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课时提升作业 十七
抛物线方程及性质的应用
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.(2016·郑州高二检测)过点(-1,0)且与抛物线 y 2=x 有且仅有一个公共点的直线有
( )
A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条
【解析】选 C.点(-1,0)在抛物线 y2=x 的外部,故过(-1,0)且与抛物线有且仅有一个公共点
的直线有三条,其中两条为切线,一条为 x 轴.
【延伸探究】若把本题中的点(-1,0)改为(1,1),则此时与 y 2=x 只有一个公共点的直线有
( )
A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条
【解析】选 B.因为点(1,1)在抛物线 y2=x 上,所以作与 y2=x 只有一个公共点的直线有两条,
其中一条为切线,一条为平行于 x 轴的直线.
2.过点(1,0)作斜率为-2 的直线,与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,则弦 AB 的长
为 ( )
A.2 B.2 C.2 D.2
【解析】选 B.设 A(x1,y1),B(x2,y2).
由题意知 AB 的方程为 y=-2(x-1),即 y=-2x+2.
由 得 x2-4x+1=0,
所以 x1+x2=4,x1x2=1.
所以|AB|= =
= =2 .
3.(2016·福州高二检测)若抛物线 y2=x 上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=x+b 对称,且
y1y2=-1,则实数 b 的值为 ( )
A.-3 B.3 C.2 D.-2
【解析】选 D.因为抛物线 y2=x 上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=x+b 对称,所以
=-1,所以 =-1,所以 y1+y2=-1.
因为 y1y2=-1,所以 x1+x2= + =(y1+y2)2-2y1y2=3,
所以两点 A(x1,y1),B(x2,y2)中点坐标为 .
代入 y=x+b,可得 b=-2.
4.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的
中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 ( )
A.x=1 B.x=-1
C.x=2 D.x=-2
【解析】选 B.设 A(x1,y1),B(x2,y2),
代入抛物线方程得:
①-②得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).
又因为 y1+y2=4,所以 = = =k=1,所以 p=2
所以所求抛物线的准线方程为 x=-1.
5.(2016·西安高二检测)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过点 F 且与 C 交于 A,B 两点.
若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为 ( )
A.y=x-1 或 y=-x+1
B.y= (x-1)或 y=- (x-1)
C.y= (x-1)或 y=- (x-1)
D.y= (x-1)或 y=- (x-1)
【解析】选 C.由题意,可设|BF|=x,则|AF|=3x,设直线 l 与抛物线的准线相交于点 M,则由抛
物线的定义可知: = ,所以|MB|=2x,所以直线 l 的倾斜角为
60°或 120°,即直线 l 的斜率为± .
【误区警示】本题容易将倾斜角当作 45°而错选 A.
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.(2016·临沂高二检测)直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 有且只有一个公共点,则 k= .
【 解 析 】 当 k=0 时 , 直 线 与 抛 物 线 有 唯 一 交 点 , 当 k ≠ 0 时 , 联 立 方 程 消 y
得:k2x2+4(k-2)x+4=0,由题意Δ=16(k-2)2-16k2=0,解得 k=1.
答案:0 或 1
7.(2016·广州高二检测)在抛物线 y=4x2 上求一点,使该点到直线 y=4x-5 的距离最短,则该
点的坐标是 .
【解析】设与直线 y=4x-5 平行的直线为 y=4x-b,代入 y=4x2 得 4x2-4x+b=0.
令Δ=16-16b=0,解得 b=1,
所以与直线 y=4x-5 平行的直线为 y=4x-1,所以直线 y=4x-1 与抛物线相切,切点到 y=4x-5
的距离最短.
由 4x2-4x+1=0,解得 x= ,
所以 y=1,所求点为 .
答案:
8.(2016·长春高二检测)抛物线焦点在 y 轴上,截得直线 y= x+1 的弦长为 5,则抛物线的标
准方程为 .
【解题指南】设出抛物线的方程利用弦长公式求解.
【解析】设抛物线方程为 x2=my,
联立抛物线方程与直线 y= x+1 的方程并消元,
得:2x2-mx-2m=0,设直线 y= x+1 与抛物线的交点坐标为(x1,y1),(x2,y2),
Δ=(-m)2-4×2×(-2m)=m2+16m>0,解得 m>0 或 m0,即 k< 时, x1+x2=1-k,x1x2= , 所以|AB|= = = = . 因为|AB|=3 , 所以 =3 ,解得 k=-4. (2)因为三角形的面积为 9,底边长为 3 , 所以三角形高 h= = . 因为点 P 在 x 轴上,所以设 P 点坐标是(x0,0), 则点 P 到直线 y=2x-4 的距离就等于 h, 所以 h= = , 解得 x0=-1 或 5. 所以 P 点坐标为(-1,0)或(5,0). 10.已知抛物线 y2=-x 与直线 y=k(x+1)相交于 A,B 两点. (1)求证:OA⊥OB. (2)当△OAB 的面积等于 时,求 k 的值.
【解析】(1)如图所示,由
消去 x 得,ky2+y-k=0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得 y1y2=-1,y1+y2=- .
因为 A,B 在抛物线 y2=-x 上,
所以 =-x1, =-x2,所以 · =x1x2.
因为 kOA·kOB= · = = =-1,所以 OA⊥OB.
(2)设直线与 x 轴交于点 N,显然 k≠0.
令 y=0,得 x=-1,即 N(-1,0).
因为 S△OAB=S△OAN+S△OBN
= |ON||y1|+ |ON||y2|
= |ON|·|y1-y2|,
所以 S△OAB= ·1·
= .
因为 S△OAB= ,
所以 = ,解得 k=± .
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.(2016·武汉高二检测)抛物线 y=ax2(a>0)与直线 y=kx+b 两个交点的横坐标分别为 x1,x2,
而 x3 是直线与 x 轴交点的横坐标,则 ( )
A.x3=x1+x2 B.x3= +
C.x1x2=x1x3+x2x3 D.x1x3=x2x3+x1x2
【解析】选 C.将 y=kx+b 代入 x2= (a>0),得
ax2-kx-b=0,x1+x2= ,x1x2=- ,
+ = =- .
而直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标 x3=- ,
所以 + = ,
所以 x1x2=x2x3+x1x3.
2.(2016·南宁高二检测)已知抛物线 C:y2=8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点,且斜率为 k 的直
线与 C 交于 A,B 两点,若 · =0,则 k= ( )
A. B. C. D.2
【解题指南】先求出抛物线的焦点,列出过焦点的直线方程,与抛物线联立,化简成关于 x 的
一元二次方程,利用根与系数的关系代入求解.
【解析】选 D.由题意知,直线 AB 的方程为 y=k(x-2),将其代入 y2=8x
得,k2x2-4(k2+2)x+4k2=0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),
则 x1+x2= ,x1x2=4. ①
又 y1+y2=k(x1+x2)-4k, ②
y1y2=k2. ③
因为 · =0,
所以(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=0,
即 x1x2+2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+8=0. ④
由①②③④得,k=2.
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.直线 y=x-3 与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点,过 A,B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别
为 P,Q,则梯形 APQB 的面积为 .
【解析】由 得 x2-10x+9=0,
所以 x1+x2=10,|y1-y2|=8,
即|AP|+|BQ|=x1+x2+p=10+2=12,
|PQ|=|y1-y2|=8,
所以 S 梯形 APQB= ·|PQ|=48.
答案:48
4.已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点.若|FA|=2|FB|,
则 k= .
【解析】设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
由 消去 y 得,k2x2+4x(k2-2)+4k2=0,
所以 x1+x2= ,x1x2=4.
由抛物线定义得|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,
又因为|AF|=2|BF|,所以 x1+2=2x2+4,
所以 x1=2x2+2 代入 x1x2=4,得 +x2-2=0,
所以 x2=1 或-2(舍去),所以 x1=4,
所以 =5,所以 k2= ,
因为 k>0,所以 k= .
则Δ=2-4·k2·4k2=16×4(1-k2)>0 符合题意.
答案:
【补偿训练】在已知抛物线 y=x2 上存在两个不同的点 M,N 关于直线 y=kx+ 对称,则 k 的取
值范围为 .
【解析】设 M(x1, ),N(x2, )关于直线 y=kx+ 对称,
所以 =- ,即 x1+x2=- .设 MN 的中点为(x0,y0),则 x0=- ,y0=k× + =4.
因中点在 y=x2 内,有 4> ⇒k2> ,
所以 k> 或 k 或 k0),直线 y=kx+2 与 E 交于 A,B
两点,且 · =2,其中 O 为原点.
(1)求抛物线 E 的方程.
(2)点 C 坐标为(0,-2),记直线 CA,CB 的斜率分别为 k1,k2,证明: + -2k2 为定值.
【解析】(1)将 y=kx+2 代入 x2=2py,得 x2-2pkx-4p=0,
其中Δ=4p2k2+16p>0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),
则 x1+x2=2pk,x1x2=-4p.
· =x1x2+y1y2=x1x2+ · =-4p+4.
由已知得,-4p+4=2,p= ,
所以抛物线 E 的方程为 x2=y.
(2)由(1)知,x1+x2=k,x1x2=-2.
k1= = = =x1-x2,
同理 k2=x2-x1,
所以 + -2k2=2(x1-x2)2-2(x1+x2)2
=-8x1x2=16.
所以 + -2k2 为定值.
6.(2015·福建高考)已知点 F 为抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点,点 A(2,m)在抛物线 E 上,且
|AF|=3.
(1)求抛物线 E 的方程.
(2)已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆,
必与直线 GB 相切.
【解析】方法一:(1)由抛物线的定义得 =2+ ,
因为 =3,即 2+ =3,
解得 p=2,
所以抛物线 E 的方程为 y2=4x.
(2)因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上,
所以 m=±2 ,由抛物线的对称性,
不妨设 A(2,2 ),
由 A(2,2 ),F(1,0)可得直线 AF 的方程为
y=2 (x-1).
由 得 2x2-5x+2=0,
解得 x=2 或 x= ,从而 B .
又 G(-1,0),
所以 kGA= = ,
kGB= =- ,
所以 kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点 F 到直线 GA,GB 的距离相等,故以 F 为圆心且与
直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切.
方法二:(1)同方法一.
(2)设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r.
因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上,
所以 m=±2 ,由抛物线的对称性,不妨设 A(2,2 ),
由 A(2,2 ),F(1,0)可得直线 AF 的方程为
y=2 (x-1).
由 得 2x2-5x+2=0,
解得 x=2 或 x= ,从而 B .
又 G(-1,0),故直线 GA 的方程为 2 x-3y+2 =0,
从而 r= = .
又直线 GB 的方程为 2 x+3y+2 =0,
所以点 F 到直线 GB 的距离 d= = =r.
这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切.
【补偿训练】(2016·天水高二检测)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线
与抛物线交于 A,B 两点.
(1)若 p=2,求线段 AF 中点 M 的轨迹方程.
(2)若直线 AB 的方向向量为 n=(1,2),当焦点为 F 时,求△OAB 的面积.
(3)若 N 是抛物线 C 准线上的点,求证:直线 NA,NF,NB 的斜率成等差数列.
【解析】(1)设 A(x0,y0),M(x,y),焦点 F(1,0),
则由题意得 即
所求的轨迹方程为 4y2=4(2x-1),
即 y2=2x-1.
(2)y2=2x,F ,
直线 y=2 =2x-1,
由
得 y2-y-1=0,
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则
|AB|= |y1-y2|= ,设点 O 到直线 AB 的距离为 d,
则 d= ,
S△OAB= d|AB|= .
(3)显然直线 NA,NB,NF 的斜率都存在,分别设为 k1,k2,k3,
点 A,B,N 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),N ,
设直线 AB:x=ay+ ,
代入抛物线得 y2-2apy-p2=0,
所以 y1y2=-p2,
又 =2px1, =2px2,
所以 x1+ = + = ( +p2),
x2+ = + = + = ( +p2),
所以 k1+k2= +
= + =- ,
而 k3= =- ,
故 k1+k2=2k3,
所以直线 NA,NF,NB 的斜率成等差数列.
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