人教A版高中数学选修1-1课时提升作业 十四 2.2.2 双曲线的简单几何性质 第2课时 双曲线方程及性质的应用 精讲优练课型 Word版含答案.doc

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业 十四 双曲线方程及性质的应用 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2015·全国卷Ⅰ)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y2=1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个焦点,若 · 0,b>0)的左、右焦点,过 F1 作垂直于 x 轴 的直线交双曲线于 A,B 两点.若△ABF2 为直角三角形,则双曲线的离心率为 (  ) A.1+ B.1± C. D. ±1 【解析】选 A.因为△ABF2 是直角三角形, 所以∠AF2F1=45°,|AF1|=|F1F2|, =2c. 所以 b2=2ac,所以 c2-a2=2ac, 所以 e2-2e-1=0. 解得 e=1± .又 e>1,所以 e=1+ . 5.(2016·沈阳高二检测)已知双曲线 E 的中心在原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为 (  ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 【 解 析 】 选 B. 由 已 知 条 件 易 得 直 线 l 的 斜 率 k= =1, 设 双 曲 线 方 程 为 - =1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2), 则 - =1, - =1, 两 式 相 减 并 结 合 x1+x2=-24,y1+y2=-30 得 = ,从而 =1,又因为 a2+b2=c2=9,故 a2=4,b2=5,所以 E 的 方程为 - =1. 【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法 (1)根与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元 二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差, 构造出中点坐标和斜率的关系,可求斜率 k= .这是解决与中点有关问题的简便而有效 的方法.求弦中点轨迹问题,此方法依然有效. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2016·济南高二检测)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且 双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为      . 【解析】由题意知,椭圆的焦点坐标是(± ,0),离心率是 .故在双曲线中 c= ,e= = ,故 a=2,b2=c2-a2=3,故所求双曲线的方程是 - =1. 答案: - =1 7.已知双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过 F 且斜率为 的直线交双曲线 C 于 A,B 两点.若 =4 ,则双曲线 C 的离心率为    . 【解析】设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 由 得(b2-3a2)y2+2 b2cy+3b4=0, 因为 b2-3a2≠0, 所以 y1+y2= ,y1y2= , 由 =4 得 y1=-4y2, 所以-3y2= ,-4 = , 所以 y2= , 代入-4 = ,得 16c2=27a2-9b2,又 b2=c2-a2, 所以 16c2=27a2-9c2+9a2, 所以 36a2=25c2,所以 e2= , 所以 e= . 答案: 8.已知直线 l:x-y+m=0 与双曲线 x2- =1 交于不同的两点 A,B,若线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5 上,则 m 的值是   . 【解析】由 消去 y 得 x2-2mx-m2-2=0. Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 则 x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m, 所以线段 AB 的中点坐标为(m,2m), 又因为点(m,2m)在圆 x2+y2=5 上, 所以 5m2=5,所以 m=±1. 答案:±1 【补偿训练】双曲线 - =1 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在双曲线上,若 PF1⊥PF2,则点 P 到 x 轴的距离为    . 【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),所以 a=3,b=4,c=5. 由双曲线的定义知,m-n=2a=6,又 PF1⊥PF2. 所以△PF1F2 为直角三角形. 即 m2+n2=(2c)2=100. 由 m-n=6,得 m2+n2-2mn=36, 所以 2mn=m2+n2-36=64,mn=32. 设点 P 到 x 轴的距离为 d, = d|F1F2|= |PF1|·|PF2|, 即 d·2c= mn.所以 d= = =3.2, 即点 P 到 x 轴的距离为 3.2. 答案:3.2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.双曲线的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2,经过右焦点 F 且垂直于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知| |,| |,| |成等差数列,且 与 同 向. (1)求双曲线的离心率. (2)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 【解析】(1)设 OA=m-d,AB=m,OB=m+d,双曲线方程为 - =1. 由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2, 得 d= m,tan∠AOF= , tan∠AOB=tan2∠AOF= = . 由倍角公式得 = , 解得 = ,则离心率 e= . (2)直线 AB 的方程为 y=- (x-c),与双曲线方程 - =1 联立消 y 并将 a=2b,c= b 代入, 化简有 x2- x+21=0. x1+x2= ,x1·x2= , 设交点 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则|AB|= |x1-x2| = =4, 将数值代入,得 4= , 解得 b=3,故所求的双曲线方程为 - =1. 10.已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A,B 两点. (1)若以 AB 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值. (2)是否存在这样的实数 a,使 A,B 两点关于直线 y= x 对称?若存在,请求出 a 的值;若不存 在,请说明理由. 【解析】(1)由 消去 y 得, (3-a2)x2-2ax-2=0.  ① 依题意 即- 由③④知(a2+1)· +a· +1=0. 解得 a=±1 且满足②. 所以实数 a 的值为±1. (2)假设存在实数 a,使 A,B 关于 y= x 对称, 则直线 y=ax+1 与 y= x 垂直,所以 a=-2. 直线 l 的方程为 y=-2x+1. 将 a=-2 代入③得 x1+x2=4. 所以 AB 中点横坐标为 2, 纵坐标为 y=-2×2+1=-3. 但 AB 中点(2,-3)不在直线 y= x 上. 即不存在实数 a,使 A,B 关于直线 y= x 对称. 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2016·郑州高二检测)直线 y= x 与双曲线 C: - =1(a>0,b>0)左右两支分别交于 M,N 两点,F 是双曲线 C 的右焦点,O 是坐标原点,若| |=| |,则双曲线的离心率等于  (  ) A. + B. +1 C. +1 D.2 【解析】选 B.由题知|MO|=|NO|=|FO|, 所以△MFN 为直角三角形,且∠MFN=90°, 取左焦点为 F0,连结 NF0,MF0,由双曲线的对称性知,四边形 NFMF0 为平行四边形. 又因为∠MFN=90°,所以四边形 NFMF0 为矩形, 所以|MN|=|F0F|=2c, 又因为直线 MN 的倾斜角为 60°,即∠NOF=60°, 所以∠NMF=30°, 所以|NF|=|MF0|=c,|MF|= c, 由双曲线定义知|MF|-|MF0|= c-c=2a, 所以 e= = +1. 【补偿训练】过双曲线 M:x2- =1(b>0)的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l.若 l 与双曲线 M 的 两条渐近线分别相交于点 B,C,且 B 是 AC 的中点,则双曲线 M 的离心率为 (  ) A. B. C. D. 【解析】选 D.由题意可知 A(-1,0),故直线 l 的方程为 y=x+1.两条渐近线方程为 y=±bx,由 已知联立 得 B ,同理可得 C ,又 B 是 AC 的中点, 故 2× =0+ ,解得 b=3.故 c= = . 所以 e= = . 2.(2016 · 黄 冈 高 二 检 测 ) 已 知 平 面 上 两 点 M(-5,0) 和 N(5,0), 若 直 线 上 存 在 点 P 使 |PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是 (  ) ①y=x+1;  ②y=2;  ③y= x;  ④y=2x+1. A.①③ B.③④ C.②③ D.①② 【解析】选 D.因为|PM|-|PN|=6,所以点 P 在以 M,N 为焦点的双曲线的右支上,即 - =1(x>0). 对于①,联立 消 y 得 7x2-18x-153=0,因为Δ=(-18)2-4×7×(-153)>0,所以 y=x+1 是“单曲型直线”.对于②,联立 消 y 得 x2= ,所以 y=2 是“单曲型 直线”. 对于③,联立 整理得 0=1,不成立,所以 y= x 不是“单曲型直线”. 对于④,联立 消 y 得 20x 2+36x+153=0,因为Δ=36 2-4×20×153 , 所以 0).如图,B 是右顶点,F 是右焦点, 点 A 在 x 轴正半轴上,且满足| |,| |,| |成等比数列,过 F 作双曲线 C 在第一、三 象限的渐近线的垂线 l,垂足为 P. (1)求证: · = · . (2)若 l 与双曲线 C 的左右两支分别相交于点 E,D,求双曲线离心率 e 的取值范围. 【解析】(1)双曲线的渐近线为 y=± x,F(c,0), 所以直线 l 的斜率为- , 所以直线 l:y=- (x-c). 由 得 P , 因为| |,| |,| |成等比数列, 所以 xA·c=a2,所以 xA= , A , = , = , = 所以 · =- , · =- , 则 · = · . (2)由 得, x2+2 cx- =0, x1x2= , 因为点 E,D 分别在左右两支上,所以 a2,所以 e2>2,所以 e> . 6.(2016·哈尔滨高二检测)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率 e= ,过点 A(0,-b) 和 B(a,0)的直线与原点的距离是 . (1)求双曲线的方程及渐近线方程. (2)若直线 y=kx+5(k≠0)与双曲线交于不同的两点 C,D,且两点都在以 A 为圆心的同一个圆 上,求 k 的值. 【解析】(1)直线 AB 的方程为 + =1,即 bx-ay-ab=0.又原点 O 到直线 AB 的距离 = ⇒ab= c, 由 得 所求双曲线方程为 -y2=1, 渐近线方程为 y=± x. (2)由(1)可知 A(0,-1),设 C(x1,y1),D(x2,y2), 由|AC|=|AD|得: 所以 3+3 +(y1+1)2=3+3 +(y2+1)2, 整理得:(y1-y2)=0, 因为 k≠0,所以 y1≠y2,所以 y1+y2=- , 又由 ⇒ (1-3k2)y2-10y+25-3k2=0 , 所以 y1+y2= =- ,得 k2=7, 由Δ=100-4(1-3k2)(25-3k2)>0⇒00). 关闭 Word 文档返回原板块