温馨提示：
此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭 Word 文档返回原板块。
课时提升作业 十一
椭圆方程及性质的应用
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.(2016·聊城高二检测)过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点 F 作倾斜角为 的弦 AB,则弦 AB 的长为
( )
A. B. C. D.
【解析】选 B.椭圆的方程可化为 + =1,
所以 F(- ,0).
又因为直线 AB 的斜率为 ,
所以直线 AB 的方程为 y= x+ .
由 得 7x2+12 x+8=0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,
x1·x2= ,
所以|AB|= = .
2.AB 为过椭圆 + =1(a>b>0)中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB 面积的最大值为
( )
A.b2 B.ab C.ac D.bc
【解析】选 D.由 AB 过椭圆中心,则 yA+yB=0,
故 S△AFB= (yA-yB)·c= |2yA|·c=|yA|·c≤bc,即当 AB 为 y 轴时面积最大.
3.(2016·济宁高二检测)如果椭圆 + =1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程
是 ( )
A.x-2y=0 B.x+2y-4=0
C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0
【解析】选 D.设这条弦的两端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为 k,则
两式相减再变形得 +k =0.
又弦中点为(4,2),故 k=- ,
故这条弦所在的直线方程为 y-2=- (x-4),
整理得 x+2y-8=0.
4.(2016·衡水高二检测)如果 AB 是椭圆 + =1(a>b>0)的任意一条与 x 轴不垂直的弦,O
为椭圆的中心,e 为椭圆的离心率,M 为 AB 的中点,则 kAB·kOM 的值
为 ( )
A.e-1 B.1-e C.e2-1 D.1-e2
【解析】选 C.设 A(x1,y1),B(x2,y2),中点 M(x0,y0),
由点差法, + =1, + =1,作差得
= ,
所以 kAB·kOM= · =- = =e2-1.
【补偿训练】椭圆 + =1 中,以点 M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率
为 ( )
A. B. C. D.-
【解析】选 B.设弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),
则 ①-②得
+ =0,
又因为弦中点为 M(-1,2),
所以 x1+x2=-2,y1+y2=4,
所以 + =0,
所以 k= = .
5.(2016·郑州高二检测)在区间和上分别取一个数,记为 a,b,则方程 + =1 表示焦点在
x 轴上且离心率小于 的椭圆的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选 B.因为 + =1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆,
所以 a>b>0,ab>0).因为 e= ,所以 = .
根据△ABF2 的周长为 16 得 4a=16,因此 a=4,b=2 ,
所以椭圆方程为 + =1.
答案: + =1
7.(2016·沈阳高二检测)椭圆 + =1 上有 n 个不同的点 P1,P2,P3,…,Pn,椭圆的右焦点为
F,数列{|PnF|}是公差大于 的等差数列,则 n 的最大值为 .
【解题指南】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3,|PnF|=|P1F|+(n-1)d,再由数列{|PnF|}是公差大
于 的等差数列,可求出 n 的最大值.
【解析】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3,
|PnF|=|P1F|+(n-1)d.
若 d= ,n=201,d> ,nb>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交
于 A,B 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为 .
【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点 A(或 B)到右焦点
的距离,进而求得 a,c.
【解析】在△ABF 中,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF,
又|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,
解得|AF|=6.在△ABF 中,|AB| 2=102=82+62=|BF|2+|AF|2,故△ABF 为直角三角形.设椭圆的右
焦点为 F′,连接 AF′,BF′,根据椭圆的对称性,四边形 AFBF′为矩形,
则其对角线|FF′|=|AB|=10,且|BF|=|AF′|=8,
即焦距 2c=10,
又据椭圆的定义,得|AF|+|AF′|=2a,
所以 2a=|AF|+|AF′|=6+8=14.
故离心率 e= = = .
答案:
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,- ),(0, )的距离之和等于 4,设点 P 的轨
迹为 C.
(1)求 C 的方程.
(2)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点,k 为何值时 ⊥ ?此时|AB|的值是多少.
【解析】(1)设 P(x,y),由椭圆的定义知,点 P 的轨迹 C 是以(0,- ),(0, )为焦点,长半
轴长为 2 的椭圆,它的短半轴长 b= =1.故曲线 C 的方程为 +x2=1.
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足
消去 y,并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0.
由根与系数的关系得 x1+x2=- ,x1x2=- .
若 ⊥ ,则 x1x2+y1y2=0.
因为 y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,
所以 x1x2+y1y2=- - - +1=- =0,
所以 k=± .
当 k=± 时,x1+x2=∓ ,x1x2=- .
所以|AB|=
= .
而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2= +4× = ,
所以|AB|= = .
10.(2016·烟台高二检测)设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率为 ,过点 F 且与
x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .
(1)求椭圆的方程.
(2)设 A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C,D 两点.若
· + · =8,求 k 的值.
【解析】(1)设 F(-c,0),由 = ,知 a= c.
过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x=-c,代入椭圆方程有 + =1,解得 y=± ,于是
= ,解得 b= ,
又 a2-c2=b2,从而 a= ,c=1,
所以椭圆方程为 + =1.
(2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2),
由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+1),
由方程组 消去 y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.
所以 x1+x2=- ,x1x2= .
因为 A(- ,0),B( ,0),
所以 · + · =(x1+ ,y1)·( -x2,-y2)+(x2+ ,y2)·( -x1,-y1)
=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)
=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2
=6+ .
由已知得 6+ =8,解得 k=± .
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.(2016·济南高二检测)若直线 ax+by+4=0 和圆 x2+y2=4 没有公共点,则过点(a,b)的直线
与椭圆 + =1 的公共点个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.需根据 a,b 的取值来确定
【解题指南】根据直线 ax+by+4=0 和圆 x2+y2=4 没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆
心,2 为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆 x2+y2=4 内切于椭圆,进而可知点
P 是椭圆内的点,进而判断可得答案.
【解析】选 C.因为直线 ax+by+4=0 和圆 x2+y2=4 没有公共点,
所以原点到直线 ax+by+4=0 的距离 d= >2,所以 a2+b2b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),
若 椭 圆 上 存 在 点 P 使 = 成 立 , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 的 取 值 范 围
为 .
【解析】由正弦定理及 = ,得
= = .
在△PF1F2 中,设|PF2|=x,则|PF1|=2a-x.
则上式为 = ,即 cx+ax=2a2,x= .
又 a-c
微信/支付宝扫码支付