第四章卷（2）
一、选择题
1．下列图象中，表示 y 是 x 的函数的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另
外三边总长应恰好为 24 米，要围成的菜园是如图所示的矩形 ABCD，设 BC 的边
长为 x 米，AB 边的长为 y 米，则 y 与 x 之间的函数关系式是（ ）
A．y=﹣2x+24（0＜x＜12） B．y=﹣ x+12（0＜x＜24）
C．y=2x﹣24（0＜x＜12） D．y= x﹣12（0＜x＜24）
3．一次函数 y=mx+|m﹣1|的图象过点（0，2），且 y 随 x 的增大而增大，则 m=
（ ）
A．﹣1 B．3 C．1 D．﹣1 或 3
4．在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（ ）
A．（2，﹣3），（﹣4，6） B．（﹣2，3），（4，6）
C．（﹣2，﹣3），（4，﹣6） D．（2，3），（﹣4，6）
5．对于函数 y=﹣ x+3，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点（2，2）B．y 随着 x 的增大而减小
C．图象与 y 轴的交点是（6，0）D．图象与坐标轴围成的三角形面积是 9
6．关于 x 的一次函数 y=kx+k2+1 的图象可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
7． P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数 y=﹣2x+5 图象上的两点，且 x1＜x2，
则 y1 与 y2 的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1=y2 C．y1＞y2 D．y1＞y2＞0
8．已知一次函数 y= x+m 和 y=﹣ x+n 的图象都经过点 A（﹣2，0），且与 y 轴
分别交于 B，C 两点，那么△ABC 的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．如图，把 Rt△ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点 A、B 的坐
标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y=2x﹣6
上时，线段 BC 扫过的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．8
10．如图，已知直线 l：y= x，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B，
过点 B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1；过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过
点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2；…按此作法继续下去，点 B 2013 的坐标为
（ ）
A．（42012× ，42012） B．（24026× ，24026）
C．（24026× ，24024） D．（44024× ，44024）
二、填空题
11．将直线 y=2x 向上平移 1 个单位长度后得到的直线是 ．
12．函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 ．
13．一次函数 y=（m+2）x+1，若 y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围
是 ．
14．直线 y=3x﹣m﹣4 经过点 A（m，0），则关于 x 的方程 3x﹣m﹣4=0 的解
是 ．
15．已知某一次函数的图象经过点 A（0，2），B（1，3），C（a，1）三点，则 a
的值是 ．
16．某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种 2 天后，又调来乙播种机参与
播种，直至完成 800 亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图所示，
那么乙播种机参与播种的天数是 天．
17 ． 经 过 点 （ 2 ， 0 ） 且 与 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 面 积 为 2 的 直 线 解 析 式
是 ．
18．如果直线 l 与直线 y=﹣2x+1 平行，与直线 y=﹣x+2 的交点纵坐标为 1，那么
直线 l 的函数解析式为 ．
三、解答题
19．已知：一次函数 y=kx+b 的图象经过 M（0，2），N（1，3）两点．
(1)求 k、b 的值；
(2)若一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交点为 A（a，0），求 a 的值．
20．联通公司手机话费收费有 A 套餐（月租费 15 元，通话费每分钟 0.1 元）和
B 套餐（月租费 0 元，通话费每分钟 0.15 元）两种．设 A 套餐每月话费为 y1
（元），B 套餐每月话费为 y2（元），月通话时间为 x 分钟．
(1)分别表示出 y1 与 x，y2 与 x 的函数关系式．
(2)月通话时间为多长时，A、B 两种套餐收费一样？
(3)什么情况下 A 套餐更省钱？
21．设函数 y=x+n 的图象与 y 轴交于 A 点，函数 y=﹣3x﹣m 的图象与 y 轴交于 B
点，两个函数的图象交于 C（﹣3，1）点，D 为 AB 的中点．
(1)求 m、n 的值；
(2)求直线 DC 点的一次函数的表达式．
22．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度 y（单位：厘米）与观察时间 x
（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC 是线段，直线 CD 平行 x 轴）．
(1)该植物从观察时起，多少天以后停止长高？
(2)求直线 AC 的解析式，并求该植物最高长多少厘米？
23． 1 号探测气球从海拔 5m 处出发，以 lm/min 的速度上升．与此同时，2 号
探测气球从海拔 15m 处出发，以 0.5m/min 的速度上升，两个气球都匀速上升了
50min．设气球球上升时间为 xmin （0≤x≤50）
(1)根据题意，填写下表：
上升时间/min 10 30 … x
1 号探测气球所在位置的海拔/m 15 …
2 号探测气球所在位置的海拔/m 30 …
(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？
位于什么高度？如果不能，请说明理由；
(3)当 30≤x≤50 时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？
24．如图，直线 y=kx+6 与 x 轴、y 轴分别交于点 E、F，点 E 的坐标为（﹣8，
0），点 A 的坐标为（﹣6，0）．
(1)求 k 的值；
(2)若点 P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点 P 的运动过程中，试
写出△OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
(3)探究：在(2)的情况下，当点 P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为 ，并说
明理由．
25．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两
个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数
y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线 l1，一次函数 y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线 l2，
若 k1=k2，且 b1≠b2，我们就称直线 l1 与直线 l2 互相平行．解答下面的问题：
(1)求过点 P（1，4）且与已知直线 y=﹣2x﹣1 平行的直线 l 的函数表达式，并画
出直线 l 的图象；
(2)设直线 l 分别与 y 轴、x 轴交于点 A、B，如果直线 m：y=kx+t（t＞0）与直线 l
平行且交 x 轴于点 C，求出△ABC 的面积 S 关于 t 的函数表达式．
答案
1．下列图象中，表示 y 是 x 的函数的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【考点】函数．
【专题】选择题．
【分析】根据函数的定义可知，满足对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值
与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【解答】解：第一个图象，对每一个 x 的值，都有唯一确定的 y 值与之对应，是
函数图象；
第二个图象，对每一个 x 的值，都有唯一确定的 y 值与之对应，是函数图象；
第三个图象，对给定的 x 的值，有两个 y 值与之对应，不是函数图象；
第四个图象，对给定的 x 的值，有两个 y 值与之对应，不是函数图象．
综上所述，表示 y 是 x 的函数的有第一个、第二个，共 2 个．
故选 B．
【点评】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个
变量 x，y，对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则 y 是 x 的函
数，x 叫自变量．
2．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另
外三边总长应恰好为 24 米，要围成的菜园是如图所示的矩形 ABCD，设 BC 的边
长为 x 米，AB 边的长为 y 米，则 y 与 x 之间的函数关系式是（ ）
A．y=﹣2x+24（0＜x＜12） B．y=﹣ x+12（0＜x＜24）C．y=2x﹣24（0＜x＜
12） D．y= x﹣12（0＜x＜24）
【考点】函数解析式．
【专题】选择题．
【分析】根据题意可得 2y+x=24，继而可得出 y 与 x 之间的函数关系式，及自变
量 x 的范围．
【解答】解：由题意得：2y+x=24，
故可得：y=﹣ x+12（0＜x＜24）．
故选 B．
【点评】此题考查了根据实际问题列一次函数关系式的知识，属于基础题，解答
本题关键是根据三边总长应恰好为 24 米，列出等式．
3．一次函数 y=mx+|m﹣1|的图象过点（0，2），且 y 随 x 的增大而增大，则 m=
（ ）
A．﹣1 B．3 C．1 D．﹣1 或 3
【考点】应用待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质．
【专题】选择题．
【分析】把点的坐标代入函数解析式求出 m 的值，再根据 y 随 x 的增大而增大
判断出 m＞0，从而得解．
【解答】解：∵一次函数 y=mx+|m﹣1|的图象过点（0，2），
∴|m﹣1|=2，
∴m﹣1=2 或 m﹣1=﹣2，
解得 m=3 或 m=﹣1，
∵y 随 x 的增大而增大，
∴m＞0，
∴m=3．
故选 B．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，本题难点
在于要根据函数的增减性对 m 的值进行取舍．
4．在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（ ）
A．（2，﹣3），（﹣4，6） B．（﹣2，3），（4，6） C．（﹣2，﹣3），（4，﹣6）
D．（2，3），（﹣4，6）
【考点】正比例函数的图象及其画法．
【专题】选择题．
【分析】由于正比例函数图象上点的纵坐标和横坐标的比相同，找到比值相同的
一组数即可．
【解答】解：A、∵ = ，∴两点在同一个正比例函数图象上；
B、∵ ≠ ，∴两点不在同一个正比例函数图象上；
C、∵ ≠ ，∴两点不在同一个正比例函数图象上；
D、∵ ≠ ，两点不在同一个正比例函数图象上；
故选 A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，知道正比例函数图象上点的
纵坐标和横坐标的比相同是解题的关键．
5．对于函数 y=﹣ x+3，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点（2，2）B．y 随着 x 的增大而减小 C．图象与 y 轴的交点是（6，
0）D．图象与坐标轴围成的三角形面积是 9
【考点】一次函数的性质．
【专题】选择题．
【分析】根据一次函数的性质进行计算即可．
【解答】解：A、函数 y=﹣ x+3 经过点（2，2），故错误；
B、y 随着 x 的增大而减小，故错误；
C、图象与 y 轴的交点是（0，3），故正确；
D、图象与坐标轴围成的三角形面积是 9，故错误；
故选 C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
6．关于 x 的一次函数 y=kx+k2+1 的图象可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象及其画法．
【专题】选择题．
【分析】根据图象与 y 轴的交点直接解答即可．
【解答】解：令 x=0，则函数 y=kx+k2+1 的图象与 y 轴交于点（0，k2+1），∵k2+1
＞0，∴图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上．
故选 C．
【点评】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力．
7． P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数 y=﹣2x+5 图象上的两点，且 x1＜x2，
则 y1 与 y2 的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1=y2 C．y1＞y2 D．y1＞y2＞0
【考点】一次函数的性质．
【专题】选择题．
【分析】利用一次函数的增减性可得出答案．
【解答】解：
在 y=﹣2x+5 中，
∵k=﹣2＜0，
∴y 随 x 的增大而减小，
∵x1＜x2，
∴y1＞y2，
故选 C．
【点评】本题主要考查一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性是解题的关键，
即在 y=kx+b（k≠0）中，当 k＞0 时 y 随 x 的增大而增大，当 k＜0 时 y 随 x 的增
大而减小．
8．已知一次函数 y= x+m 和 y=﹣ x+n 的图象都经过点 A（﹣2，0），且与 y 轴
分别交于 B，C 两点，那么△ABC 的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】一次函数的图象及其画法．
【专题】选择题．
【分析】首先把（﹣2，0）分别代入一次函数 y= x+m 和 y=﹣ x+n，求出 m，n
的值，则求出两个函数的解析式；然后求出 B、C 两点的坐标；最后根据三角形
的面积公式求出△ABC 的面积．
【解答】解：y= x+m 与 y=﹣ x+n 的图象都过点 A（﹣2，0），
所以可得 0= ×（﹣2）+m，0=﹣ ×（﹣2）+n，
∴m=3，n=﹣1，
∴两函数表达式分别为 y= x+3，y=﹣ x﹣1，
直线 y= x+3 与 y=﹣ x﹣1 与 y 轴的交点分别为 B（0，3），C（0，﹣1），
S△ABC= BC•AO= ×4×2=4．
故选 C．
【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系．函数的图象上的点满足函数
解析式，反之，满足解析式的点一定在函数的图象上．
9．如图，把 Rt△ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点 A、B 的坐
标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y=2x﹣6
上时，线段 BC 扫过的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．8
【考点】坐标与图形变化﹣平移；一次函数的图象及其画法．
【专题】选择题．
【分析】根据题意，线段 BC 扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是 AC
的长，底是点 C 平移的路程．求当点 C 落在直线 y=2x﹣6 上时的横坐标即可．
【解答】解：如图所示．
∵点 A、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），
∴AB=3．
∵∠CAB=90°，BC=5，
∴AC=4．
∴A′C′=4．
∵点 C′在直线 y=2x﹣6 上，
∴2x﹣6=4，解得 x=5．
即 OA′=5．
∴CC′=5﹣1=4．
∴S▱BCC′B′=4×4=16 （面积单位）．
即线段 BC 扫过的面积为 16 面积单位．
故选 C．
【点评】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线
段 BC 扫过的面积应为一平行四边形的面积．
10．如图，已知直线 l：y= x，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B，
过点 B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1；过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过
点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2；…按此作法继续下去，点 B2013 的坐标为
（ ）
A．（42012× ，42012） B．（24026× ，24026）C．（24026× ，24024） D．（44024
× ，44024）
【考点】一次函数的图象及其画法．
【专题】选择题．
【分析】先根据题意找出 A2013 的坐标，再根据 A2013 的坐标与 B2013 的纵坐标相同
即可得出结论．
【解答】解：∵直线 l 的解析式为：y= x，
∴l 与 x 轴的夹角为 30°，
∵AB∥x 轴，
∴∠ABO=30°，
∵OA=1，
∴AB= ，
∵A1B⊥l，
∴∠ABA1=60°，
∴AA1=3，
∴A1（0，4），
∴B1（4 ，4），
同理可得 B2（16 ，16），…，
∴A2013 纵坐标为：24026，
∴A2013（0，24026）．
∴B2013（24026× ，24026）．
故选 B．
【点评】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与
x 轴夹角是解决本题的突破点；根据含 30°的直角三角形的特点依次得到 A、A1、
A2、A3…及 B、B1、B2、B3…的点的坐标是解决本题的关键．
11．将直线 y=2x 向上平移 1 个单位长度后得到的直线是 ．
【考点】一次函数的图象与几何变换．
【专题】填空题．
【分析】先判断出直线经过坐标原点，然后根据向上平移，横坐标不变，纵坐标
加求出平移后与坐标原点对应的点，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答．
【解答】解：直线 y=2x 经过点（0，0），
向上平移 1 个单位后对应点的坐标为（0，1），
∵平移前后直线解析式的 k 值不变，
∴设平移后的直线为 y=2x+b，
则 2×0+b=1，
解得 b=1，
∴所得到的直线是 y=2x+1．
故答案为：y=2x+1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用点的变化解答图形的变化是
常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．
12．函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 ．
【考点】自变量的取值范围．
【专题】填空题．
【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x≥0 且 x﹣4≠0，
解得 x≥0 且 x≠4．
故答案为：x≥0 且 x≠4．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达
式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分
母不能为 0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．一次函数 y=（m+2）x+1，若 y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围
是 ．
【考点】一次函数的性质．
【专题】填空题．
【分析】根据图象的增减性来确定（m+2）的取值范围，从而求解．
【解答】解：∵一次函数 y=（m+2）x+1，若 y 随 x 的增大而增大，
∴m+2＞0，
解得，m＞﹣2．
故答案是：m＞﹣2．
【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．
函数值 y 随 x 的增大而减小⇔k＜0；
函数值 y 随 x 的增大而增大⇔k＞0．
14．直线 y=3x﹣m﹣4 经过点 A（m，0），则关于 x 的方程 3x﹣m﹣4=0 的解
是 ．
【考点】一次函数与一元一次方程．
【专题】填空题．
【分析】根据函数与方程的关系进行解答即可．
【解答】解：把 x=m，y=0 代入 y=3x﹣m﹣4 中，可得：m=2，
所以关于 x 的方程 3x﹣m﹣4=0 的解是 x=2，
故答案为：x=2
【点评】此题考查函数与一元一次方程的问题，关键是根据函数与方程的关系进
行解答．
15．已知某一次函数的图象经过点 A（0，2），B（1，3），C（a，1）三点，则 a
的值是 ．
【考点】用待定系数法求一次函数的解析式．
【专题】填空题．
【分析】根据点 A（0，2），B（1，3）的坐标求出函数解析式，再将 C（a，1）
代入解析式求出 a 的值．
【解答】解：设一次函数的解析式为 y=kx+b，
将点 A（0，2），B（1，3）分别代入解析式得，
，
解得 ，
则函数解析式为 y=x+2，
将 C（a，1）代入解析式得，a+2=1，
解得 a=﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟悉待定系数法是解题的关
键．
16．某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种 2 天后，又调来乙播种机参与
播种，直至完成 800 亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图所示，
那么乙播种机参与播种的天数是 天．
【考点】函数的图象．
【专题】填空题．
【分析】根据题意和分析图象可知，甲乙合作的播种速度是 150 亩/天，所以 600
÷150=4 天，由此即可求出答案．
【解答】解：由图形可得：甲播种速度 200÷2=100 亩/天，乙播种速度为
（350﹣300）÷1=50 亩/天，
∴甲乙合作的播种速度为 150 亩/天，
则乙播种参与的天数是 600÷150=4 天．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的
数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
17 ． 经 过 点 （ 2 ， 0 ） 且 与 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 面 积 为 2 的 直 线 解 析 式
是 ．
【考点】用待定系数法求一次函数的解析式．
【专题】填空题．
【分析】设直线解析式为 y=kx+b，先把（2，0）代入得 b=﹣2k，则有 y=kx﹣2k，
再确定直线与 y 轴的交点坐标为（0，﹣2k），然后根据三角形的面积公式得到
×2×|﹣2k|=2，解方程得 k=1 或﹣1，于是可得所求的直线解析式为 y=x﹣2 或
y=﹣x+2．
【解答】解：设直线解析式为 y=kx+b，
把（2，0）代入得 2k+b=0，解得 b=﹣2k，
所以 y=kx﹣2k，
把 x=0 代入得 y=kx﹣2k 得 y=﹣2k，
所以直线与 y 轴的交点坐标为（0，﹣2k），
所以 ×2×|﹣2k|=2，解得 k=1 或﹣1，
所以所求的直线解析式为 y=x﹣2 或 y=﹣x+2．
故答案为 y=x﹣2 或 y=﹣x+2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数 y=kx+b，（k≠0，
且 k，b 为常数）的图象是一条直线．它与 x 轴的交点坐标是（﹣bk，0）；与 y
轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y=kx+b．
18．如果直线 l 与直线 y=﹣2x+1 平行，与直线 y=﹣x+2 的交点纵坐标为 1，那么
直线 l 的函数解析式为 ．
【考点】用待定系数法求一次函数的解析式．
【专题】填空题．
【分析】设直线 l 的解析式为 y=kx+b，先根据两直线平行的问题得到 k=﹣2，再
把 y=1 代入 y=﹣x+2 可确定直线 l 与直线 y=﹣x+2 的交点坐标为（1，1），然后把
（1，1）代入 y=﹣2x+b 求出 b 即可．
【解答】解：设直线 l 的解析式为 y=kx+b，
∵直线 l 与直线 y=﹣2x+1 平行，
∴k=﹣2，
把 y=1 代入 y=﹣x+2 得﹣x+2=1，解得 x=1，
∴直线 l 与直线 y=﹣x+2 的交点坐标为（1，1），
把（1，1）代入 y=﹣2x+b 得﹣2+b=1，解得 b=3，
∴直线 l 的函数解析式为 y=﹣2x+3．
故答案为 y=﹣2x+3．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线 y=k1x+b1 与直线 y=k2x+b2
平行，则 k1=k2；若直线 y=k1x+b1 与直线 y=k2x+b2 相交，则由两解析式所组成的
方程组的解为交点坐标．
19．已知：一次函数 y=kx+b 的图象经过 M（0，2），N（1，3）两点．
(1)求 k、b 的值；
(2)若一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交点为 A（a，0），求 a 的值．
【考点】用待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】解答题．
【分析】(1)根据待定系数法求出一次函数解析式即可；
(2)根据图象与函数坐标轴交点坐标求法得出 a 的值．
【解答】解：(1)由题意得 ，
解得 ．
∴k，b 的值分别是 1 和 2；
(2)将 k=1，b=2 代入 y=kx+b 中得 y=x+2．
∵点 A（a，0）在 y=x+2 的图象上，
∴0=a+2，
即 a=﹣2．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与坐标轴
交点求法，此题比较典型应熟练掌握．
20．联通公司手机话费收费有 A 套餐（月租费 15 元，通话费每分钟 0.1 元）和
B 套餐（月租费 0 元，通话费每分钟 0.15 元）两种．设 A 套餐每月话费为 y1
（元），B 套餐每月话费为 y2（元），月通话时间为 x 分钟．
(1)分别表示出 y1 与 x，y2 与 x 的函数关系式．
(2)月通话时间为多长时，A、B 两种套餐收费一样？
(3)什么情况下 A 套餐更省钱？
【考点】应用一次函数选择最佳方案．
【专题】解答题．
【分析】(1)根据 A 套餐的收费为月租加上话费，B 套餐的收费为话费列式即可；
(2)根据两种收费相同列出方程，求解即可；
(3)根据(2)的计算结果，小于收费相同时的时间选择 B 套餐，大于收费相同的时
间选择 A 套餐解答．
【解答】解：(1)A 套餐的收费方式：y1=0.1x+15；
B 套餐的收费方式：y2=0.15x；
(2)由 0.1x+15=0.15x，得到 x=300，
答：当月通话时间是 300 分钟时，A、B 两种套餐收费一样；
(3)由 0.1x+15＜0.15x，得到 x＞300，
当月通话时间多于 300 分钟时，A 套餐更省钱．
【点评】本题考查了一次函数的应用，是典型的电话收费问题，求出两种收费相
同的时间是确定选择不同的缴费方式的关键．
21．设函数 y=x+n 的图象与 y 轴交于 A 点，函数 y=﹣3x﹣m 的图象与 y 轴交于 B
点，两个函数的图象交于 C（﹣3，1）点，D 为 AB 的中点．
(1)求 m、n 的值；
(2)求直线 DC 点的一次函数的表达式．
【考点】用待定系数法求一次函数解析式．
【专题】解答题．
【分析】(1)直接把点 C（﹣3，1）代入函数 y=x+n 与函数 y=﹣3x﹣m，求出 m、n
的值即可；
(2)根据 mn 的值得出点 A 与点 B 的坐标，根据中点坐标公式求出 D 点坐标，利
用待定系数法求出直线 DC 的函数解析式即可．
【解答】解：(1)∵函数 y=x+n 与函数 y=﹣3x﹣m 的图象交于 C（﹣3，1）点，
∴1=﹣3+n，解得 n=4；1=9﹣m，解得 m=8，
∴n=4，m=8；
(2)∵函数 y=x+n 的图象与 y 轴交于 A 点，函数 y=﹣3x﹣m 的图象与 y 轴交于 B
点，
∴A（0，n），B（0，﹣m），
∵n=4，m=8，
∴A（0，4），B（0，﹣8）．
∵D 为 AB 的中点，
∴D（0，﹣2）．
设直线 CD 的解析式为 y=kx+b（k≠0），
∵C（﹣3，1），
∴ ，解得 ，
∴直线 DC 点的一次函数的表达式为 y=﹣x﹣2．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点
的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
22．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度 y（单位：厘米）与观察时间 x
（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC 是线段，直线 CD 平行 x
轴）．
(1)该植物从观察时起，多少天以后停止长高？
(2)求直线 AC 的解析式，并求该植物最高长多少厘米？
【考点】用待定系数法求一次函数的解析式．
【专题】解答题．
【分析】(1)根据平行线间的距离相等可知 50 天后植物的高度不变，也就是停止
长高；
(2)设直线 AC 的解析式为 y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线 AC 线段
的解析式，再把 x=50 代入进行计算即可得解．
【解答】解：(1)∵CD∥x 轴，
∴从第 50 天开始植物的高度不变，
答：该植物从观察时起，50 天以后停止长高；
(2)设直线 AC 的解析式为 y=kx+b（k≠0），
∵经过点 A（0，6），B（30，12），
∴ ，
解得 ．
所以，直线 AC 的解析式为 y= x+6（0≤x≤50），
当 x=50 时，y= ×50+6=16cm．
答：直线 AC 所在线段的解析式为 y= x+6（0≤x≤50），该植物最高长 16cm．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，
已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
23． 1 号探测气球从海拔 5m 处出发，以 lm/min 的速度上升．与此同时，2 号
探测气球从海拔 15m 处出发，以 0.5m/min 的速度上升，两个气球都匀速上升了
50min．设气球球上升时间为 xmin （0≤x≤50）
(1)根据题意，填写下表：
上升时间/min 10 30 … x
1 号探测气球所在位置的海拔/m 15 …
2 号探测气球所在位置的海拔/m 30 …
(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？
位于什么高度？如果不能，请说明理由；
(3)当 30≤x≤50 时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？
【考点】分段函数．
【专题】解答题．
【分析】(1)根据“1 号探测气球从海拔 5m 处出发，以 lm/min 的速度上升．与此
同时，2 号探测气球从海拔 15m 处出发，以 0.5m/min 的速度上升”，得出 1 号探
测气球、2 号探测气球的函数关系式；
(2)两个气球能位于同一高度，根据题意列出方程，即可解答；
(3)由题意，可知 1 号气球所在的位置的海拔始终高于 2 号气球，设两个气球在
同一时刻所在位置的海拔相差 ym，则 y=（x+5）﹣（0.5x+15）=0.5x﹣10，根据 x
的取值范围，利用一次函数的性质，即可解答．
【解答】解：(1)根据题意得：1 号探测气球所在位置的海拔：m1=x+5，2 号探测
气球所在位置的海拔：m2=0.5x+15；
当 x=30 时，m1=30+5=35；当 x=10 时，m2=5+15=20，
故答案为：35，x+5，20，0.5x+15．
(2)两个气球能位于同一高度，
根据题意得：x+5=0.5x+15，
解得：x=20，有 x+5=25，
答：此时，气球上升了 20 分钟，都位于海拔 25 米的高度．
(3)当 30≤x≤50 时，
由题意，可知 1 号气球所在的位置的海拔始终高于 2 号气球，
设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差 ym，
则 y=（x+5）﹣（0.5x+15）=0.5x﹣10，
∵0.5＞0，
∴y 随 x 的增大而增大，
∴当 x=50 时，y 取得最大值 15，
答：两个气球所在位置海拔最多相差 15m．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数解
析式．
24．如图，直线 y=kx+6 与 x 轴、y 轴分别交于点 E、F，点 E 的坐标为（﹣8，
0），点 A 的坐标为（﹣6，0）．
(1)求 k 的值；
(2)若点 P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点 P 的运动过程中，试
写出△OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
(3)探究：在(2)的情况下，当点 P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为 ，并说
明理由．
【考点】一次函数的图象．
【专题】解答题．
【分析】(1)将点 E 坐标（﹣8，0）代入直线 y=kx+6 就可以求出 k 值，从而求出
直线的解析式；
(2)由点 A 的坐标为（﹣6，0）可以求出 OA=6，求△OPA 的面积时，可看作以 OA
为底边，高是 P 点的纵坐标的绝对值．再根据三角形的面积公式就可以表示出△
OPA．从而求出其关系式；根据 P 点的移动范围就可以求出 x 的取值范围．
(3)根据△OPA 的面积为 代入(2)的解析式求出 x 的值，再求出 y 的值就可以求
出 P 点的位置．
【解答】解：(1)∵点 E（﹣8，0）在直线 y=kx+6 上，
∴0=﹣8k+6，
∴k= ；
(2)∵k= ，
∴直线的解析式为：y= x+6，
∵P 点在 y= x+6 上，设 P（x， x+6），
∴△OPA 以 OA 为底的边上的高是| x+6|，
当点 P 在第二象限时，| x+6|= x+6，
∵点 A 的坐标为（﹣6，0），
∴OA=6．
∴S= = x+18．
∵P 点在第二象限，
∴﹣8＜x＜0；
(3)设点 P（m，n）时，其面积 S= ，
则 ，
解得|n|= ，
则 n1= 或者 n2=﹣ （舍去），
当 n= 时， = m+6，
则 m=﹣ ，
故 P（﹣ ， ）时，三角形 OPA 的面积为 ．
【点评】本题是一道一次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析
式，三角形面积公式的运用以及点的坐标的求法，在解答中画出函数图象和求出
函数的解析式是关键．
25．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两
个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数
y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线 l1，一次函数 y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线 l2，
若 k1=k2，且 b1≠b2，我们就称直线 l1 与直线 l2 互相平行．解答下面的问题：
(1)求过点 P（1，4）且与已知直线 y=﹣2x﹣1 平行的直线 l 的函数表达式，并画
出直线 l 的图象；
(2)设直线 l 分别与 y 轴、x 轴交于点 A、B，如果直线 m：y=kx+t（t＞0）与直线 l
平行且交 x 轴于点 C，求出△ABC 的面积 S 关于 t 的函数表达式．
【考点】用待定系数法求一次函数的解析式．
【专题】解答题．
【分析】(1)直线 l 与已知直线 y=﹣2x﹣1 平行，因而直线的一次项系数是﹣2，
根据待定系数法就可以求出函数解析式．
(2)点 A、B 的坐标可以求出，点 C 的位置应分在 B 点的左侧和右侧两种情况进行
讨论．根据三角形的面积就可以求出 C 点的坐标．
【解答】解：(1)设直线 l 的函数表达式为 y=kx+b，
∵直线 l 与直线 y=﹣2x﹣1 平行，∴k=﹣2，
∵直线 l 过点（1，4），
∴﹣2+b=4，
∴b=6．
∴直线 l 的函数表达式为 y=﹣2x+6．
直线 l 的图象如图．
(2)∵直线 l 分别与 y 轴、x 轴交于点 A、B，
∴点 A、B 的坐标分别为（0，6）、（3，0）．
∵l∥m，
∴直线 m 为 y=﹣2x+t．令 y=0，解得 x= ，
∴C 点的坐标为（ ，0）．
∵t＞0，∴ ＞0．
∴C 点在 x 轴的正半轴上．
当 C 点在 B 点的左侧时，S= ×（3﹣ ）×6=9﹣ ；
当 C 点在 B 点的右侧时，S= ×（ ﹣3）×6= ﹣9．
∴△ABC 的面积 S 关于 t 的函数表达式为 S= ．
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及函数平行的条件，是
需要熟记的内容．
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