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课后提升作业 二十八
直线与圆的方程的应用
(45 分钟 70 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)
1.(2016·新乡高一检测)一辆卡车宽 2.7 米，要经过一个半径为 4.5 米
的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地
面的高度不得超过 ( )
A.1.4 米 B.3.0 米
C.3.6 米 D.4.5 米
【解析】选 C.可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得 OD=
=3.6(米)..Com]
2.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短
弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为 ( )
A.10 B.20 C.30 D.40
【解析】选 B.圆心坐标是(3，4)，半径是 5，圆心到点(3，5)的距离为 1.
根据题意最短弦 BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直，故最短弦的长为 2
=4 ，所以四边形 ABCD 的面积为|AC||BD|=×10×4 =20
.
3.已知点 A(-1，1)和圆 C：(x-5)2+(y-7)2=4，一束光线从 A 经 x 轴反射
到圆 C 上的最短路程是 ( )
A.6 -2 B.8
C.4 D.10
【解析】选 B.点 A 关于 x 轴的对称点 A′(-1，-1)，A′与圆心(5，7)
的距离为 =10.
所以所求最短路程为 10-2=8.
4.某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度 AB 是 36m，拱高 OP 是
6m，在建造时，每隔 3m 需用一个支柱支撑，则支柱 A2P2 的长为 ( )
A.(12 -24)m B.(12 +24)m
C.(24-12 )m D.不确定
【解析】选 A.如图，以线段 AB 所在的直线为 x 轴，线段 AB 的中点 O 为
坐标原点建立平面直角坐标系，那么点 A，B，P 的坐标分别为(-18，0)，
(18，0)，(0，6).
设圆拱所在的圆的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为 A，B，P 在此圆上，故有
解得
故圆拱所在圆的方程是 x2+y2+48y-324=0.
将点 P2 的横坐标 x=6 代入上式，
结合图形解得 y=-24+12 .
故支柱 A2P2 的长约为(12 -24)m.
【方法锦囊】建立适当的直角坐标系应遵循三点原则
①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；②常选特殊点作
为直角坐标系的原点；③尽量使已知点位于坐标轴上.
5.圆 C：(x-4) 2+(y-4)2=4 与直线 y=kx 的交点为 P，Q，原点为 O，则
|OP|·|OQ|的值为 ( )
A.2 B.28
C.32 D.由 k 确定
【解题指南】由平面几何知识可知|OP|·|OQ|等于过 O 点圆的切线长的
平方.
【解析】选 B.如图，过原点 O 作☉C 的切线 OA，连接 AC，OC，
在 Rt△OAC 中，|OA|2=|OC|2-r2=32-4=28，
由平面几何知识可知，
|OP|·|OQ|=|OA|2=28.
6.若 P(x，y)在圆(x+3)2+(y-3)2=6 上运动，则的最大值等于 ( )
A.-3+2 B.-3+
C.-3-2 D.3-2
【解析】选 A.设=k，则 y=kx.当直线 y=kx 与圆相切时，k 取最值.所以
= ，
解得 k=-3±2 ..Com]
故的最大值为-3+2 .
7.若曲线 y=1+ 与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点，则实数 k 的取
值范围为
( )
A. B.
C. D.
【解题指南】画出曲线 y=1+ 及直线 y=k(x-2)+4 的图象，利用
数形结合求 k 的取值范围.
【解析】选 D.如图，曲线 y=1+ 表示上半圆，直线
y=k(x-2)+4 过定点 P(2，4)，且 A(-2，1).因为 kPA=，PC 与半圆相
切，所以易求 kPC= ，所以
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