北师大版八上第1章勾股定理测试卷（2）含解析

第一章勾股定理 章末测试卷 一、选择题（每题 3 分，共 36 分） 1．（3 分）如图字母 B 所代表的正方形的面积是（  ） A．12 B．13 C．144 D．194 2．（3 分）分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10 ②13，5，12 ③ 1，2，3 ④9，40，41 ⑤3 ，4 ，5 ．其中能构成直角三角形的有（  ） 组． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（3 分）△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，下列命题中的假命 题是（  ） A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC 是直角三角形 B．如果 c2=b2﹣a2，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90° C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC 是直角三角形 D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形 4．（3 分）下列数据中是勾股数的有（  ）组 （1）3，5，7 （2）5，15，17 （3）1.5，2，2.5 （4）7，24，25 （5）10， 24，26． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（3 分）已知直角三角形的两直角边之比是 3：4，周长是 36，则斜边是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 6．（3 分）若等腰三角形的腰长为 10cm，底边长为 16cm，那么底边上的高为 （  ） A．12 cm B．10 cm C．8 cmD．6 cm 7．（3 分）三角形的三边长为 a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形 是（  ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 8．（3 分）直角三角形两直角边长度为 5，12，则斜边上的高（  ） A．6 B．8 C． D． 9．（3 分）下列三角形一定不是直角三角形的是（  ） A．三角形的三边长分别为 5，12，13 B．三角形的三个内角比为 1：2：3 C．三角形的三边长之比为 1：2：3 D．三角形的两内角互余 10．（3 分）放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明 和小华行走的速度都是 50 米/分，小明用 10 分到家，小华用 24 分到家，小明和 小华家的距离为（  ） A．600 米 B．800 米 C．1000 米 D．1300 米 11．（3 分）下面说法正确的是（  ） A．在 Rt△ABC 中，a2+b2=c2 B．在 Rt△ABC 中，a=3，b=4，那么 c=5 C．直角三角形两直角边都是 5，那么斜边长为 10 D．直角三角形中，斜边最长 12．（3 分）在△ABC 中，AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，下列关系成立的是（  ） A．∠B+∠C＞∠A B．∠B+∠C=∠A C．∠B+∠C＜∠A D．以上都不对 二、填空题（每空 3 分，共 12 分） 13．（3 分）一长为 13m 的木梯，架在高为 12m 的墙上，这时梯脚与墙的距离是   m． 14 ．（ 3 分 ） 如 图 ， ∠ OAB= ∠ OBC= ∠ OCD=90° ， AB=BC=CD=1 ， OA=2 ， 则 OD2=  ． 15．（3 分）一根电线杆在一次台风中于地面 3 米处折断倒下，杆顶端落在离杆 底端 4 米处，电线杆在折断之前高  米． 16．（3 分）如果直角三角形的三条边分别为 4、5、a，那么 a2 的值等于  ． 三、解答题（共 52 分） 17．（8 分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离 欲到达点 B200m，结果他在水中实际游了 520m，该河流的宽度为多少？ 18．（8 分）求下列图形中阴影部分的面积． （1）如图 1，AB=8，AC=6； （2）如图 2，AB=13，AD=14，CD=2． 19．（8 分）某校校庆，在校门 AB 的上方 A 处到教学楼 C 的楼顶 E 处拉彩带，已 知 AB 高 5m，EC 高 29m，校门口到大楼之间的距离 BC 为 10m，求彩带 AE 的长 是多少？   20．（10 分）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得 AB=3，BC=4， AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板 的面积吗？ 21．（10 分）如图，将边长为 8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中 点 E 处，点 A 落在 F 处，折痕为 MN，求线段 CN 长． 22．（8 分）如图，A、B 两个小集镇在河流 CD 的同侧，分别到河的距离为 AC=10 千米，BD=30 千米，且 CD=30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A、B 两镇 供水，铺设水管的费用为每千米 3 万，请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M，使 铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 参考答案 一、选择题（每题 3 分，共 36 分） 1．（3 分）如图字母 B 所代表的正方形的面积是（  ） A．12 B．13 C．144 D．194 【考点】勾股定理． 【专题】换元法． 【分析】由图可知在直角三角形中，已知斜边和一直角边，求另一直角边的平方， 用勾股定理即可解答． 【解答】解：由题可知，在直角三角形中，斜边的平方=169，一直角边的平方 =25， 根据勾股定理知，另一直角边平方=169﹣25=144，即字母 B 所代表的正方形的面 积是 144． 故选 C． 【点评】此题比较简单，关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平 方和等于斜边的平方．   2．（3 分）分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10 ②13，5，12 ③ 1，2，3 ④9，40，41 ⑤3 ，4 ，5 ．其中能构成直角三角形的有（  ） 组． A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】勾股定理的逆定理． 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形． 【解答】解：因为①62+82=102，②132=52+122，④92+402=412，符合勾股定理的 逆定理，所以能构成直角三角形的有三组．故选 B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真 分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的 平方之间的关系，进而作出判断．   3．（3 分）△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，下列命题中的假命 题是（  ） A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC 是直角三角形 B．如果 c2=b2﹣a2，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90° C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC 是直角三角形 D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形 【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理． 【分析】直角三角形的判定方法有：①求得一个角为 90°，②利用勾股定理的逆 定理． 【解答】解：A、根据三角形内角和定理，可求出角 C 为 90 度，故正确； B、解得应为∠B=90 度，故错误； C、化简后有 c2=a2+b2，根据勾股定理，则△ABC 是直角三角形，故正确； D、设三角分别为 5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90 度，36 度，54 度，则△ABC 是直角三角形，故正确． 故选 B． 【点评】本题考查了直角三角形的判定．   4．（3 分）下列数据中是勾股数的有（  ）组 （1）3，5，7 （2）5，15，17 （3）1.5，2，2.5 （4）7，24，25 （5）10， 24，26． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】勾股数． 【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三 个数就是勾股数，据此判断即可． 【解答】解：（1）3，5，7 不是勾股数，因为 32+52≠72； （2）5，15，17 不是勾股数，因为 52+152≠172； （3）1.5，2，2.5 不是勾股数，因为 1.5，2，2.5 不是正整数； （4）7，24，25 是勾股数，因为 72+242=252，且 7、24、25 是正整数； （5）10，24，26 是勾股数，因为 102+242=262，且 10，24，26 是正整数． 故选 B． 【点评】本题考查了勾股数的概念：满足 a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股 数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5 满足 a2+b2=c2，但是它们 不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个 数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5； 6，8，10；5，12，13；…   5．（3 分）已知直角三角形的两直角边之比是 3：4，周长是 36，则斜边是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 【考点】勾股定理． 【分析】设直角三角形的两直角边分别为 3k，4k，则斜边为 5k，列出方程求出 k，即可解决问题． 【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为 3k，4k，则斜边为 5k． 由题意 3k+4k+5k=36， 解得 k=3， 所以斜边为 5k=15． 故选 C． 【点评】本题考查勾股定理、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活于勾股定 理解决问题，学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．   6．（3 分）若等腰三角形的腰长为 10cm，底边长为 16cm，那么底边上的高为 （  ） A．12 cm B．10 cm C．8 cmD．6 cm 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质． 【分析】可以先作出 BC 边上的高 AD，根据等腰三角爱哦形的性质可得 BD 的长， 在 Rt△ADB 中，利用勾股定理就可以求出高 AD． 【解答】解：作 AD⊥BC 于 D， ∵AB=AC， ∴BD=BC=8cm， ∴AD= =6cm， 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理及等腰三角形的性质，关键是掌握勾股定理和 等腰三角形三线合一的性质．   7．（3 分）三角形的三边长为 a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形 是（  ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【考点】勾股定理的逆定理． 【分析】对等式进行整理，再判断其形状． 【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2 所以三角形是直角三角形， 故选：C． 【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．   8．（3 分）直角三角形两直角边长度为 5，12，则斜边上的高（  ） A．6 B．8 C． D． 【考点】勾股定理． 【分析】首先根据勾股定理，得：斜边= =13．再根据直角三角形的面积 公式，求出斜边上的高． 【解答】解：由题意得，斜边为 =13．所以斜边上的高=12×5÷ 13= ． 故选 D． 【点评】运用了勾股定理．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积 除以斜边．   9．（3 分）下列三角形一定不是直角三角形的是（  ） A．三角形的三边长分别为 5，12，13 B．三角形的三个内角比为 1：2：3 C．三角形的三边长之比为 1：2：3 D．三角形的两内角互余 【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理． 【分析】根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义一一判断即可． 【解答】解：A、正确．∵52+122=132，∴三角形为直角三角形． B、正确．∵三角形的三个内角比为 1：2：3，∴三个内角分别为 30°，60°， 90°，∴三角形是直角三角形． C、错误．∵12+22≠32，∴三角形不是直角三角形． D、正确．∵三角形的两内角互余，∴第三个角是 90°，∴三角形是直角三角 形． 故选 C． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，解题的关键是灵 活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．   10．（3 分）放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明 和小华行走的速度都是 50 米/分，小明用 10 分到家，小华用 24 分到家，小明和 小华家的距离为（  ） A．600 米 B．800 米 C．1000 米 D．1300 米 【考点】勾股定理的应用． 【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图所示， ∵小明用 10 分到家，小华用 24 分到家， ∴OA=10×50=500（米），OB=24×50=1200（米）， ∴AB= =1300（米）． 答：小明和小华家的距离为 1300 米． 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾 股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理 这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．   11．（3 分）下面说法正确的是（  ） A．在 Rt△ABC 中，a2+b2=c2 B．在 Rt△ABC 中，a=3，b=4，那么 c=5 C．直角三角形两直角边都是 5，那么斜边长为 10 D．直角三角形中，斜边最长 【考点】勾股定理． 【分析】利用直角三角形勾股定理进行解题． 【解答】解：A，B：直角三角形直角是哪个，未知，故不能得出 a2+b2=c2，c=5 C：斜边长为 5 ； D：由勾股定理知显然正确． 故选 D． 【点评】考查了直角三角形相关知识以及勾股定理的应用．   12．（3 分）在△ABC 中，AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，下列关系成立的是（  ） A．∠B+∠C＞∠A B．∠B+∠C=∠A C．∠B+∠C＜∠A D．以上都不对 【考点】勾股定理的逆定理． 【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到三角形的形状，则不难求得 其各角的关系． 【解答】解：因为 122+92=152，所以三角形是直角三角形，则∠B+∠C=∠A．故 选 B． 【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理逆定理的应用．   二、填空题（每空 3 分，共 12 分） 13．（3 分）一长为 13m 的木梯，架在高为 12m 的墙上，这时梯脚与墙的距离是  5 m． 【考点】勾股定理的应用． 【分析】根据题意可知，梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边， 利用勾股定理解此直角三角形即可． 【解答】解：∵梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形， ∴梯脚与墙角的距离= =5（m）． 故答案为：5． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题 关键．   14．（3 分）如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则 OD 2=  7 ． 【考点】勾股定理． 【分析】连续运用勾股定理即可解答． 【解答】解：由勾股定理可知 OB= ，OC= ，OD= ∴OD2=7． 【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方．   15．（3 分）一根电线杆在一次台风中于地面 3 米处折断倒下，杆顶端落在离杆 底端 4 米处，电线杆在折断之前高 8 米． 【考点】勾股定理的应用． 【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断 部分的长与未断部分的和即可得出结论． 【解答】解：由勾股定理得斜边为 =5 米， 则原来的高度为 3+5=8 米． 即电线杆在折断之前高 8 米． 故答案为 8． 【点评】此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来 解决．此题也可以直接用算术的算法求解．   16．（3 分）如果直角三角形的三条边分别为 4、5、a，那么 a2 的值等于 9 或 41 ． 【考点】勾股定理． 【分析】此题有两种情况，一是当这个直角三角形的斜边的长为 5 时；二是当这 个直角三角形两条直角边的长分别为 4 和 5 时，由勾股定理分别求出此时的 a2 值即可． 【解答】解：当这个直角三角形的斜边的长为 5 时， a2=52﹣42=9； 当这个直角三角形两条直角边的长分别为 4 和 5 时， a2=52+42=41． 故 a 的值为 9 或 41． 故答案为：9 或 41． 【点评】本题考查勾股定理的知识，解答此题的关键是直角三角形的斜边没有确 定，所以要进行分类讨论，注意不要漏解，难度一般．   三、解答题（共 52 分） 17．（8 分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离 欲到达点 B200m，结果他在水中实际游了 520m，该河流的宽度为多少？ 【考点】勾股定理的应用． 【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【解答】解：根据图中数据，运用勾股定理求得 AB= = =480m， 答：该河流的宽度为 480m． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．   18．（8 分）求下列图形中阴影部分的面积． （1）如图 1，AB=8，AC=6； （2）如图 2，AB=13，AD=14，CD=2． 【考点】勾股定理． 【分析】（1）首先利用勾股定理计算出 BC 的长，进而得到圆的半径 BO 长，再 利用半圆的面积减去直角三角形面积即可； （2）首先计算出 AC 的长，再利用勾股定理计算出 BC 的长，然后利用矩形的面 积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵AB=8，AC=6， ∴BC= = =10， ∴BO=5， ∵S△ABC= AB×AC= ×8×6=24， S 半圆= π×52= ， ∴S 阴影= ﹣24； （2）∵AD=14，CD=2， ∴AC=12， ∵AB=13， ∴CB= = =5， ∴S 阴影=2×5=10． 【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角 三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．   19．（8 分）某校校庆，在校门 AB 的上方 A 处到教学楼 C 的楼顶 E 处拉彩带，已 知 AB 高 5m，EC 高 29m，校门口到大楼之间的距离 BC 为 10m，求彩带 AE 的长 是多少？ 【考点】勾股定理的应用． 【专题】探究型． 【分析】过点 A 作 AF⊥CE 于点 F，由 AB=5m，EC=29m 可求出 EF 的长，再由 BC=10m 可知 AE=BC=10m，在 Rt△AEF 中利用勾股定理即可求出 AE 的长． 【解答】解：过点 A 作 AF⊥CE 于点 F， ∵AB⊥BC，EC⊥BC， ∴四边形 ABCF 是矩形， ∵AB=5m，EC=29m， ∴EF29﹣5=24m， ∵BC=10m， ∴AE=BC=10m， 在 Rt△AEF 中， ∵AF=10m，EF=24m， ∴AE= = =26m． 答：彩带 AE 的长是 23 米． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角 形是解答此题的关键．   20．（10 分）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得 AB=3，BC=4， AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板 的面积吗？ 【考点】勾股定理的逆定理． 【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD 与△ABC 均为直角三角形，进而可求解其 面积． 【解答】解：∵42+32=52，52+122=132， 即 AB2+BC2=AC2，故∠B=90°， 同理，∠ACD=90° ∴S 四边形 ABCD=S△ABC+S△ACD = ×3×4+ ×5×12 =6+30 =36． 【点评】熟练掌握勾股定理逆定理的运用，会求解三角形的面积问题．   21．（10 分）如图，将边长为 8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中 点 E 处，点 A 落在 F 处，折痕为 MN，求线段 CN 长． 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】根据折叠的性质，只要求出 DN 就可以求出 NE，在直角△CEN 中，若设 CN=x，则 DN=NE=8﹣x，CE=4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出 CN 的长． 【解答】解：设 CN=xcm，则 DN=（8﹣x）cm，由折叠的性质知 EN=DN=（8﹣x） cm， 而 EC= BC=4cm，在 Rt△ECN 中，由勾股定理可知 EN2=EC2+CN2， 即（8﹣x）2=16+x2， 整理得 16x=48， 解得：x=3． 即线段 CN 长为 3． 【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，折叠问题其实质是轴对称，对应线段 相等，对应角相等，通常用勾股定理解决折叠问题．   22．（8 分）如图，A、B 两个小集镇在河流 CD 的同侧，分别到河的距离为 AC=10 千米，BD=30 千米，且 CD=30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A、B 两镇 供水，铺设水管的费用为每千米 3 万，请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M，使 铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 【考点】轴对称-最短路线问题． 【专题】计算题；作图题． 【分析】此题的关键是确定点 M 的位置，需要首先作点 A 的对称点 A′，连接点 B 和 点 A′ ， 交 l 于 点 M ， M 即 所 求 作 的 点 ． 根 据 轴 对 称 的 性 质 ， 知 ： MA+MB=A′B．根据勾股定理即可求解． 【解答】解：作 A 关于 CD 的对称点 A′，连接 A′B 与 CD，交点 CD 于 M，点 M 即为所求作的点， 则可得：DK=A′C=AC=10 千米， ∴BK=BD+DK=40 千米， ∴AM+BM=A′B= =50 千米， 总费用为 50×3=150 万元． 【点评】此类题的重点在于能够确定点 M 的位置，再运用勾股定理即可求解．