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课后提升作业 二十
直线的两点式方程
(45 分钟 70 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)
1.已知△ABC 三顶点坐标 A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M 为 AB 的中点，
N 为 AC 的中点，则中位线 MN 所在直线的截距式方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+ =1 D.+=1
【解析】选 A.由题意知 M(2，4)，N(3，2)，故直线 MN 为 = ，即
+=1.
2.过 M(3，2)与 N(6，2)两点的直线方程为 ( )
A.x=2 B.y=2
C.x=3 D.x=6
【解析】选 B.由 M，N 两点的坐标可知，直线 MN 与 x 轴平行，所以直线
方程为 y=2，故选 B.
3.(2016·衡阳高一检测)过两点(-1，1)和(3，9)的直线在 x 轴上的截
距为
( )
A.- B.- C. D.2
【解析】选 A.直线方程为 = ，
化为截距式为 +=1，则在 x 轴上的截距为-.
4.(2016·长沙高一检测)直线-=1 在 y 轴上的截距为-3，则 q= ( )
A.3 B.-3 C.- D.
【解析】选 A.直线-=1 化为截距式方程为+ =1，由题意知-q=-3，所以
q=3.
5.直线 l 过点 A(-4，-6)，B(2，6)两点，点 C(1006，b)在直线 l 上，则
b 的值为 ( )
A.2012 B.2013 C.2014 D.2016
【解析】选 C.因为直线 l 过 A(-4，-6)，B(2，6)两点，
所以直线 l 的方程为 = ，即 y=2x+2.
又点 C(1006，b)在直线 l 上，
所以 b=2×1006+2=2014.
【一题多解】选 C.由题意三点 A(-4，-6)，B(2，6)，C(1006，b)三点
共线，故 kAB=kBC 即 = ，故 b=2014.
6.两直线 -=1 与- =1 的图象可能是图中的哪一个 ( )
【解题指南】将两直线方程化为斜截式，根据斜率之间的关系判断.
【解析】选 B.由 -=1，得 y= x-n；
由- =1，得 y= x-m，
即两直线的斜率同号且互为倒数.
7.过点 P(1，4)且在 x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有
( )
A.1 条 B.2 条
C.3 条 D.4 条
【解析】选 C.当直线经过原点时，横、纵截距都为 0，符合题意，当直
线不经过原点时，设直线方程为+=1.
由题意得
解得 或
综上，符合题意的直线共有 3 条.
8.(2016·深圳高一检测)直线 + =1 在 y 轴上的截距是 ( )
A.|b| B.-b2 C.b2 D.±b
【解析】选 C.由直线的截距式方程特点知该直线在 y 轴上的截距为 b2.
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
9.过点(0，1)和(-2，4)的直线的两点式方程是____________.
【解析】由直线的两点式方程得 = ，或 = .
答案： =
10.过点 P(1，3)的直线 l 分别与两坐标轴交于 A，B 两点，若 P 为 AB 的
中点，则直线 l 的截距式方程是________.
【解析】设点 A(m，0)，B(0，n)，由点 P(1，3)是 AB 的中点可得 m=2，
n=6，
即 A，B 的坐标分别为(2，0)，(0，6).
则 l 的方程为+=1.
答案：+=1
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
11.(2016·郑州高一检测)已知在△ABC 中，A，B 的坐标分别为(-1，2)，
(4，3)，AC 的中点 M 在 y 轴上，BC 的中点 N 在 x 轴上.
(1)求点 C 的坐标.
(2)求直线 MN 的方程.
【解析】(1)设点 C(m，n)，AC 的中点 M 在 y 轴上，BC 的中点 N 在 x 轴
上，
由中点坐标公式得
解得
所以点 C 的坐标为(1，-3).
(2)由(1)知：点 M，N 的坐标分别为 M ，N ，
由直线方程的截距式，得直线 MN 的方程是+ =1，即 y=x-.
12.已知直线 l 在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1，且过点(6，-2)，
求直线 l 的方程.
【解析】方法一：设直线 l 的点斜式方程为 y+2=k(x-6)(k≠0).
令 x=0，得 y=-6k-2；令 y=0，
得 x=+6.
于是 -(-6k-2)=1，
解得 k1=-或 k2=-.
故直线 l 的方程为 y+2=-(x-6)或 y+2=-(x-6)，即 y=-x+2 或 y=-x+1.
方法二：设直线 l 的斜截式方程为 y=kx+b.
令 y=0，得 x=-.
依题意，得 ⇒
或
故直线 l 的方程为 y=-x+1 或 y=-x+2.
【能力挑战题】
为了绿化城市，拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩形草坪，另外△AEF 内部
有一文物保护区不能占用，经测量 AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m，
应如何设计才能使草坪面积最大？
【解题指南】求出点 E，F 的坐标，利用直线方程的两点式，写出直线 EF
的方程，在线段 EF 上取点 P(m，n)，利用点 P 的坐标表示出草坪的面积，
从而得出答案.
【解析】如图建立坐标系，则 E(30，0)，F(0，20)，
所以线段 EF 所在的直线方程为 + =1(0≤x≤30)，
在线段 EF 上取点 P(m，n)，作 PQ⊥BC 于点 Q，做 PR⊥CD 于点 R，设矩
形 PQCR 的面积为 S，则 S=|PQ|·|PR|=(100-m)·(80-n)，又因为 +
=1(0≤x≤30)，所以 n=20 ，所以 S=(100-m)
=-(m-5)2+ (0≤m≤30)，
于是当 m=5，即 =时，草坪面积最大.
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