x-4),
代入抛物线方程消去 y 得,x2-4kx+16k-16=0,
其判别式Δ=16k2-64(k-1)=0,所以 k=2,
切线方程为 y=2x-4,
切线与 y 轴的交点为 N(0,-4),抛物线的焦点 F(0,1),
所以 S△FMN= |FN|·m= ×5×4=10.
6.(2016·福州高二检测)如图,抛物线 E:y 2=4x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 A.点 C
在抛物线 E 上,以 C 为圆心,|CO|为半径作圆,设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M,N.
(1)若点 C 的纵坐标为 2,求|MN|.
(2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圆 C 的半径.
【解析】(1)抛物线 y2=4x 的准线 l 的方程为 x=-1.
由点 C 的纵坐标为 2,得点 C 的坐标为(1,2),
所以点 C 到准线 l 的距离 d=2,又|CO|= .
所以|MN|=2 =2 =2.
(2)设 C ,则圆 C 的方程为 +(y-y0)2= + ,即 x2- x+y2-2y0y=0.由
x=-1,得 y2-2y0y+1+ =0,
设 M(-1,y1),N(-1,y2),则
由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4,
所以 +1=4,解得 y0=± ,此时Δ>0.
所以圆心 C 的坐标为 或 ,
从而|CO|2= ,|CO|= ,即圆 C 的半径为 .
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