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课时提升作业(二十一)
导数的运算法则
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.函数 y=xsinx+ 的导数是 ( )
A.y=sinx+xcosx+
B.y=sinx-xcosx+
C.y=sinx+xcosx-
D.y=sinx-xcosx-
【解析】选 A.因为 y=xsinx+ ,
所以 y′= ′
= ′+ ′
=x′sinx+x·(sinx)′+
=sinx+xcosx+ .
2.(2015·泉州高二检测)下列求导运算正确的是 ( )
A. ′=1+
B. ′=
C. ′=3x·log3e
D. ′=-2sinx
【解析】选 B.因为 ′=x′+ ′=1- ,所以 A 选项错误;
又 ′= ,所以选项 B 正确;
又 ′=3xln3,所以选项 C 错误;
又 ′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以选项 D 错误.
3.(2015·太原高二检测)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=
2xf′(e)+lnx,则 f′(e)=( )
A.e-1 B.-1 C.-e-1 D.-e
【解析】选 C.因为 f(x)=2xf′(e)+lnx,
所以 f′(x)=2f′(e)+ ,
所以 f′(e)=2f′(e)+ ,
解得 f′(e)=- =-e-1.
4.已知 f(x)=ax3+3x2+2,若 f′(-1)= 4,则 a 的值是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选 D.f′(x)=3ax2+6x,因为 f′(-1)=3a-6,
所以 3a-6=4,所以 a= .
5.(2015·贵阳高二检测)曲线 y=xex+1 在点(0,1)处的切线方程是 ( )
A.x-y+1=0 B.2x-y+1=0
C.x-y-1=0 D.x-2y+2=0
【解析】选 A.y′=ex+xex,且点(0,1)在曲线上,当 x=0 时,导数值为 1,故所求的切线方程是
y-1=x,即 x-y+1=0.
【补偿训练】曲线 C:f(x)=sinx+ex+2 在 x=0 处的切线方程为________.
【解析】由 f(x)=sinx+ex+2 得 f′(x)=cosx+ex,从而 f′(0)=2,又 f(0)=3,所以切线方程为
y-3=2(x-0),即 y=2x+3.
答案:y=2x+3
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.某物体做直线运动,其运动规律是 s=t2+ (t 的单位:s,s 的单位:m),则它在第 4s 末的瞬
时速度应该为________m/s.
【解析】因为 s′=2t- ,
所以当 t=4 时,v=8- = (m/s).
答案:
7.(2015·鸡西高二检测)若函数 f(x)= ,则 f′(π)=________.
【解析】因为 f′(x)=
= ,
所以 f′(π)= = .
答案:
8.设 a∈R,函数 f(x)=x3+ax2+(a-3)x 的导函数是 f′(x),若 f′(x)是偶函数,则曲线 y=f(x)
在原点处的切线方程为______________.
【解析】f′(x)=3x2+2ax+(a-3),
又 f′(-x)=f′(x),
即 3x2-2ax+(a-3)=3x2+2ax+(a-3)对任意 x∈R 都成立,
所以 a=0,f′(x)=3x2-3,f′(0)=-3,
曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为 y=-3x.
答案:y=-3x
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.(2015·哈尔滨高二检测)求下列函数的导数.
(1)y= .
(2)y=2xcosx-3xlog2015x.
(3)y=x·tanx.
【解析】(1)y′=
=
= .
(2)y′=(2x)′cosx+(cosx)′2x-3
=2xln2·cosx-sinx·2x-3
=2xln2·cosx-2xsinx-3log2015x-3log2015e
=2xln2·cosx-2xsinx-3log2015(ex).
(3)y′=(xtanx)′= ′
=
=
=
= = .
10.求过点(1,-1)与曲线 y=x3-2x 相切的直线方程.
【解题指南】由于(1,- 1)不一定是切点,所以先设切点坐标,求出切线方程,利用切点在切线
上,求出切点坐标进而求出切线方程.
【解析】设 P(x0,y0)为切点,y′=3x2-2,
则切线斜率为 k=3 -2.
故切线方程为 y-y0=(3 -2)(x-x0). ①
因为(x0,y0)在曲线上,所以 y0= -2x0. ②
又因为(1,-1)在切线上,
所以将②式和(1,-1)代入①式得
-1-( -2x0)=(3 -2)(1-x0).
解得 x0=1 或 x0=- .
当 x0=1 时,k=1,当 x0=- 时,k=- .
故所求的切线方程为
y+1=x-1 或 y+1=- (x-1).
即 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0.
(20 分钟 40 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.(2015·西安高二检测)设 a∈R,函数 f(x)=ex+a·e-x 的导函数是 f′(x),且
f′(x)是奇函数.若曲线 y=f(x)的一条切线的斜率是 ,则切点的横坐标为
( )
A.ln2 B.-ln2 C. D.-
【解析】选 A.因为 f′(x)=ex-ae-x 为奇函数,所以 a=1,设切点横坐标为 x0,则
f′(x0)= - = ,因为 >0,所以 =2,所以 x0=ln2.
【补偿训练】若函数 f(x)=exsinx,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为 ( )
A. B.0 C.钝角 D.锐角
【解析】选 C.y′=exsinx+excosx,
当 x=4 时,y′=e4(sin4+cos4)
= e4sin 0),
则有 x0-a+ =0,
a=x0+ ≥2.
答案:a≥2
【补偿训练】(2015·沈阳高二检测)已知函数 f(x)=x2·f′(2)+5x,则
f′(2)=________.
【解析】因为 f′(x)=f′(2)·2x+5,
所以 f′(2)=f′(2)×2×2+5,
所以 3f′(2)=-5,
所以 f′(2)=- .
答案:-
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
5.函数 f(x)=x3-x2-x+1 的图象上有两点 A(0,1)和 B(1,0),在区间(0,1)内求实数 a,使得函
数 f(x)的图象在 x=a 处的切线平行于直线 AB.
【解题指南】可先由 A,B 两点的坐标求 AB 的斜率,再求 f(x)=x3-x2-x+1 在 x=a 处切线的斜
率,令其相等,即可求出 a 的值.
【解析】直线 AB 的斜率 kAB=-1,f′(x)=3x2-2x-1,令 f′(a)=-1(0
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