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课时提升作业 十五
抛物线及其标准方程
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.(2016·四川高考)抛物线 y2=4x 的焦点坐标是 ( )
A.(0,2) B.(0,1)
C.(2,0) D.(1,0)
【解题指南】根据抛物线的标准方程求解.
【解析】选 D.由题意,y2=4x 的焦点坐标为(1,0).
【补偿训练】在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线 x+2y=3 的距离相等的点的轨迹是
( )
A.直线 B.抛物线
C.圆 D.双曲线
【解析】选 A.因为点(1,1)在直线 x+2y=3 上,故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线 x+2y=3
垂直的直线.
2.(2016·日照高二检测)抛物线 y=4x2 的焦点坐标是 ( )
A.(0,1) B.(1,0)
C. D.
【解析】选 C.由 y=4x2 得 x2= y,
所以抛物线焦点在 y 轴正半轴上且 2p= ,
所以 p= ,所以焦点为 .
【误区警示】本题易忽略抛物线的标准形式,认为 2p=4 而出错.
3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x 2+y2-2x+6y+9=0 的圆心的抛物线的方程是
( )
A.y=-3x2 B.y2=9x
C.y2=-9x 或 y=3x2 D.y=-3x2 或 y2=9x
【解析】选 D.由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在 x 轴上时设抛物线的方程是 y 2=ax,将
(1,-3)代入得 a=9,所以方程为 y2=9x,当焦点在 y 轴上时设抛物线的方程是 x2=ay,将(1,-3)
代入得 a=- ,所以方程为 y=-3x2.
4.(2016·成都高二检测)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2- =1 的渐近线的距离是 ( )
A. B. C.1 D.
【解题指南】先求得抛物线的焦点坐标,然后求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距
离公式进行求解即可.
【解析】选 B.抛物线 y2=4x 的焦点是(1,0),双曲线 x2- =1 的一条渐近线方程为 x-y=0,
根据点到直线的距离公式可得 d= = .
【补偿训练】抛物线 y2=8x 的焦点到直线 x- y=0 的距离是 ( )
A.2 B.2 C. D.1
【解析】选 D.抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),根据点到直线的距离公式可得 d= =1.
5.(2016·肇庆高二检测)已知 M 是抛物线 y2=2px(p>0)上的点,若 M 到此抛物线的准线和对
称轴的距离分别为 5 和 4,则点 M 的横坐标为 ( )
A.1 B.1 或 4
C.1 或 5 D.4 或 5
【解析】选 B.因为点 M 到对称轴的距离为 4,
所以点 M 的坐标可设为(x,4)或(x,-4),
又因为 M 到准线的距离为 5,
所以 解得 或
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.(2016·浙江高考)若抛物线 y 2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离
是 .
【解题指南】根据抛物线的定义求解.
【解析】xM+1=10⇒xM=9.
答案:9
7.(2016·烟台高二检测)已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值
为 .
【解析】由抛物线方程 y2=2px(p>0),得其准线方程为 x=- .又圆的方程为(x-3)2+y2=16,所
以圆心为(3,0),半径为 4.依题意,得 3- =4,解得 p=2.
答案:2
8.(2016·西安高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,
水位下降 1 米后,水面宽 米.
【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.
【解析】以抛物线的顶点为原点,对称轴为 y 轴建立直角坐标系.设抛物线方程为
x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得 p=1,抛物线方程为 x2=-2y.当 y=-3 时,x2=6,
所以水面宽为 2 米.
答案:2
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.根据下列条件求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线 16x2-9y2=144 的左顶点.
(2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 y=-3 与抛物线交于点 A,|AF|=5.
【解析】(1)双曲线方程化为 - =1,
左顶点为(-3,0).
由题意设抛物线方程为
y2=-2px(p>0)且 =-3,
所以 p=6,
所以方程为 y2=-12x.
(2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线方程为
y2=2px(p≠0),A 点坐标为(m,-3).
由抛物线定义得 5=|AF|=|m+ |.
又(-3)2=2pm,
所以 p=±1 或 p=±9,
故所求抛物线方程为 y2=±2x 或 y2=±18x.
10.如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管 O′P=1m,水从喷头 P 喷出后呈抛物线状,先向上
至最高点后落下,若最高点距水面 2m,P 距抛物线的对称轴 1m,则水池的直径至少应设计为
多少米?(精确到 1m)
【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为 x2=-2py(p>0).
依题意有 P′(1,-1)在此抛物线上,代入得 p= .
故得抛物线方程为 x2=-y.
点 B 在抛物线上,将 B(x,-2)代入抛物线方程得 x= ,
即|AB|= ,则|AB|+1= +1,
因此所求水池的直径为 2(1+ )m,约为 5m,
即水池的直径至少应设计为 5m.
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.(2016·厦门高二检测)抛物线 y2=mx 的焦点为 F,点 P(2,2 )在此抛物线上,M 为线段 PF
的中点,则点 M 到该抛物线准线的距离为 ( )
A.1 B. C.2 D.
【解析】选 D.因为点 P(2,2 )在抛物线上,
所以(2 )2=2m,
所以 m=4,P 到抛物线准线的距离为 2-(-1)=3,F 到准线距离为 2,所以 M 到抛物线准线的距
离为 d= = .
2.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线
C:y2=8x 的焦点重合,点 A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 = ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
【解析】选 B.设椭圆 E 的方程为 + =1(a>b>0),右焦点为(c,0),依题意得 解得
a=4,由 b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆 E 的方程为 + =1,因为抛物线 C:y 2=8x 的准线为
x=-2,将 x=-2 代入到 + =1,解得 y=±3,所以 A(-2,3),B(-2,-3),故 =6.
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.(2015·陕西高考)若抛物线 y 2=2px(p>0)的准线经过双曲线 x2-y2=1 的一个焦点,则
p= .
【解题指南】利用抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程 y2=2px 中 p 的意义可以求
解.
【解析】双曲线 x2-y2=1 的左焦点为(- ,0),故抛物线 y2=2px 的准线为 x=- ,所以 =
,所以 p=2 .
答案:2
4.(2016·南昌高二检测)抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交于 A,B
两点,若△ABF 为等边三角形,则 p= .
【解题指南】A,B,F 三点坐标都能与 p 建立起联系,分析可知△ABF 的高为 p,可构造 p 的方
程解决.
【解析】由题意知,△ABF 的高为 p,将 y=- 代入双曲线方程得 A,B 两点的横坐标为 x=±
,因为△ABF 为等边三角形,所以 =tan60°,从而解得 p2=36,即 p=6.
答案:6
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
5.一辆卡车高 3m,宽 1.6m,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的 4 倍,若
拱口宽为 am,求使卡车通过的 a 的最小整数值.
【解析】以隧道顶点为原点,拱高所在直线为 y 轴建立直角坐标系,如图所示,则 B 点
的坐标为 ,设隧道所在抛物线方程为 x2=my,则 =m· ,
所以 m=-a,即抛物线方程为 x2=-ay.
将(0.8,y)代入抛物线方程,得 0.82=-ay,
即 y=- .
欲使卡车通过隧道,应有 y- >3,即 - >3,
由于 a>0,得上述不等式的解为 a>12.21,所以 a 应取 13.
6.已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,设 A,B 是抛物线 C 上的两个动点
(AB 不垂直于 x 轴),且|AF|+|BF|=8,线段 AB 的垂直平分线恒经过定点 Q(6,0),求抛物线的
方程.
【解析】设抛物线的方程为 y2=2px(p>0),
则其准线为 x=- .
设 A(x1,y1),B(x2,y2),
因为|AF|+|BF|=8,
所以 x1+ +x2+ =8,
即 x1+x2=8-p.
因为 Q(6,0)在线段 AB 的垂直平分线上,
所以|QA|=|QB|,
即
= ,
又 =2px1, =2px2,
所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0,
因为 AB 与 x 轴不垂直,所以 x1≠x2.
故 x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即 p=4.
从而抛物线的方程为 y2=8x.
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